Dynamik i rummet: precession och lagerreaktioner

Momentekvationen $\dot{\mathbf H}_O = \mathbf M_O$ gäller kring en fix punkt $O$ och, i samma form, kring masscentrum. I plan rörelse pekar rörelsemängdsmomentet alltid längs samma axel, och ekvationen blir $I\alpha = M$. I rummet kan rörelsemängdsmomentet också ändra riktning, och även en ren riktningsändring kräver ett kraftmoment.

Rörelsemängdsmomentet uttrycks enklast i ett system där tröghetstensorn är konstant, alltså ett system som roterar. Transportteoremet ger då derivatan i det fixa systemet:

$$\dot{\mathbf H}_O = \left(\dot{\mathbf H}_O\right)_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\Omega\times\mathbf H_O$$

Här är $\boldsymbol\Omega$ vinkelhastigheten hos det system som komponenterna uttrycks i. I ett kroppsfast system är $\boldsymbol\Omega$ kroppens egen vinkelhastighet $\boldsymbol\omega$. För en rotationssymmetrisk kropp räcker ett Resalsystem, som följer symmetriaxeln men inte spinnet kring den. Tröghetstensorn är konstant även där, och $\boldsymbol\Omega$ är då bara axelns vridning.

Läggs de kroppsfasta axlarna längs huvudtröghetsaxlarna genom masscentrum eller en fix punkt blir $\mathbf H = (I_x\omega_x, I_y\omega_y, I_z\omega_z)$, och momentekvationen ger Eulers ekvationer:

$$M_x = I_x\dot\omega_x - (I_y - I_z)\omega_y\omega_z$$

$$M_y = I_y\dot\omega_y - (I_z - I_x)\omega_z\omega_x$$

$$M_z = I_z\dot\omega_z - (I_x - I_y)\omega_x\omega_y$$

Den första termen på varje rad är den som finns i plan rörelse. Produkttermerna kommer från $\boldsymbol\omega\times\mathbf H$ och är skilda från noll när vinkelhastigheten har komponenter längs två huvudtröghetsaxlar med olika tröghetsmoment. Roterar kroppen kring en enda huvudtröghetsaxel försvinner de, och kvar blir $M = I\dot\omega$.

En rotationssymmetrisk kropp snurrar med spinnet $\omega_s$ kring sin axel, som är vågrät och stöds i punkten $O$ på avståndet $l$ från masscentrum. Lägg $\mathbf e_x$ längs axeln från $O$ mot masscentrum och $\mathbf e_z$ uppåt. Tyngdkraften ger kraftmomentet

$$\mathbf M_O = l\mathbf e_x\times(-mg\mathbf e_z) = mgl\,\mathbf e_y$$

som är vågrätt och vinkelrätt mot axeln. Kroppen faller inte. I stället vrids axeln i horisontalplanet med vinkelhastigheten $\boldsymbol\Omega = \Omega\mathbf e_z$, en precession. I Resalsystemet är rörelsemängdsmomentet konstant: spinndelen $I\omega_s\mathbf e_x$ och en lodrät del från precessionen. Bara spinndelen ändrar riktning i det fixa systemet, så

$$\dot{\mathbf H}_O = \Omega\mathbf e_z\times I\omega_s\mathbf e_x = I\omega_s\Omega\,\mathbf e_y$$

Momentekvationen ger då precessionens vinkelhastighet:

$$\Omega = \frac{mgl}{I\omega_s}$$

där $I$ är tröghetsmomentet kring spinnaxeln. Sambandet är exakt för en vågrät axel och stationär precession. Kraftmomentet ändrar alltså inte rörelsemängdsmomentets storlek utan dess riktning, på samma sätt som en kraft vinkelrät mot hastigheten böjer en bana utan att ändra farten.

Riktningen följer av $\dot{\mathbf H}_O = \mathbf M_O$: rörelsemängdsmomentets spets flyttas åt det håll kraftmomentet pekar. Med spinnet längs $+\mathbf e_x$ och kraftmomentet längs $+\mathbf e_y$ vrids axeln från $\mathbf e_x$ mot $\mathbf e_y$, alltså moturs sedd uppifrån. Byter spinnet riktning byter också precessionen riktning.

Ett större rörelsemängdsmoment är svårare att vrida. Snabbare spinn ger därför långsammare precession, och när spinnet avtar går precessionen fortare. Stödet bär hela tyngden $mg$ och ger dessutom den vågräta kraften $m\Omega^2l$ som håller masscentrum i sin cirkelbana.

En kropp roterar med vinkelhastigheten $\omega$ kring en fix axel, z-axeln. I kroppsfasta axlar är rörelsemängdsmomentet

$$\mathbf H_O = \left(I_{xz}\omega,\ I_{yz}\omega,\ I_{zz}\omega\right)$$

Är tröghetsprodukterna skilda från noll lutar rörelsemängdsmomentet mot axeln och sveper runt den med kroppen. Även vid konstant vinkelhastighet behövs då kraftmomentet

$$\mathbf M_O = \boldsymbol\omega\times\mathbf H_O = \left(-I_{yz}\omega^2,\ I_{xz}\omega^2,\ 0\right)$$

Det kommer från lagren som ett kraftpar tvärs axeln, de dynamiska lagerreaktionerna. De följer med kroppen runt och växer med vinkelhastigheten i kvadrat. Med avståndet $d$ mellan lagren är varje lagerkraft kraftmomentet delat med $d$.

Har kroppen dessutom vinkelaccelerationen $\alpha$ tillkommer $I_{xz}\alpha$ och $I_{yz}\alpha$ i de två tvärgående komponenterna. Komponenten längs axeln är den vanliga momentekvationen $M_z = I_{zz}\alpha$, som inte påverkas av tröghetsprodukterna.

En kropp är statiskt balanserad när masscentrum ligger på axeln, och dynamiskt balanserad först när axeln dessutom är en huvudtröghetsaxel.

En homogen skiva med massan 0,80 kg och radien 0,060 m snurrar med $200\ \mathrm{rad/s}$ kring sin vågräta axel. Axelns ände vilar på ett stöd 0,10 m från skivans centrum. Tröghetsmomentet kring spinnaxeln är $I = \tfrac12 mr^2 = 1{,}44\cdot 10^{-3}\ \mathrm{kg\,m^2}$, och

$$I\omega_s = 0{,}288\ \mathrm{kg\,m^2/s} \qquad mgl = 0{,}80\cdot 9{,}82\cdot 0{,}10 = 0{,}786\ \mathrm{N\,m}$$

$$\Omega = \frac{0{,}786}{0{,}288} = 2{,}7\ \mathrm{rad/s}$$

Axeln går ett varv runt stödet på 2,3 s. Halveras spinnet fördubblas precessionen till 5,5 rad/s. Stödet ger 7,9 N uppåt och 0,60 N vågrätt in mot den lodräta axeln.

Två små kulor med massan 0,50 kg sitter i ändarna av en lätt stång med längden 0,60 m. Stångens mittpunkt $O$ är fäst i en lodrät axel, och stången bildar vinkeln 60° med axeln. Axeln roterar med $10\ \mathrm{rad/s}$. Det är samma kropp som i ämnet Stela kroppens rörelsemängdsmoment, och här söks lagerkrafterna. Med stången i xz-planet har kulorna lägena $\pm b(\sin 60^\circ, 0, \cos 60^\circ)$, där $b = 0{,}30\ \mathrm{m}$, och

$$I_{xz} = -2mb^2\sin 60^\circ\cos 60^\circ = -0{,}039\ \mathrm{kg\,m^2} \qquad I_{zz} = 2mb^2\sin^2 60^\circ = 0{,}0675\ \mathrm{kg\,m^2}$$

Rörelsemängdsmomentet blir $\mathbf H_O = (-0{,}39,\ 0,\ 0{,}675)\ \mathrm{kg\,m^2/s}$. Det lutar 30° från axeln och är vinkelrätt mot stången. Kraftmomentet som krävs är

$$\mathbf M_O = I_{xz}\omega^2\,\mathbf e_y = -3{,}9\,\mathbf e_y\ \mathrm{N\,m}$$

Med lagren 0,40 m från varandra ger det två motriktade lagerkrafter på $3{,}9/0{,}40 = 9{,}7\ \mathrm{N}$, ungefär lika mycket som kulornas tyngd. Vid dubbla varvtalet blir de 39 N. Samma resultat fås direkt: varje kula kräver centripetalkraften $m\omega^2b\sin 60^\circ = 13\ \mathrm{N}$, och de två krafterna bildar ett kraftpar med hävarmen $2b\cos 60^\circ = 0{,}30\ \mathrm{m}$.

Rörelsemängdsmomentet är parallellt med vinkelhastigheten bara när kroppen roterar kring en huvudtröghetsaxel. Att skriva $H = I\omega$ längs axeln för en snedställd kropp tappar den tvärgående delen, och med den lagerreaktionerna. Konstant vinkelhastighet betyder inte att inget kraftmoment behövs.

I termen $\boldsymbol\Omega\times\mathbf H_O$ står vinkelhastigheten hos det system som rörelsemängdsmomentet uttrycks i. För en snurrande kropp i ett Resalsystem är det precessionen, inte spinnet. Tröghetsmomentet i precessionsformeln är det kring spinnaxeln: $\tfrac12mr^2$ för en skiva och $mr^2$ för en ring, inte värdet kring en diameter.

Tyngdkraftens moment tas kring stödpunkten, där stödkraften saknar hävarm. Precessionens riktning bestäms med kryssprodukten och inte med känslan: axeln vrids vinkelrätt mot den kraft som verkar på den.