Logga in Skapa gratis kontoSkapa konto

2. Jämvikt och masscentrum

Jämvikt och masscentrum

Frilägg kroppen, ställ upp jämvikt och bestäm masscentrums läge.

Översikt

Frilägg före beräkningen

Ersätt varje kontakt med sina reaktionskrafter, välj momentpunkt för att eliminera okända och kontrollera därefter både kraft- och momentjämvikt.

Formler i området

Jämviktsekvationer

\sum\mathbf F=\mathbf0,\qquad\sum_O\mathbf M=\mathbf0

Vad gör formeln?: Både resulterande kraft och resulterande moment måste vara noll i jämvikt.
När får den användas?: Kroppen är i statisk jämvikt eller rör sig utan linjär och vinkelacceleration i ett inertialsystem.

Masscentrum

\mathbf r_G=\frac{1}{m}\int\mathbf r\,dm,\qquad m=\int dm

Vad gör formeln?: Masscentrum är det massviktade medelvärdet av kroppens läge.
När får den användas?: Massfördelningen och lägesvektorn uttrycks i samma koordinatsystem.

Fjäderkraft

S = k\,\Delta l

Vad gör formeln?: Kraften i en linjär fjäder är proportionell mot förlängningen från det obelastade läget.
När får den användas?: Linjär fjäder med fjäderkonstant k; förlängningen mäts från det obelastade läget.

Friktionsvillkoret

|F_\mu| \le \mu N

Vad gör formeln?: Friktionskraften kan som mest anta produkten av friktionstalet och normalkraften.
När får den användas?: Torr friktion mot ett underlag som inte glider; likhet gäller först vid glidningsgränsen.

Jämviktsekvationerna

\sum \mathbf F = \mathbf 0, \qquad \sum \mathbf M_O = \mathbf 0

Vad gör formeln?: En kropp i jämvikt har både resultant och moment lika med noll.
När får den användas?: Stel kropp i vila eller likformig rörelse, med alla yttre krafter frilagda.

Masscentrum för en kropp

\mathbf r_G = \frac{1}{m}\int_K \mathbf r\,dm

Vad gör formeln?: Masscentrum är den massviktade medelpositionen för kroppens alla masselement.
När får den användas?: Integralen tas över hela kroppen K med total massa m.

Masscentrum för en sammansatt kropp

\mathbf r_G = \frac{\sum_i m_i \mathbf r_i}{\sum_i m_i}

Vad gör formeln?: Masscentrum för en kropp av flera delar är det massviktade medelvärdet av delarnas masscentra.
När får den användas?: Varje del har känd massa och känt masscentrum; urtagningar räknas med negativ massa.

Momentpunktens frihet

\sum \mathbf F = \mathbf 0 \Rightarrow \sum \mathbf M_A = \sum \mathbf M_B

Vad gör formeln?: Är resultanten noll blir momentet detsamma kring alla punkter, så momentpunkten kan väljas fritt.
När får den användas?: Gäller när kraftekvationen redan är uppfylld; A och B är godtyckliga punkter.

Kan du använda jämvikt och masscentrum?

Lös en riktig tentauppgift från SG1130 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift