Arbete, effekt och kinetisk energi

En stel kropp i plan rörelse har den kinetiska energin

$$T = \tfrac12 mv_G^2 + \tfrac12 I_G\omega^2$$

där $v_G$ är masscentrums fart, $\omega$ vinkelhastigheten och $I_G$ tröghetsmomentet kring axeln genom masscentrum vinkelrät mot rörelseplanet. Det är kinetiska energins två delar tillämpad på en stel kropp: masscentrums rörelseenergi plus energin i rotationen kring masscentrum. En kropp som bara translaterar har enbart den första delen, och en kropp som roterar kring en fix axel genom masscentrum enbart den andra.

I rummet ersätts rotationsdelen av $\tfrac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf I_G\boldsymbol\omega$, där tröghetstensorn och vinkelhastigheten uttrycks i samma bas.

Roterar kroppen kring en fix axel genom $O$ har masscentrum farten $v_G = \omega d$, där $d$ är avståndet från axeln. Insatt i de två delarna ger parallellförflyttningssatsen

$$T = \tfrac12\left(I_G + md^2\right)\omega^2 = \tfrac12 I_O\omega^2$$

Samma sak gäller kring momentancentrum $C$ i varje plan rörelse: $T = \tfrac12 I_C\omega^2$. De tre uttrycken är olika sätt att skriva samma energi. Välj ett av dem. Den som lägger $\tfrac12 mv_G^2$ till $\tfrac12 I_O\omega^2$ räknar translationen två gånger.

För en kropp som roterar kring en fix punkt med vinkelhastigheten $\omega$ kring en axel med riktningen $\mathbf e$ är $T = \tfrac12 I_e\omega^2$, där $I_e = \mathbf e^{T}\mathbf I_O\mathbf e$ är tröghetsmomentet kring rotationsaxeln. Ligger axeln snett mot koordinataxlarna kommer både tröghetsmomenten och tröghetsprodukterna med i $I_e$.

En kraft uträttar arbetet $\mathbf F\cdot d\mathbf r$ när dess angreppspunkt förflyttas. För en stel kropp i plan rörelse kan allt arbete samlas i kraftsumman och momentsumman kring masscentrum:

$$dU = \mathbf F\cdot d\mathbf r_G + M_G\,d\theta \qquad P = \mathbf F\cdot\mathbf v_G + M_G\,\omega$$

Effekten $P$ är arbetet per tidsenhet. Ett konstant kraftmoment $M$ uträttar arbetet $M\theta$ under vridningen $\theta$, mätt i radianer, och arbetet är negativt när momentet verkar mot rotationen.

En motor vrider en stång med massan 4,0 kg och längden 1,2 m kring en axel genom ena änden, från hängande läge till vågrätt, med det konstanta kraftmomentet 25 N m. Motorn uträttar $25\cdot\pi/2 = 39{,}3\ \mathrm{J}$. Masscentrum höjs 0,60 m, så tyngdkraften uträttar $-23{,}6\ \mathrm{J}$. Skillnaden, 15,7 J, blir kinetisk energi.

Summeras arbetet mellan två lägen fås lagen om kinetiska energin:

$$T_1 - T_0 = U_{0-1}$$

Den innehåller ingen tid och ingen acceleration. Därför passar den när frågan gäller farten eller vinkelhastigheten i ett visst läge. I exemplet med motorn är $I_O = \tfrac13 ml^2 = 1{,}92\ \mathrm{kg\,m^2}$, och $\tfrac12 I_O\omega^2 = 15{,}7\ \mathrm{J}$ ger $\omega = 4{,}0\ \mathrm{rad/s}$ i det vågräta läget.

Tyngdkraftens arbete beror bara på hur mycket masscentrum sjunker, $U = mg\,\Delta h$. Det kan i stället räknas som en potentiell energi $V = mgh_G$, och utan andra arbetande krafter är $T + V$ konstant.

Flera krafter uträttar inget arbete och kan lämnas utanför: reaktionskraften i ett fixt lager, normalkraften mot en fix yta, friktionskraften vid rullning utan glidning och de inre krafterna i en stel kropp. I alla fallen är angreppspunkten i vila eller förflyttningen vinkelrät mot kraften.

Eftersom reaktionskrafterna inte uträttar något arbete syns de inte i energiekvationen. Det är metodens styrka, men också dess gräns. Söks en lagerkraft eller en normalkraft bestäms först vinkelhastigheten med energimetoden. Därefter ger kinematiken masscentrums acceleration, med centripetaldelen $\omega^2 d$ riktad mot rotationsaxeln, och kraftekvationen ger kraften. Vinkelaccelerationen i samma läge fås ur momentekvationen.

En homogen rektangulär skiva med massan 6,0 kg, bredden $b = 0{,}40\ \mathrm{m}$ och höjden $h = 0{,}30\ \mathrm{m}$ sitter på en vågrät axel genom ett av de övre hörnen. Den släpps från vila med överkanten vågrät. Lagret bromsar med det konstanta friktionsmomentet 1,2 N m. Masscentrum ligger på avståndet $d = \tfrac12\sqrt{b^2+h^2} = 0{,}25\ \mathrm{m}$ från axeln, och

$$I_O = \tfrac1{12}m\left(b^2+h^2\right) + md^2 = \tfrac13 m\left(b^2+h^2\right) = 0{,}50\ \mathrm{kg\,m^2}$$

I startläget ligger masscentrum $h/2 = 0{,}15\ \mathrm{m}$ under axeln och i lägsta läget 0,25 m under den. Det sjunker alltså 0,10 m, och skivan vrids vinkeln $\arctan(b/h) = 0{,}927\ \mathrm{rad}$. Tyngdkraften uträttar $6{,}0\cdot 9{,}82\cdot 0{,}10 = 5{,}89\ \mathrm{J}$ och friktionsmomentet $-1{,}2\cdot 0{,}927 = -1{,}11\ \mathrm{J}$. Lagen om kinetiska energin ger

$$\tfrac12 I_O\omega^2 = 4{,}78\ \mathrm{J} \quad\Rightarrow\quad \omega = 4{,}4\ \mathrm{rad/s}$$

Utan friktion hade vinkelhastigheten blivit 4,9 rad/s. Lagerkraftens lodräta del i lägsta läget är $mg + md\omega^2 = 58{,}9 + 28{,}7 = 88\ \mathrm{N}$, hälften mer än tyngden.

En homogen stång med längden 1,5 m har ändarna i två glatta spår, ett lodrätt och ett vågrätt. Den släpps från vila när den bildar 30° med lodlinjen. Sökt är rörelsen när vinkeln har vuxit till 60°. Stångens ändar rör sig längs spåren, så momentancentrum $C$ ligger där normalerna till de två spåren möts. De fyra punkterna bildar en rektangel med stången som diagonal, och $C$ ligger därför på avståndet $l/2$ från masscentrum:

$$T = \tfrac12 I_C\omega^2 = \tfrac12\left(\tfrac1{12}ml^2 + \tfrac14 ml^2\right)\omega^2 = \tfrac16 ml^2\omega^2$$

Spårens normalkrafter uträttar inget arbete. Masscentrum sjunker $\tfrac12 l(\cos 30^\circ - \cos 60^\circ) = 0{,}275\ \mathrm{m}$, och

$$\tfrac16 l^2\omega^2 = g\,\Delta h \quad\Rightarrow\quad \omega = 2{,}7\ \mathrm{rad/s}$$

Masscentrums fart är $\omega l/2 = 2{,}0\ \mathrm{m/s}$, mot 2,3 m/s vid fritt fall samma höjd. Tre fjärdedelar av energin ligger i translationen och en fjärdedel i rotationen. Dubbelräkningen $\tfrac12 I_C\omega^2 + \tfrac12 mv_G^2$ hade gett en för låg vinkelhastighet, 2,0 rad/s.

Tröghetsmomentet ska höra till den form av energin som används: $I_G$ tillsammans med masscentrums rörelseenergi, $I_O$ eller $I_C$ ensamt. Att sätta in $I_G$ i $\tfrac12 I\omega^2$ för en kropp på en fix axel utanför masscentrum tappar translationen, och att lägga till $\tfrac12 mv_G^2$ efter $\tfrac12 I_O\omega^2$ räknar den dubbelt.

Tyngdkraftens arbete följer masscentrums höjdändring och inte ett hörns eller en ändpunkts. För en kvadratisk skiva som vrids ett kvarts varv kring ett hörn från ett läge med en sida vågrät kan masscentrum hamna på samma höjd som förut, och då är tyngdkraftens arbete noll.

Ett bromsande kraftmoment uträttar negativt arbete, och vinkeln i $M\theta$ ska stå i radianer. Med vinkeln i grader blir friktionsarbetet i exemplet med skivan 64 J, mer än tio gånger tyngdkraftens arbete. Slutligen ger energimetoden bara farten. En reaktionskraft kräver kraftekvationen, och i lägsta läget är den större än tyngden trots att vinkelaccelerationen där kan vara noll.