Plan dynamik: kraft- och momentekvationen

En stel kropp i plan rörelse har tre frihetsgrader: masscentrums två koordinater och vridningsvinkeln. Frilägg kroppen och rita in alla yttre krafter där de angriper: tyngdkraft, linkrafter, normalkrafter, friktionskrafter och reaktionskrafter i leder. Kraftekvationen bestämmer sedan masscentrums acceleration, och momentekvationen kring masscentrum bestämmer vinkelaccelerationen:

$$m\mathbf a_G = \sum\mathbf F \qquad I_G\alpha = M_G$$

Här är $I_G$ tröghetsmomentet kring axeln genom $G$ vinkelrät mot rörelseplanet och $M_G$ summan av krafternas moment kring $G$, räknad positiv åt samma håll som $\alpha$. Kraftekvationen ser bara krafternas summa, inte var de angriper. Momentekvationen ser hävarmarna. En kraft vars verkningslinje går vid sidan av masscentrum ger därför både translation och rotation. Ett kraftpar ger enbart rotation, eftersom kraftsumman är noll.

Roterar kroppen kring en fix axel genom $O$ gäller

$$I_O\alpha = M_O \qquad I_O = I_G + md^2$$

där $d$ är avståndet från axeln till masscentrum. Lagrets reaktionskraft saknar hävarm kring $O$ och faller bort, så vinkelaccelerationen fås ur en enda ekvation. Kring en godtycklig punkt $A$ tillkommer en term med masscentrums acceleration:

$$M_A = I_G\alpha + (\mathbf r_{AG}\times m\mathbf a_G)_z$$

Termen är noll när $A$ är masscentrum, och när $A$ är en fix punkt i kroppen blir den $md^2\alpha$, vilket ger just $I_O\alpha$. Är $A$ en led som själv accelererar, som fästet för en pendel i ett fordon som startar, blir sambandet

$$M_A = I_A\alpha + (\mathbf r_{AG}\times m\mathbf a_A)_z$$

och ledens acceleration måste räknas med. Säkrast är då att ta momentet kring masscentrum och behålla ledkraften som obekant.

En skiva som sitter fritt lagrad i änden av en roterande arm vrids inte med armen, eftersom inget kraftmoment verkar kring skivans masscentrum. Den bidrar då som en punktmassa i sitt centrum.

De tre ekvationerna innehåller masscentrums acceleration, vinkelaccelerationen och dessutom obekanta reaktionskrafter. Varje reaktionskraft hör till ett tvång, och tvånget ger en ekvation tillbaka. Accelerationssambandet för över masscentrums acceleration till punkten $B$ där tvånget verkar:

$$\mathbf a_B = \mathbf a_G + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{GB} - \omega^2\mathbf r_{GB}$$

En fix led ger $\mathbf a_B = \mathbf 0$, två villkor mot ledkraftens två komponenter. En sträckt lina ger ett villkor: fästpunkten rör sig i en cirkel kring linans andra ände, så accelerationen längs linan är bestämd av farten, medan komponenten tvärs linan är fri. En glatt skena eller ett lätt hjul på en räls hindrar bara acceleration vinkelrätt mot skenan. Rullning utan glidning ger $a_G = \alpha R$, se ämnet Rullning: rullvillkor och friktion.

Många uppgifter gäller ögonblicket direkt efter att en kraft läggs på en vilande kropp eller en lina klipps av. Hastigheter ändras inte språngvis, så $\omega = 0$ och varje punkt har hastigheten noll. Centripetaltermen försvinner ur accelerationssambandet,

$$\mathbf a_B = \mathbf a_G + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{GB}$$

och en linas fästpunkt saknar acceleration längs linan. Krafterna däremot ändras språngvis. Linkrafter och reaktionskrafter ställer genast om sig till de värden som rörelseekvationerna kräver och får inte hämtas från jämvikten före.

För en fri kropp på glatt underlag ger kraften $\mathbf F$ accelerationen $\mathbf a_G = \mathbf F/m$ var den än angriper, och vinkelaccelerationen $\alpha = Fh/I_G$, där $h$ är hävarmen kring masscentrum. Punkter på samma sida om masscentrum som kraften accelererar mer än masscentrum, punkter på andra sidan mindre. Tillräckligt långt bort på andra sidan går accelerationen bakåt.

För en kropp på en fix axel bestäms först rotationen: $\alpha$ ur momentekvationen kring axeln och, om kroppen redan rör sig, $\omega$ ur lagen om kinetiska energin (ämnet Arbete, effekt och kinetisk energi). Masscentrum går i en cirkel med radien $d$ och har accelerationen

$$\mathbf a_G = d\alpha\,\mathbf e_\theta - d\omega^2\,\mathbf e_r$$

där $\mathbf e_r$ pekar från axeln mot masscentrum och $\mathbf e_\theta$ i rotationsriktningen. Kraftekvationen ger sedan reaktionskraften som $m\mathbf a_G$ minus tyngdkraften.

En homogen stång med längden $l$ som släpps från vågrätt läge kring en axel genom ena änden får $\alpha = 3g/(2l)$ och $a_G = 3g/4$ nedåt. Lagerkraften är då $mg/4$ uppåt, hälften av vad lagret bar när den andra änden var understödd. I lägsta läget är $\alpha = 0$, men termen $d\omega^2$ pekar mot axeln och lagerkraften blir större än tyngden.

En homogen cirkelskiva med massan 0,40 kg och radien 0,10 m ligger i vila på glatt is. Ett snöre är lindat kring randen och dras vågrätt med kraften 1,2 N. Lägg x-axeln i dragriktningen och låt snöret lämna randen i punkten $A$, så att $\mathbf r_{GA} = R\mathbf e_y$. Tyngdkraften och normalkraften tar ut varandra, och kraftekvationen ger i x-riktningen

$$a_G = \frac{F}{m} = \frac{1{,}2}{0{,}40} = 3{,}0\ \mathrm{m/s^2}$$

Kraftens moment kring $G$ är $-FR$ kring z-axeln, alltså medurs sett uppifrån. Med $I_G = \tfrac12mR^2$ blir

$$\alpha = -\frac{2F}{mR} = -\frac{2\cdot 1{,}2}{0{,}40\cdot 0{,}10} = -60\ \mathrm{rad/s^2}$$

Skivan startar från vila, så accelerationssambandet saknar centripetalterm:

$$\mathbf a_A = \mathbf a_G + \alpha\mathbf e_z\times R\mathbf e_y = (3{,}0 + 6{,}0)\,\mathbf e_x\ \mathrm{m/s^2} = 9{,}0\,\mathbf e_x\ \mathrm{m/s^2}$$

Punkten mittemot $A$ får $-3{,}0\,\mathbf e_x\ \mathrm{m/s^2}$ och börjar alltså röra sig bakåt. Den främsta punkten, med lägesvektorn $R\mathbf e_x$ från $G$, får även en komponent i sidled: $(3{,}0\,\mathbf e_x - 6{,}0\,\mathbf e_y)\ \mathrm{m/s^2}$. Snörets ände accelererar tre gånger så mycket som skivans centrum, och bara centrum har accelerationen $F/m$.

En rektangulär skylt med bredden $b = 0{,}80\ \mathrm{m}$, höjden $h = 0{,}60\ \mathrm{m}$ och massan 6,0 kg hänger i två lodräta linor, fästa i de övre hörnen. Varje lina bär halva tyngden, 29,5 N. Den högra linan klipps av. Kvar finns tyngdkraften och kraften $S$ i den vänstra linan, som angriper i hörnet $A$ på det vågräta avståndet $b/2$ från masscentrum. Inga krafter är vågräta, så masscentrum accelererar lodrätt. Med $a$ nedåt och $\alpha$ medurs ger kraft- och momentekvationen

$$ma = mg - S \qquad I_G\alpha = S\,\frac{b}{2}$$

med $I_G = \tfrac1{12}m(b^2+h^2) = 0{,}50\ \mathrm{kg\,m^2}$. Linan är sträckt och skylten i vila, så $A$ saknar lodrät acceleration. Accelerationssambandet ger då tvångsvillkoret $a = \alpha b/2$. Eliminera $S$:

$$\alpha = \frac{mg\,b/2}{I_G + mb^2/4} = \frac{23{,}6}{0{,}50 + 0{,}96}\ \mathrm{rad/s^2} = 16{,}1\ \mathrm{rad/s^2}$$

Då är $a = 6{,}46\ \mathrm{m/s^2}$ och $S = m(g - a) = 20{,}2\ \mathrm{N}$. Linkraften sjunker alltså med nästan en tredjedel i samma ögonblick som den andra linan klipps. Hörnet $A$ accelererar i sidled med $\alpha h/2 = 4{,}84\ \mathrm{m/s^2}$, vilket linan tillåter. Med en fix led i $A$ hade vinkelaccelerationen bara blivit $11{,}8\ \mathrm{rad/s^2}$.

Det vanligaste felet i begynnelseögonblicket är att låta den kvarvarande linkraften eller lagerkraften behålla sitt jämviktsvärde. När en lina klipps ändras de övriga krafterna direkt och måste lösas ur rörelseekvationerna. Linans fästpunkt är inte heller en fix led: linan hindrar bara acceleration längs linan, och ett lätt hjul på en räls hindrar bara acceleration tvärs rälsen.

Momentekvationen i formen $I_A\alpha = M_A$ gäller bara kring en fix punkt. Kring en led som accelererar saknas då en term. Tröghetsmomentet ska höra till den axel momentet tas kring: för en stång $\tfrac1{12}ml^2$ kring mitten och $\tfrac13ml^2$ kring änden. Hävarmen kring masscentrum räknas från masscentrum och inte från stångens ände.

Två termer glöms ofta. Rotationens bidrag $\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{GB}$ gör att olika punkter får olika acceleration, och svaret $F/m$ gäller bara masscentrum. I lägsta läget hos en svängande kropp är $\alpha = 0$ men inte $\omega$, så lagerkraften är inte lika med tyngden.