1. Relativ rörelse

Relativ rörelse

Derivera vektorer i roterande system och skilj relativ-, transport- och coriolisterm åt.

Översikt

Ange alltid vilket system som deriverar

En vektors tidsderivata består av derivatan sedd i det rörliga systemet och rotationens bidrag. Vid två derivationer uppstår både transport- och coriolistermer.

Formler i området

Transportteoremet

\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_O=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_R+\boldsymbol\omega\times\mathbf A

Vad gör formeln?: Tidsderivatan i ett fixt system är den relativa derivatan plus basens rotationsbidrag.
När får den användas?: R roterar med vinkelhastigheten omega relativt det fixa inertialsystemet O.

Relativ acceleration i roterande system

\mathbf a_P=\mathbf a_O+\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf r+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)+2\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{rel}+\mathbf a_{rel}

Vad gör formeln?: Absolut acceleration består av origo-, tangential-, centripetal-, coriolis- och relativacceleration.
När får den användas?: O är origo för det rörliga systemet, r är P:s relativa lägesvektor och alla termer uttrycks i samma bas.

Acceleration vid relativ rörelse

\mathbf a = \mathbf a_{\mathrm{sp}} + \mathbf a_{\mathrm{rel}} + \mathbf a_{\mathrm{cor}}

Vad gör formeln?: Den absoluta accelerationen har utöver släp- och relativaccelerationen en corioliskorrektion som saknar motsvarighet i hastighetssambandet.
När får den användas?: Alla tre termerna avser samma punkt och samma tidpunkt, uttryckta i samma bas.

Coriolisacceleration

\mathbf a_{\mathrm{cor}} = 2\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}

Vad gör formeln?: Corioliskorrektionen kommer av att den relativa hastighetens riktning ändras av rotationen.
När får den användas?: Uppträder bara när punkten rör sig relativt ett roterande system.

Fiktiva krafter i ett roterande system

\mathbf F_{\mathrm{rel}} = \mathbf F + \mathbf F_{\mathrm{sp}} + \mathbf F_{\mathrm{cor}}

Vad gör formeln?: För att Newtons andra lag ska gälla i ett roterande system måste släp- och corioliskrafter läggas till de verkliga.
När får den användas?: Gäller för en observatör som vilar i det roterande systemet; de fiktiva krafterna saknar reaktionskraft.

Hastighet vid relativ rörelse

\mathbf v = \mathbf v_{\mathrm{sp}} + \mathbf v_{\mathrm{rel}}

Vad gör formeln?: Den absoluta hastigheten är summan av släpsystemets hastighet i punkten och hastigheten relativt systemet.
När får den användas?: Släphastigheten är den hastighet punkten skulle ha om den satt fast i det roterande systemet.

Släpacceleration

\mathbf a_{\mathrm{sp}} = \mathbf a_O + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}})

Vad gör formeln?: Släpaccelerationen är den acceleration punkten skulle ha om den satt fast i det roterande systemet.
När får den användas?: Punkten O är det roterande systemets origo och lägesvektorn mäts därifrån.

Kan du använda relativ rörelse?

Lös en riktig tentauppgift från SG1140 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift