4. Tröghet och rörelsemängdsmoment

Tröghet och rörelsemängdsmoment

Beräkna tröghetsegenskaper och koppla dem till kroppens vinkelhastighet.

Översikt

Tröghet beror på punkt och axlar

Ange både referenspunkt och bas för tröghetstensorn. I huvudaxlar är tensorn diagonal, men rörelsemängdsmomentet behöver ändå inte vara parallellt med vinkelhastigheten i en godtycklig bas.

Formler i området

Tröghetstensorn

\mathbf I_O=\int[(\mathbf r\cdot\mathbf r)\mathbf1-\mathbf r\mathbf r^{T}]\,dm

Vad gör formeln?: Tröghetstensorn samlar kroppens rotationsmotstånd och produkter av tröghet.
När får den användas?: r mäts från O och tensorns komponenter uttrycks i den angivna ortonormala basen.

Gyroskopisk term

\dot{\mathbf H}_O = \boldsymbol\omega\times\mathbf H_O

Vad gör formeln?: Ett rörelsemängdsmoment som bara ändrar riktning kräver ett moment vinkelrätt mot både rotationen och momentet.
När får den användas?: Gäller när rörelsemängdsmomentet är konstant sett i det roterande systemet och bara vrider sig med det.

Huvudtröghetsaxlar

I_{xy} = I_{xz} = I_{yz} = 0

Vad gör formeln?: I rätt vald bas försvinner tröghetsprodukterna, och rotation kring en sådan axel ger ett rörelsemängdsmoment längs axeln.
När får den användas?: Gäller i den bas där tröghetstensorn är diagonal; symmetriplan ger alltid sådana axlar.

Momentlagen kring masscentrum

\dot{\mathbf H}'_G = \mathbf M_G

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentets ändringstakt kring masscentrum är lika med de yttre krafternas moment kring samma punkt.
När får den användas?: Gäller kring masscentrum även när masscentrum självt accelererar, vilket inte gäller andra rörliga punkter.

Steiners sats

I = I_G + md^{2}

Vad gör formeln?: Tröghetsmomentet kring en axel fås ur tröghetsmomentet kring en parallell axel genom masscentrum.
När får den användas?: Den ena axeln måste gå genom masscentrum, och d är avståndet mellan de parallella axlarna.

Tröghetstensorns komponenter

I_{xx} = \int (y^{2}+z^{2})\,dm,\qquad I_{xy} = -\int xy\,dm

Vad gör formeln?: Diagonalelementen är tröghetsmoment kring axlarna och de övriga är tröghetsprodukter som kopplar ihop axlarna.
När får den användas?: Integralerna tas över hela kroppen i det koordinatsystem tensorn ska uttryckas i.

Rörelsemängdsmoment för en stel kropp

\mathbf H_O = \mathbf I_O\boldsymbol\omega

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentet är tröghetstensorn tillämpad på vinkelhastigheten och pekar i allmänhet åt ett annat håll än rotationen.
När får den användas?: Punkten O är fix eller sammanfaller med masscentrum, och tensorn räknas kring samma punkt.

Kan du använda tröghet och rörelsemängdsmoment?

Lös en riktig tentauppgift från SG1140 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift