3. Partikelkinematik

Partikelkinematik

Beskriv hastighet och acceleration i det koordinatsystem som följer rörelsen bäst.

Översikt

Välj bas efter geometrin

Kartesiska komponenter passar fasta riktningar, naturliga komponenter följer banan och cylinderkoordinater passar rotation kring en axel. Blanda inte derivator från olika baser utan att derivera basvektorerna.

Formler i området

Hastighet och acceleration i naturliga komponenter

\mathbf v=v\mathbf e_t,\qquad\mathbf a=\dot v\mathbf e_t+\frac{v^2}{\rho}\mathbf e_n

Vad gör formeln?: Accelerationen delas i en tangentiell ändring av farten och en normal ändring av riktningen.
När får den användas?: Banan är tillräckligt glatt och rho är den lokala krökningsradien.

Acceleration i cylinderkoordinater

\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta+\ddot z\mathbf e_z

Vad gör formeln?: Radial-, transversal- och axialacceleration innehåller bidrag från både koordinater och roterande basvektorer.
När får den användas?: r, theta och z beskriver partikelns läge i en cylinderbas vars axel är fixerad i ett inertialsystem.

Acceleration i cylinderkoordinater

\begin{aligned} a_r &= \ddot r - r\dot\theta^{2} \\ a_\theta &= r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta \\ a_z &= \ddot z \end{aligned}

Vad gör formeln?: Accelerationens komposanter innehåller extra termer som kommer av att basvektorerna vrider sig.
När får den användas?: Basvektorerna roterar med vinkeln, vilket ger de extra termerna utöver andraderivatorna.

Banfart

v = \dot s, \qquad \mathbf v = v\,\mathbf e_t

Vad gör formeln?: Hastigheten är alltid riktad längs banans tangent och har beloppet lika med bågkoordinatens derivata.
När får den användas?: Bågkoordinaten s mäts längs banan från en vald startpunkt.

Hastighet i cylinderkoordinater

\mathbf v = \dot r\,\mathbf e_r + r\dot\theta\,\mathbf e_\theta + \dot z\,\mathbf e_z

Vad gör formeln?: Hastigheten får en radiell del från radiens ändring och en transversell del från vinkelns ändring.
När får den användas?: Basvektorerna följer med rörelsen och roterar därför med vinkeln.

Krökningsradie ur hastighet och acceleration

\rho = \frac{v^{3}}{|\mathbf v \times \mathbf a|}

Vad gör formeln?: Krökningsradien går att räkna fram ur hastighets- och accelerationsvektorerna utan att banans ekvation är känd.
När får den användas?: Gäller i punkter där hastighet och acceleration inte är parallella.

Kan du använda partikelkinematik?

Lös en riktig tentauppgift från SG1130 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift