Formelsamling för Mekanik I

\mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\qquad \mathbf M_O=\sum_i\mathbf r_{Oi}\times\mathbf F_i+\sum_j\mathbf M_j

Vad gör formeln?: Ett godtyckligt kraftsystem reduceras till en kraftresultant och ett moment i en vald punkt.
När får den användas?: Alla lägesvektorer mäts från samma momentpunkt O och fria kraftpar adderas direkt till momentet.

Enodas sammanfattning

Byte av momentpunkt

\mathbf M_A=\mathbf M_O-\mathbf r_{OA}\times\mathbf R

Vad gör formeln?: Momentet i en ny punkt fås genom att transportera resultanten med rätt hävarm.
När får den användas?: R och M_O beskriver samma kraftsystem och r_OA går från O till A.

Enodas sammanfattning

Dimensioner för mekaniska storheter

[F] = MLT^{-2}, \qquad [M_O] = ML^{2}T^{-2}

Vad gör formeln?: Varje term i ett fysikaliskt samband måste ha samma dimension, vilket ger en kontroll av uttrycket.
När får den användas?: Grunddimensionerna är massa, längd och tid.

Enodas sammanfattning

Kraftmoment kring en punkt

\mathbf M_O = \mathbf r \times \mathbf F

Vad gör formeln?: Momentet av en kraft kring en punkt är korsprodukten mellan lägesvektorn och kraften.
När får den användas?: Lägesvektorn går från momentpunkten O till en godtycklig punkt på kraftens verkningslinje.

Enodas sammanfattning

Kraftpar

\mathbf M = \mathbf d \times \mathbf F

Vad gör formeln?: Ett kraftpar har noll resultant och samma moment kring varje punkt.
När får den användas?: Två lika stora motriktade krafter med avståndsvektorn d mellan verkningslinjerna.

Enodas sammanfattning

Moment kring en axel

M_z = (\mathbf r \times \mathbf F) \cdot \mathbf e_z

Vad gör formeln?: Momentet kring en axel är momentvektorns komposant längs axeln.
När får den användas?: Axeln går genom O med riktningen given av enhetsvektorn.

Enodas sammanfattning

Reduktion av ett kraftsystem

\mathbf R = \sum_i \mathbf F_i, \qquad \mathbf M_O = \sum_i \mathbf r_i \times \mathbf F_i

Vad gör formeln?: Varje kraftsystem kan ersättas av en resultant i en vald punkt och ett moment kring den punkten.
När får den användas?: Alla moment tas kring samma punkt O, och kropparna antas stela.

Enodas sammanfattning

Villkor för reduktion till en enda kraft

\mathbf M_O \cdot \mathbf R = 0

Vad gör formeln?: Ett kraftsystem går att ersätta med en enda kraft precis när momentet är vinkelrätt mot resultanten.
När får den användas?: Resultanten är skild från noll och momentet tas kring samma punkt O.

Enodas sammanfattning

Jämvikt och masscentrum

Jämviktsekvationer

\sum\mathbf F=\mathbf0,\qquad\sum_O\mathbf M=\mathbf0

Vad gör formeln?: Både resulterande kraft och resulterande moment måste vara noll i jämvikt.
När får den användas?: Kroppen är i statisk jämvikt eller rör sig utan linjär och vinkelacceleration i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Masscentrum

\mathbf r_G=\frac{1}{m}\int\mathbf r\,dm,\qquad m=\int dm

Vad gör formeln?: Masscentrum är det massviktade medelvärdet av kroppens läge.
När får den användas?: Massfördelningen och lägesvektorn uttrycks i samma koordinatsystem.

Enodas sammanfattning

Fjäderkraft

S = k\,\Delta l

Vad gör formeln?: Kraften i en linjär fjäder är proportionell mot förlängningen från det obelastade läget.
När får den användas?: Linjär fjäder med fjäderkonstant k; förlängningen mäts från det obelastade läget.

Enodas sammanfattning

Friktionsvillkoret

|F_\mu| \le \mu N

Vad gör formeln?: Friktionskraften kan som mest anta produkten av friktionstalet och normalkraften.
När får den användas?: Torr friktion mot ett underlag som inte glider; likhet gäller först vid glidningsgränsen.

Enodas sammanfattning

Jämviktsekvationerna

\sum \mathbf F = \mathbf 0, \qquad \sum \mathbf M_O = \mathbf 0

Vad gör formeln?: En kropp i jämvikt har både resultant och moment lika med noll.
När får den användas?: Stel kropp i vila eller likformig rörelse, med alla yttre krafter frilagda.

Enodas sammanfattning

Masscentrum för en kropp

\mathbf r_G = \frac{1}{m}\int_K \mathbf r\,dm

Vad gör formeln?: Masscentrum är den massviktade medelpositionen för kroppens alla masselement.
När får den användas?: Integralen tas över hela kroppen K med total massa m.

Enodas sammanfattning

Masscentrum för en sammansatt kropp

\mathbf r_G = \frac{\sum_i m_i \mathbf r_i}{\sum_i m_i}

Vad gör formeln?: Masscentrum för en kropp av flera delar är det massviktade medelvärdet av delarnas masscentra.
När får den användas?: Varje del har känd massa och känt masscentrum; urtagningar räknas med negativ massa.

Enodas sammanfattning

Momentpunktens frihet

\sum \mathbf F = \mathbf 0 \Rightarrow \sum \mathbf M_A = \sum \mathbf M_B

Vad gör formeln?: Är resultanten noll blir momentet detsamma kring alla punkter, så momentpunkten kan väljas fritt.
När får den användas?: Gäller när kraftekvationen redan är uppfylld; A och B är godtyckliga punkter.

Enodas sammanfattning

Partikelkinematik

Hastighet och acceleration i naturliga komponenter

\mathbf v=v\mathbf e_t,\qquad\mathbf a=\dot v\mathbf e_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf e_n

Vad gör formeln?: Accelerationen delas i en tangentiell ändring av farten och en normal ändring av riktningen.
När får den användas?: Banan är tillräckligt glatt och rho är den lokala krökningsradien.

Enodas sammanfattning

Acceleration i cylinderkoordinater

\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta+\ddot z\mathbf e_z

Vad gör formeln?: Radial-, transversal- och axialacceleration innehåller bidrag från både koordinater och roterande basvektorer.
När får den användas?: r, theta och z beskriver partikelns läge i en cylinderbas vars axel är fixerad i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Acceleration i cylinderkoordinater

\begin{aligned} a_r &= \ddot r - r\dot\theta^{2} \\ a_\theta &= r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta \\ a_z &= \ddot z \end{aligned}

Vad gör formeln?: Accelerationens komposanter innehåller extra termer som kommer av att basvektorerna vrider sig.
När får den användas?: Basvektorerna roterar med vinkeln, vilket ger de extra termerna utöver andraderivatorna.

Enodas sammanfattning

Banfart

v = \dot s, \qquad \mathbf v = v\,\mathbf e_t

Vad gör formeln?: Hastigheten är alltid riktad längs banans tangent och har beloppet lika med bågkoordinatens derivata.
När får den användas?: Bågkoordinaten s mäts längs banan från en vald startpunkt.

Enodas sammanfattning

Hastighet i cylinderkoordinater

\mathbf v = \dot r\,\mathbf e_r + r\dot\theta\,\mathbf e_\theta + \dot z\,\mathbf e_z

Vad gör formeln?: Hastigheten får en radiell del från radiens ändring och en transversell del från vinkelns ändring.
När får den användas?: Basvektorerna följer med rörelsen och roterar därför med vinkeln.

Enodas sammanfattning

Krökningsradie ur hastighet och acceleration

\rho = \frac{v^{3}}{|\mathbf v \times \mathbf a|}

Vad gör formeln?: Krökningsradien går att räkna fram ur hastighets- och accelerationsvektorerna utan att banans ekvation är känd.
När får den användas?: Gäller i punkter där hastighet och acceleration inte är parallella.

Enodas sammanfattning

Kraftekvationen, arbete och energi

Newtons andra lag för en partikel

\sum\mathbf F=m\mathbf a

Vad gör formeln?: Den resulterande yttre kraften bestämmer partikelns acceleration.
När får den användas?: Massan är konstant och accelerationen mäts i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Lagen om kinetiska energin

T_2-T_1=\int_1^2\sum\mathbf F\cdot d\mathbf r,\qquad T=\frac12mv^2

Vad gör formeln?: Den totala kraftens arbete är lika med förändringen i kinetisk energi.
När får den användas?: Arbetet beräknas längs den verkliga förflyttningen; idealiska tvångskrafter utan arbete bidrar inte.

Enodas sammanfattning

Arbete av en kraft

U_{A \to B} = \int_A^B \mathbf F \cdot d\mathbf r

Vad gör formeln?: Arbetet är kraftens linjeintegral längs vägen, och bara komposanten längs rörelsen bidrar.
När får den användas?: Integralen tas längs den verkliga vägen mellan lägena A och B.

Enodas sammanfattning

Effekt

P = \mathbf F \cdot \mathbf v

Vad gör formeln?: Effekten är kraftens arbete per tidsenhet och är noll när kraften står vinkelrätt mot hastigheten.
När får den användas?: Kraften och hastigheten avser samma angreppspunkt vid samma tidpunkt.

Enodas sammanfattning

Energibalans med ickekonservativa krafter

(T + V)_B - (T + V)_A = U^{(\mathrm{ik})}_{A \to B}

Vad gör formeln?: Summan av kinetisk och potentiell energi ändras bara genom de ickekonservativa krafternas arbete.
När får den användas?: De konservativa krafternas arbete är utbrutet i potentiella energier; friktion och drivande krafter står kvar till höger.

Enodas sammanfattning

Kinetisk energi

T = \tfrac{1}{2}mv^{2}

Vad gör formeln?: Den kinetiska energin beror bara på massan och fartens kvadrat, inte på riktningen.
När får den användas?: Farten mäts i ett inertialsystem och är oberoende av rörelseriktningen.

Enodas sammanfattning

Kraftekvationen

m\mathbf a = \sum \mathbf F

Vad gör formeln?: Newtons andra lag knyter partikelns acceleration till summan av de yttre krafterna.
När får den användas?: Massan är konstant och accelerationen mäts i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Lagen om kinetiska energin

T_B - T_A = U_{A \to B}

Vad gör formeln?: Ändringen i kinetisk energi mellan två lägen är lika med krafternas totala arbete däremellan.
När får den användas?: Alla krafters arbete räknas med, även friktionens.

Enodas sammanfattning

Potentiell energi för en fjäder

V^{(f)} = \tfrac{1}{2}k(\Delta l)^{2}

Vad gör formeln?: Fjäderns potentiella energi växer med kvadraten på förlängningen och är alltid positiv.
När får den användas?: Linjär fjäder, och förlängningen mäts från det obelastade läget.

Enodas sammanfattning

Potentiell energi för tyngdkraften

V^{(g)} = mgh

Vad gör formeln?: Tyngdkraftens arbete beror bara på höjdskillnaden och lagras som potentiell energi.
När får den användas?: Homogent tyngdfält och höjden h mätt från en fritt vald nollnivå.

Enodas sammanfattning

Rörelsemängd, stöt och centralrörelse

Impuls och rörelsemängd

m\mathbf v_2-m\mathbf v_1=\int_{t_1}^{t_2}\sum\mathbf F\,dt

Vad gör formeln?: Kraftens tidsintegral ger förändringen i partikelns rörelsemängd.
När får den användas?: Massan är konstant och alla yttre impulsbidrag under tidsintervallet tas med.

Enodas sammanfattning

Rörelsemängdsmoment vid central kraft

\mathbf H_O=\mathbf r\times m\mathbf v,\qquad\dot{\mathbf H}_O=\sum\mathbf M_O=\mathbf0

Vad gör formeln?: En central kraft bevarar rörelsemängdsmomentet kring kraftcentrum.
När får den användas?: O är ett fixt kraftcentrum och den resulterande kraften är parallell med lägesvektorn från O.

Enodas sammanfattning

Bevarat rörelsemängdsmoment vid centralrörelse

H_z = m r v_\theta

Vad gör formeln?: Vid centralrörelse är produkten av radien och den transversella hastigheten konstant.
När får den användas?: Kraften är riktad mot ett fixt centrum, vilket gör momentet kring centrum noll och H konstant.

Enodas sammanfattning

Gravitationens potentiella energi

V = -\frac{GMm}{r}

Vad gör formeln?: Gravitationens potentiella energi är negativ och går mot noll på oändligt avstånd.
När får den användas?: Avståndet r räknas från centrum av den attraherande kroppen, med nollnivån oändligt långt bort.

Enodas sammanfattning

Impuls och rörelsemängd

m\mathbf v_2 - m\mathbf v_1 = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F\,dt

Vad gör formeln?: Kraftens tidsintegral är lika med ändringen i rörelsemängd.
När får den användas?: Massan är konstant och integralen tas över hela tidsintervallet.

Enodas sammanfattning

Keplers tredje lag

\frac{\tau^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{GM}

Vad gör formeln?: Omloppstidens kvadrat är proportionell mot halva storaxelns kub, med samma konstant för alla banor kring samma centralkropp.
När får den användas?: Elliptisk bana kring en central massa M, där a är banans halva storaxel.

Enodas sammanfattning

Momentlagen

\dot{\mathbf H}_O = \mathbf M_O

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentets ändringstakt är lika med kraftmomentet kring samma punkt.
När får den användas?: Momentpunkten O är fix i ett inertialsystem.

Enodas sammanfattning

Rörelsemängdens bevarande

\sum_i m_i \mathbf v_i' = \sum_i m_i \mathbf v_i

Vad gör formeln?: Vid en stöt bevaras systemets totala rörelsemängd, oavsett hur mycket energi som går förlorad.
När får den användas?: De yttre krafternas impuls är försumbar mot stötkrafterna under stöten.

Enodas sammanfattning

Rörelsemängdsmoment

\mathbf H_O = \mathbf r \times m\mathbf v

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentet är momentet av rörelsemängden kring en vald punkt.
När får den användas?: Lägesvektorn går från momentpunkten O till partikeln.

Enodas sammanfattning

Studstal

e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}

Vad gör formeln?: Studstalet mäter hur stor del av den relativa hastigheten längs stötnormalen som återvinns.
När får den användas?: Hastigheterna tas längs stötnormalen; talet ligger mellan noll och ett.

Enodas sammanfattning

Svängningar

Fri odämpad svängning

m\ddot x+kx=0,\qquad x(t)=A\cos(\omega_nt)+B\sin(\omega_nt),\quad\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}

Vad gör formeln?: Massan och styvheten bestämmer egenfrekvensen för den fria svängningen.
När får den användas?: Systemet är linjärt, odämpat och svänger kring sitt statiska jämviktsläge.

Enodas sammanfattning

Fri underdämpad svängning

m\ddot x+c\dot x+kx=0,\qquad x(t)=e^{-\zeta\omega_nt}[A\cos(\omega_dt)+B\sin(\omega_dt)],\quad\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

Vad gör formeln?: Underdämpning ger en exponentiellt avtagande harmonisk rörelse med sänkt frekvens.
När får den användas?: Dämpningen är viskös och 0 < zeta < 1, där zeta = c/(2 sqrt(km)).

Enodas sammanfattning

Dämpad vinkelfrekvens

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^{2}}

Vad gör formeln?: Den dämpade svängningen går alltid långsammare än den odämpade, och skillnaden växer med dämpningen.
När får den användas?: Gäller för underkritisk dämpning, alltså när dämpningsfaktorn är mindre än ett.

Enodas sammanfattning

Dämpningsfaktor

\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}

Vad gör formeln?: Dämpningsfaktorn är dimensionslös och avgör om systemet svänger eller återgår utan att passera jämviktsläget.
När får den användas?: Viskös dämpning med dämpkonstant c; talet är dimensionslöst.

Enodas sammanfattning

Egenvinkelfrekvens

\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}

Vad gör formeln?: Egenvinkelfrekvensen bestäms av styvheten i förhållande till massan och påverkas inte av utslagets storlek.
När får den användas?: Odämpat system med linjär fjäder; för andra system läses den av ur standardformen.

Enodas sammanfattning

Kritisk dämpning

c_{\mathrm{kr}} = 2\sqrt{km}

Vad gör formeln?: Vid kritisk dämpning återgår systemet snabbast möjligt till jämviktsläget utan att svänga förbi det.
När får den användas?: Gränsfallet där dämpningsfaktorn är exakt ett.

Enodas sammanfattning

Standardform för en svängningsekvation

\ddot x + 2\zeta\omega_n\dot x + \omega_n^{2}x = 0

Vad gör formeln?: Varje linjär svängningsekvation kan skrivas på en gemensam form där egenvinkelfrekvens och dämpningsfaktor kan läsas av.
När får den användas?: Koefficienten framför andraderivatan måste vara ett, och x mäts från det statiska jämviktsläget.

Enodas sammanfattning

Statiskt jämviktsläge

x_0 = \frac{mg}{k}

Vad gör formeln?: En konstant kraft flyttar bara jämviktsläget och ändrar varken frekvens eller svängningens karaktär.
När får den användas?: Konstant kraft på ett fjädrande system; läget är fjäderns statiska hoptryckning.

Enodas sammanfattning

Svängningstid

\tau = \frac{2\pi}{\omega_n}

Vad gör formeln?: Perioden är omvänt proportionell mot egenvinkelfrekvensen och beror inte på utslagets storlek.
När får den användas?: Odämpad svängning; vid dämpning används den dämpade vinkelfrekvensen i stället.

Enodas sammanfattning

Lösning vid underkritisk dämpning