3. Partikelsystem

Partikelsystem

Beskriv systemets translation med masscentrum och separera yttre från inre krafter.

Översikt

Yttre krafter styr masscentrum

Inre krafter tar parvis ut varandra i systemets kraftsumma. Masscentrum rör sig därför som en partikel med systemets totala massa under de yttre krafterna.

Formler i området

Masscentrums kraftekvation

\sum\mathbf F_{yttre}=m\mathbf a_G=\dot{\mathbf P}

Vad gör formeln?: Ett partikelsystems masscentrum rör sig som en partikel under de yttre krafternas resultant.
När får den användas?: m är systemets konstanta totalmassa och accelerationen mäts i ett inertialsystem.

Momentekvation kring en rörlig punkt

\sum\mathbf M_A=\dot{\mathbf H}_A+\mathbf v_A\times m\mathbf v_G

Vad gör formeln?: En rörlig momentpunkt ger en extra term utöver tidsderivatan av rörelsemängdsmomentet.
När får den användas?: A får röra sig i ett inertialsystem; H_A är systemets rörelsemängdsmoment kring A.

Inre krafternas arbete

\delta U = \sum_{i}\left(\mathbf F_i + \mathbf f_i\right)\cdot d\mathbf r_i

Vad gör formeln?: De inre krafterna uträttar arbete i en deformerbar kropp men inte i en stel.
När får den användas?: Avståndet mellan partiklarna är konstant för en stel kropp, och då försvinner de inre krafternas bidrag.

Inre krafternas summa

\sum_{i=1}^{n}\mathbf f_i = \mathbf 0

Vad gör formeln?: De inre krafterna tar ut varandra i kraftsumman, men inte nödvändigtvis i arbetet.
När får den användas?: Följer av Newtons tredje lag: de inre krafterna uppträder parvis, lika stora och motriktade.

Kraftekvationen för ett partikelsystem

m\mathbf a_G = \sum_{i}\mathbf F_i

Vad gör formeln?: Systemets masscentrum rör sig som om hela massan var samlad där och alla yttre krafter angrep i den punkten.
När får den användas?: Total massa m och masscentrums acceleration; bara yttre krafter ingår.

Rörelseekvation för en partikel i ett system

m_i\ddot{\mathbf r}_i = \mathbf F_i + \mathbf f_i

Vad gör formeln?: Varje partikel lyder Newtons andra lag med både yttre krafter och inre krafter från de andra partiklarna.
När får den användas?: Yttre krafter betecknas F och inre krafter från systemets övriga partiklar betecknas f.

Systemets rörelsemängd

\mathbf p = \sum_i m_i\mathbf v_i = m\mathbf v_G

Vad gör formeln?: Systemets samlade rörelsemängd är densamma som för en enda partikel med hela massan i masscentrum.
När får den användas?: Summan över alla partiklar; m är systemets totala massa.

Kan du använda partikelsystem?

Lös en riktig tentauppgift från SG1140 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift