5. Stel kropps dynamik

Stel kropps dynamik

Koppla yttre krafter och moment till masscentrums- och rotationsrörelsen.

Översikt

Translation och rotation måste uppfyllas samtidigt

Frilägg kroppen och använd kraftsumman för masscentrum samt momentekvationen för rotationen. Gyroskopiska termer försvinner bara i särskilda rörelser eller axelval.

Formler i området

Eulers momentekvation i kroppsfasta axlar

\sum\mathbf M_G=\mathbf I_G\dot{\boldsymbol\omega}+\boldsymbol\omega\times(\mathbf I_G\boldsymbol\omega)

Vad gör formeln?: Yttre moment balanserar både vinkelaccelerationen och det gyroskopiska bidraget.
När får den användas?: Axlarna är kroppsfasta med origo i masscentrum och I_G är konstant i dessa axlar.

Momentekvation kring en fix huvudaxel

\sum M_O^{(e)}=I_O^{(e)}\,\dot\omega

Vad gör formeln?: Kring den fasta rotationsaxeln får momentekvationen samma form som partikelns kraftekvation.
När får den användas?: Kroppen roterar kring en fix huvudaxel e genom O; övriga reaktionsmoment bestäms separat.

Kraftekvationen för en stel kropp

m\mathbf a_G = \sum \mathbf F

Vad gör formeln?: Masscentrums acceleration bestäms av de yttre krafternas summa, oberoende av hur kroppen roterar.
När får den användas?: Massan är konstant och accelerationen avser masscentrum, mätt i ett inertialsystem.

Momentekvation kring en godtycklig punkt

\sum \mathbf M_A = I_G\boldsymbol\alpha + \mathbf r_{AG}\times m\mathbf a_G

Vad gör formeln?: Tas momentet kring en annan punkt än masscentrum tillkommer en term med masscentrums acceleration.
När får den användas?: Punkten A är godtycklig; extratermen försvinner bara när A är masscentrum eller när masscentrums acceleration är noll.

Momentekvationen kring masscentrum

I_G\boldsymbol\alpha = \sum \mathbf M_G

Vad gör formeln?: Vinkelaccelerationen bestäms av momentsumman kring masscentrum, med tröghetsmomentet kring samma axel.
När får den användas?: Plan rörelse kring en huvudtröghetsaxel genom masscentrum.

Rotation kring en fix axel

\sum M_O = I_O\alpha

Vad gör formeln?: Roterar kroppen kring en fast axel räcker en enda momentekvation kring den axeln.
När får den användas?: Axeln genom O är fix i rummet och är en huvudtröghetsaxel för kroppen.

Tröghetsmoment för vanliga kroppar

\begin{aligned} \text{stång kring mitten:}\quad I_G &= \tfrac{1}{12}ml^{2} \\ \text{skiva kring axeln:}\quad I_G &= \tfrac{1}{2}mr^{2} \\ \text{klot kring diametern:}\quad I_G &= \tfrac{2}{5}mr^{2} \end{aligned}

Vad gör formeln?: Tabellvärden för de kroppar som återkommer, alla kring en axel genom masscentrum.
När får den användas?: Värdena gäller homogena kroppar och axlar genom masscentrum.

Kan du använda stel kropps dynamik?

Lös en riktig tentauppgift från SG1140 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift