Tröghetsmoment och tröghetstensor

En stel kropps tröghetsmoment kring en axel är

$$I = \int \rho^2\,dm$$

där $\rho$ är masselementets vinkelräta avstånd till axeln. Massa långt från axeln väger tyngst, och samma kropp har olika tröghetsmoment kring olika axlar. Enheten är $\mathrm{kg\,m^2}$.

För homogena kroppar och axlar genom masscentrum $G$ återkommer några värden. En smal stång med längden $l$ har $\tfrac1{12}ml^2$ kring en axel vinkelrät mot stången. En ring med radien $r$ har $mr^2$ kring sin symmetriaxel, en cirkelskiva $\tfrac12mr^2$ och ett klot $\tfrac25mr^2$ kring en diameter. En kvadratisk skiva med sidan $a$ har $\tfrac16ma^2$ kring normalen genom mittpunkten. Tröghetsmoment kring samma axel adderas, så en sammansatt kropp räknas del för del.

Parallellförflyttningssatsen, även kallad Steiners sats, ger tröghetsmomentet kring en axel genom en punkt $O$ ur värdet kring den parallella axeln genom masscentrum:

$$I_O = I_G + md^2$$

Här är $d$ avståndet mellan de två axlarna. En stång får kring en axel genom ena änden $\tfrac1{12}ml^2 + m(l/2)^2 = \tfrac13ml^2$.

Satsen följer av att varje koordinat delas upp i masscentrums koordinat och en koordinat i masscentrumsystemet, $x = x_G + x'$ och $y = y_G + y'$. För z-axeln blir

$$I_{zz} = m(x_G^2 + y_G^2) + 2x_G\int x'\,dm + 2y_G\int y'\,dm + \int (x'^2 + y'^2)\,dm$$

De två mittentermerna försvinner eftersom $\int x'\,dm = mx'_G$ och masscentrum ligger i masscentrumsystemets origo, $\mathbf r'_G = \mathbf 0$. Varken $x_G$ eller $y_G$ behöver vara noll. Därför gäller satsen bara när utgångsaxeln går genom masscentrum, och av alla parallella axlar ger den genom masscentrum det minsta tröghetsmomentet.

För rörelse i rummet behövs sex tal. Tröghetstensorn $\mathbf I_O$ kring punkten $O$ har tröghetsmomenten kring koordinataxlarna på diagonalen och tröghetsprodukter utanför den:

$$I_{xx} = \int (y^2 + z^2)\,dm,\qquad I_{xy} = -\int xy\,dm$$

och på samma sätt för övriga index. Minustecknet ingår i tröghetsprodukten, och tensorn är symmetrisk, $I_{xy} = I_{yx}$.

Är komponenterna kända i ett masscentrumsystem med parallella axlar flyttas hela tensorn till $O$ med

$$I_{xx} = I_{x'x'} + m(y_G^2 + z_G^2),\qquad I_{xy} = I_{x'y'} - mx_Gy_G$$

där $x_G$, $y_G$ och $z_G$ är masscentrums koordinater räknade från $O$. Ett tröghetsmoment ökar med massan gånger kvadratsumman av de två koordinater som är vinkelräta mot axeln. En tröghetsprodukt ändras med massan gånger produkten av de två koordinater som står i dess index, med minustecken.

För en tunn plan kropp i xy-planet är $z = 0$ överallt. Då är $I_{xz} = I_{yz} = 0$ och $I_{zz} = I_{xx} + I_{yy}$.

En axel genom $O$ är en huvudtröghetsaxel när båda tröghetsprodukterna med axelns index är noll. Kring varje punkt finns tre sinsemellan vinkelräta huvudtröghetsaxlar, och med dem som koordinataxlar är tensorn diagonal.

Symmetrin visar ofta axlarna utan räkning. Är xy-planet ett symmetriplan har varje masselement med koordinaten $z$ en spegelbild med koordinaten $-z$, så bidragen till $\int xz\,dm$ och $\int yz\,dm$ tar ut varandra. Normalen till ett symmetriplan är alltså en huvudtröghetsaxel i varje punkt i planet, och varje symmetriaxel är en huvudtröghetsaxel. En tröghetsprodukt skild från noll betyder att massan ligger snett i förhållande till de valda axlarna.

För en axel genom $O$ med enhetsvektorn $\mathbf e = (e_x, e_y, e_z)$ som riktning är tröghetsmomentet

$$I_e = \mathbf e^{T}\mathbf I_O\mathbf e = I_{xx}e_x^2 + I_{yy}e_y^2 + I_{zz}e_z^2 + 2I_{xy}e_xe_y + 2I_{xz}e_xe_z + 2I_{yz}e_ye_z$$

Varje tröghetsprodukt förekommer två gånger eftersom tensorn är symmetrisk. Riktningsvektorn ska normeras först: en axel längs $(3, 0, 4)$ har $\mathbf e = \tfrac15(3, 0, 4)$. Med $I_e$ blir kinetiska energin vid rotation kring en fix axel genom $O$ lika med $\tfrac12I_e\omega^2$.

En pendel består av en smal stång med massan $0{,}40\ \mathrm{kg}$ och längden $0{,}60\ \mathrm{m}$ och en cirkelskiva med massan $1{,}2\ \mathrm{kg}$ och radien $0{,}10\ \mathrm{m}$. Skivans rand är fäst i stångens nedre ände, så att skivans centrum ligger i stångens förlängning. Pendeln svänger i skivans plan kring en axel genom stångens övre ände $O$.

Stångens masscentrum ligger $0{,}30\ \mathrm{m}$ från axeln:

$$I_{\text{stång}} = \tfrac1{12}\cdot 0{,}40\cdot 0{,}60^2 + 0{,}40\cdot 0{,}30^2 = 0{,}012 + 0{,}036 = 0{,}048\ \mathrm{kg\,m^2}$$

Skivans centrum ligger en stånglängd och en radie från axeln, $d = 0{,}70\ \mathrm{m}$:

$$I_{\text{skiva}} = \tfrac12\cdot 1{,}2\cdot 0{,}10^2 + 1{,}2\cdot 0{,}70^2 = 0{,}006 + 0{,}588 = 0{,}594\ \mathrm{kg\,m^2}$$

Summan är $I_O = 0{,}64\ \mathrm{kg\,m^2}$. Skivans förflyttningsterm dominerar; dess eget tröghetsmoment kring centrum är mindre än en procent av summan. Med avståndet $0{,}60\ \mathrm{m}$ i stället för $0{,}70\ \mathrm{m}$ hade resultatet blivit $0{,}49\ \mathrm{kg\,m^2}$, nästan en fjärdedel för lågt.

En smal stång är böjd i rät vinkel på mitten. Varje del har massan $m = 0{,}30\ \mathrm{kg}$ och längden $b = 0{,}40\ \mathrm{m}$. Lägg origo $O$ i den ena fria änden, x-axeln längs den första delen fram till hörnet och y-axeln parallell med den andra delen, som då ligger på linjen $x = b$ från $y = 0$ till $y = b$.

Den första delen ligger på x-axeln och bidrar bara med $\tfrac13mb^2$ till $I_{yy}$ och till $I_{zz}$. Den andra delen har masscentrum i $(b, b/2, 0)$, och i dess masscentrumsystem är $I_{x'x'} = \tfrac1{12}mb^2$ medan $I_{y'y'} = I_{x'y'} = 0$. Förflyttningen till $O$ ger för den delen

$$I_{xx} = \tfrac1{12}mb^2 + m\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \tfrac13mb^2,\qquad I_{yy} = mb^2,\qquad I_{xy} = -mb\cdot\tfrac{b}{2} = -\tfrac12mb^2$$

Med $mb^2 = 0{,}048\ \mathrm{kg\,m^2}$ får hela kroppen $I_{xx} = 0{,}016$, $I_{yy} = 0{,}016 + 0{,}048 = 0{,}064$, $I_{zz} = I_{xx} + I_{yy} = 0{,}080$ och $I_{xy} = -0{,}024$, allt i $\mathrm{kg\,m^2}$. Övriga tröghetsprodukter är noll eftersom kroppen ligger i xy-planet.

Kring axeln från $O$ genom den andra fria änden, med $\mathbf e = \tfrac1{\sqrt2}(1, 1, 0)$, blir

$$I_e = \tfrac12\left(I_{xx} + I_{yy} + 2I_{xy}\right) = \tfrac12(0{,}016 + 0{,}064 - 0{,}048) = 0{,}016\ \mathrm{kg\,m^2}$$

Det är en fjärdedel av $I_{yy}$, vilket är rimligt eftersom ingen del av stången ligger längre än $0{,}28\ \mathrm{m}$ från den axeln. Med plustecken på tröghetsprodukten hade värdet blivit fyra gånger större.

Parallellförflyttningssatsen får inte användas mellan två axlar där ingen går genom masscentrum. Är tröghetsmomentet känt kring en annan axel flyttas det först till masscentrum, med minustecken, och sedan ut igen. Tabellvärdet ska också höra till rätt kropp och rätt axel: en stång har $\tfrac1{12}ml^2$ kring mitten men $\tfrac13ml^2$ kring änden, och en ring har $mr^2$ där en skiva har $\tfrac12mr^2$.

Avståndet $d$ mäts mellan axlarna, inte från masscentrum till origo. I tensorform ökar $I_{xx}$ med $m(y_G^2 + z_G^2)$ och påverkas inte av $x_G$. En plan kropp som lyfts höjden $h$ rakt upp längs z-axeln behåller därför sitt $I_{zz}$, medan $I_{xx}$ och $I_{yy}$ ökar med $mh^2$. Sambandet $I_{zz} = I_{xx} + I_{yy}$ gäller då inte längre, eftersom kroppen inte ligger i xy-planet.

Tröghetsprodukten har minustecken både i definitionen och i förflyttningen: ett masscentrum med positiva $x_G$ och $y_G$ ger ett negativt bidrag till $I_{xy}$. Ligger masscentrum på en koordinataxel är två av dess koordinater noll, och förflyttningen ger inga nya tröghetsprodukter. I uttrycket för $I_e$ ska riktningsvektorn vara normerad och varje tröghetsprodukt räknas två gånger.