Plan rörelse: sambandsformler och momentancentrum

I plan rörelse rör sig kroppens alla punkter parallellt med ett fixt plan, här $xy$-planet. Kroppens vridning beskrivs då av en enda vinkel, och vinkelhastigheten och vinkelaccelerationen pekar längs planets normal:

$$\boldsymbol\omega = \omega\,\mathbf e_z,\qquad \boldsymbol\alpha = \dot\omega\,\mathbf e_z$$

Positivt $\omega$ betyder vridning moturs sedd från spetsen av $\mathbf e_z$. Båda storheterna tillhör kroppen som helhet och är desamma vilken punkt som än väljs som referens. Punkterna har däremot olika hastighet och acceleration, och sambandsformlerna binder ihop dem. I en mekanism har varje stel del sin egen vinkelhastighet.

För två punkter $A$ och $B$ i samma stela kropp gäller hastighetssambandet

$$\mathbf v_B = \mathbf v_A + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB}$$

där $\mathbf r_{AB}$ är vektorn från $A$ till $B$. Sambandet följer av att $\mathbf r_{AB}$ har konstant längd och därför bara kan ändras genom att vridas. Rotationsbidraget är vinkelrätt mot $\mathbf r_{AB}$ och har beloppet $\omega$ gånger avståndet mellan punkterna. I komponenter är

$$\omega\,\mathbf e_z\times(x\,\mathbf e_x + y\,\mathbf e_y) = \omega(-y\,\mathbf e_x + x\,\mathbf e_y)$$

Eftersom rotationsbidraget saknar komponent längs förbindelsen har $A$ och $B$ samma hastighetskomponent längs linjen $AB$. Det är en snabb kontroll av ett färdigt svar.

Derivering av hastighetssambandet ger accelerationssambandet

$$\mathbf a_B = \mathbf a_A + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{AB} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB}) = \mathbf a_A + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{AB} - \omega^2\mathbf r_{AB}$$

Den sista likheten gäller i plan rörelse, där $\mathbf r_{AB}$ är vinkelrät mot $\boldsymbol\omega$. Transversaltermen $\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{AB}$ är vinkelrät mot förbindelsen och räknas med samma komponentregel som rotationsbidraget i hastighetssambandet. Centripetaltermen $-\omega^2\mathbf r_{AB}$ pekar från $B$ mot $A$ och finns kvar även när vinkelhastigheten är konstant. Den försvinner bara i ett ögonblick då $\omega = 0$, till exempel just när en kropp släpps från vila.

Längs förbindelsen innehåller skillnaden $\mathbf a_B - \mathbf a_A$ bara $\omega^2$, och vinkelrätt mot den bara $\alpha$. Två uppmätta accelerationer i samma kropp räcker därför för att bestämma både vinkelhastighetens belopp och vinkelaccelerationen.

När $\omega\neq 0$ finns i varje ögonblick en punkt $C$ i kroppen, eller i dess tänkta förlängning, med $\mathbf v_C = \mathbf 0$. Från en punkt $A$ med känd hastighet ligger den i

$$\mathbf r_{AC} = \frac{\boldsymbol\omega\times\mathbf v_A}{\omega^2}$$

vilket fås genom att kryssmultiplicera $\mathbf v_A = \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{CA}$ med $\boldsymbol\omega$. Varje punkt i kroppen har en hastighet som är vinkelrät mot linjen till $C$ och har beloppet $\omega$ gånger avståndet dit. Geometriskt ligger $C$ där normalerna till två kända hastighetsriktningar skär varandra. Är normalerna parallella och hastigheterna lika är rörelsen momentant en translation med $\omega = 0$.

Momentancentrum ger bara hastigheter. Punkten byter läge hela tiden och har i allmänhet en acceleration, så accelerationer räknas alltid med accelerationssambandet från en punkt vars acceleration är känd.

En mekanism består av stela delar som är förenade i leder. En ledpunkt tillhör båda delarna och har samma hastighet och acceleration vilken del den än räknas från. Tvångsvillkoren ger resten: en fix punkt har hastigheten och accelerationen noll, och en kolv i en rak skena har både hastighet och acceleration längs skenan.

Arbetsgången är densamma varje gång. Gå från den fixa punkten längs den drivande länken till första leden och därifrån längs nästa länk till kolven. Varje vektorekvation ger två komponentekvationer: komponenten tvärs skenan bestämmer länkens vinkelhastighet och komponenten längs skenan kolvens fart. Räkna hastigheterna först, eftersom accelerationssambandet behöver $\omega$ för varje länk. Samma steg med accelerationerna ger sedan länkens vinkelacceleration och kolvens acceleration.

En vev $OA$ med längden $0{,}10\ \mathrm{m}$ vrids moturs kring den fixa punkten $O$ med konstant $\omega_1 = 20\ \mathrm{rad/s}$. Vevstaken $AB$ är $0{,}17\ \mathrm{m}$ lång, och kolven $B$ går i en skena längs $x$-axeln genom $O$. I det aktuella läget är, i meter,

$$\mathbf r_{OA} = 0{,}060\,\mathbf e_x + 0{,}080\,\mathbf e_y,\qquad \mathbf r_{AB} = 0{,}15\,\mathbf e_x - 0{,}080\,\mathbf e_y$$

Veven ger $\mathbf v_A = \omega_1\mathbf e_z\times\mathbf r_{OA} = (-1{,}6\,\mathbf e_x + 1{,}2\,\mathbf e_y)\ \mathrm{m/s}$. Hastighetssambandet för vevstaken, med vinkelhastigheten $\omega_2$, ger i SI-enheter

$$v_B\,\mathbf e_x = (-1{,}6 + 0{,}080\,\omega_2)\,\mathbf e_x + (1{,}2 + 0{,}15\,\omega_2)\,\mathbf e_y$$

Här ger $y$-komponenten $\omega_2 = -8{,}0\ \mathrm{rad/s}$ och $x$-komponenten $v_B = -2{,}2\ \mathrm{m/s}$. Vevstaken vrids medurs och kolven rör sig mot $O$.

För accelerationerna är $\mathbf a_A = -\omega_1^2\mathbf r_{OA} = (-24\,\mathbf e_x - 32\,\mathbf e_y)\ \mathrm{m/s^2}$ och vevstakens centripetalterm $-\omega_2^2\mathbf r_{AB} = (-9{,}6\,\mathbf e_x + 5{,}1\,\mathbf e_y)\ \mathrm{m/s^2}$. Med vinkelaccelerationen $\alpha_2$ blir

$$a_B\,\mathbf e_x = (-33{,}6 + 0{,}080\,\alpha_2)\,\mathbf e_x + (-26{,}9 + 0{,}15\,\alpha_2)\,\mathbf e_y$$

så att $\alpha_2 = 1{,}8\cdot 10^2\ \mathrm{rad/s^2}$ och $a_B = -19\ \mathrm{m/s^2}$. Vevstaken har alltså vinkelacceleration fast veven går med konstant vinkelhastighet. Som kontroll ligger vevstakens momentancentrum $0{,}28\ \mathrm{m}$ rakt ovanför kolven, och $8{,}0\cdot 0{,}28 = 2{,}2\ \mathrm{m/s}$.

En stege med längden $2{,}5\ \mathrm{m}$ står med foten $B$ på golvet $1{,}5\ \mathrm{m}$ från väggen och toppen $A$ mot väggen $2{,}0\ \mathrm{m}$ upp. Foten dras rakt ut från väggen med den konstanta farten $0{,}60\ \mathrm{m/s}$.

Toppen rör sig längs väggen och foten längs golvet. Normalerna till de två hastigheterna är en horisontell linje genom $A$ och en vertikal linje genom $B$, så momentancentrum $C$ ligger $2{,}0\ \mathrm{m}$ rakt ovanför foten och $1{,}5\ \mathrm{m}$ från toppen. Då är

$$\omega = \frac{0{,}60}{2{,}0} = 0{,}30\ \mathrm{rad/s},\qquad v_A = 0{,}30\cdot 1{,}5 = 0{,}45\ \mathrm{m/s}$$

med toppens hastighet riktad nedåt.

Accelerationen räknas från foten, som har $\mathbf a_B = \mathbf 0$. Med väggen längs $y$-axeln och golvet längs positiva $x$-axeln vrids stegen moturs, $\mathbf r_{BA} = (-1{,}5\,\mathbf e_x + 2{,}0\,\mathbf e_y)\ \mathrm{m}$ och, i SI-enheter,

$$\mathbf a_A = \alpha\,\mathbf e_z\times\mathbf r_{BA} - \omega^2\mathbf r_{BA} = (-2{,}0\,\alpha + 0{,}135)\,\mathbf e_x + (-1{,}5\,\alpha - 0{,}18)\,\mathbf e_y$$

Toppen följer väggen, så $x$-komponenten är noll. Det ger $\alpha = 0{,}068\ \mathrm{rad/s^2}$ och $a_A = -0{,}28\ \mathrm{m/s^2}$: toppen accelererar nedåt fast foten har konstant fart. Räknat från $C$ som om den punkten vore i vila hade $\mathbf a_A$ fått en komponent vinkelrätt mot väggen, vilket är omöjligt.

Skrivningarnas felaktiga alternativ bygger på ett fåtal misstag. Det första är att $\mathbf r_{BA}$ används i ett samband som utgår från $A$, vilket byter tecken på hela rotationsbidraget. Vektorn går från den punkt vars rörelse är känd till den sökta. Det andra är tecknet på centripetaltermen: den är $-\omega^2\mathbf r_{AB}$ och pekar tillbaka mot referenspunkten. Alternativet att vinkelaccelerationen är noll finns nästan alltid med. Det bygger på tanken att en konstant drivande vinkelhastighet, eller en punkt utan acceleration, ger en mekanism utan vinkelacceleration, och centripetaltermerna visar att det är fel.

Transversaltermen är kryssprodukten $\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{AB}$, inte en skalärprodukt och inte $\alpha\,\mathbf r_{AB}$. Vinkelhastigheten ligger längs $\mathbf e_z$, aldrig i rörelseplanet. Att momentancentrum eller en kontaktpunkt har hastigheten noll betyder inte att accelerationen är noll där. Kontrollera till sist att varje längd hör till rätt länk och att svaret har rätt enhet.