6. Arbete, energi och rullning

Arbete, energi och rullning

Summera translationens och rotationens energi och använd rullvillkoret när kontakten inte glider.

Översikt

Ta med både translation och rotation

En stel kropps kinetiska energi delas i masscentrums translation och rotation kring masscentrum. Vid ren rullning kopplar hastighetsvillkoret de två delarna.

Formler i området

Kinetisk energi för en stel kropp

T=\frac12m v_G^2+\frac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf I_G\boldsymbol\omega

Vad gör formeln?: Den stela kroppens energi är summan av masscentrums translation och rotationen kring masscentrum.
När får den användas?: G är masscentrum och I_G samt omega uttrycks i samma bas.

Rullvillkor utan glidning

\mathbf v_C=\mathbf0,\qquad v_G=R|\omega|

Vad gör formeln?: Vid ren rullning är kontaktpunktens momentana hastighet noll och translationen kopplas till rotationen.
När får den användas?: C är den momentana kontaktpunkten mot ett stillastående underlag och kontakten glider inte.

Arbete av ett kraftpar

U = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M\,d\theta

Vad gör formeln?: Ett kraftpar uträttar arbete genom kroppens vridning, oberoende av hur masscentrum förflyttar sig.
När får den användas?: Momentet och vridningen avser samma axel; är momentet konstant blir arbetet momentet gånger vinkeln.

Effekt för en stel kropp

P = \mathbf F\cdot\mathbf v_G + \mathbf M_G\cdot\boldsymbol\omega

Vad gör formeln?: Effekten har ett bidrag från kraften genom masscentrums hastighet och ett från momentet genom vinkelhastigheten.
När får den användas?: Kraften avser masscentrum och momentet räknas kring samma punkt.

Energiprincipen för en stel kropp

T_2 - T_1 = U_{1 \to 2}

Vad gör formeln?: Ändringen i kinetisk energi mellan två lägen är lika med de yttre krafternas arbete däremellan.
När får den användas?: Bara yttre krafters arbete räknas; inre krafter i en stel kropp uträttar inget arbete.

Kinetisk energi kring momentancentrum

T = \tfrac{1}{2}I_C\omega^{2}

Vad gör formeln?: Läggs momentancentrum till grund samlas hela den kinetiska energin i en enda rotationsterm.
När får den användas?: Kräver att momentancentrum är känt och att tröghetsmomentet räknas kring just den punkten.

Friktionskraften vid rullning

U_{\mu} = 0,\qquad |F_\mu| \le \mu N

Vad gör formeln?: Friktionskraften behövs för att kroppen ska rulla men uträttar inget arbete så länge kontaktpunkten inte glider.
När får den användas?: Rullning utan glidning: kontaktpunkten har noll hastighet, så friktionskraften uträttar inget arbete.

Kan du använda arbete, energi och rullning?

Lös en riktig tentauppgift från SG1140 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift