5. Rörelsemängd, stöt och centralrörelse

Impuls, rörelsemängd och centralrörelse

Använd impuls- och momentsamband för stötar, korta kraftförlopp och centralrörelse.

Översikt

Integrera kraften över rätt tidsintervall

Vid korta förlopp är impulsen ofta enklare än accelerationen. För en central kraft är momentet kring kraftcentrum noll, vilket bevarar rörelsemängdsmomentet.

Formler i området

Impuls och rörelsemängd

m\mathbf v_2-m\mathbf v_1=\int_{t_1}^{t_2}\sum\mathbf F\,dt

Vad gör formeln?: Kraftens tidsintegral ger förändringen i partikelns rörelsemängd.
När får den användas?: Massan är konstant och alla yttre impulsbidrag under tidsintervallet tas med.

Rörelsemängdsmoment vid central kraft

\mathbf H_O=\mathbf r\times m\mathbf v,\qquad\dot{\mathbf H}_O=\sum\mathbf M_O=\mathbf0

Vad gör formeln?: En central kraft bevarar rörelsemängdsmomentet kring kraftcentrum.
När får den användas?: O är ett fixt kraftcentrum och den resulterande kraften är parallell med lägesvektorn från O.

Bevarat rörelsemängdsmoment vid centralrörelse

H_z = m r v_\theta

Vad gör formeln?: Vid centralrörelse är produkten av radien och den transversella hastigheten konstant.
När får den användas?: Kraften är riktad mot ett fixt centrum, vilket gör momentet kring centrum noll och H konstant.

Gravitationens potentiella energi

V = -\frac{GMm}{r}

Vad gör formeln?: Gravitationens potentiella energi är negativ och går mot noll på oändligt avstånd.
När får den användas?: Avståndet r räknas från centrum av den attraherande kroppen, med nollnivån oändligt långt bort.

Impuls och rörelsemängd

m\mathbf v_2 - m\mathbf v_1 = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F\,dt

Vad gör formeln?: Kraftens tidsintegral är lika med ändringen i rörelsemängd.
När får den användas?: Massan är konstant och integralen tas över hela tidsintervallet.

Keplers tredje lag

\frac{\tau^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{GM}

Vad gör formeln?: Omloppstidens kvadrat är proportionell mot halva storaxelns kub, med samma konstant för alla banor kring samma centralkropp.
När får den användas?: Elliptisk bana kring en central massa M, där a är banans halva storaxel.

Momentlagen

\dot{\mathbf H}_O = \mathbf M_O

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentets ändringstakt är lika med kraftmomentet kring samma punkt.
När får den användas?: Momentpunkten O är fix i ett inertialsystem.

Rörelsemängdens bevarande

\sum_i m_i \mathbf v_i' = \sum_i m_i \mathbf v_i

Vad gör formeln?: Vid en stöt bevaras systemets totala rörelsemängd, oavsett hur mycket energi som går förlorad.
När får den användas?: De yttre krafternas impuls är försumbar mot stötkrafterna under stöten.

Rörelsemängdsmoment

\mathbf H_O = \mathbf r \times m\mathbf v

Vad gör formeln?: Rörelsemängdsmomentet är momentet av rörelsemängden kring en vald punkt.
När får den användas?: Lägesvektorn går från momentpunkten O till partikeln.

Studstal

e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}

Vad gör formeln?: Studstalet mäter hur stor del av den relativa hastigheten längs stötnormalen som återvinns.
När får den användas?: Hastigheterna tas längs stötnormalen; talet ligger mellan noll och ett.

Kan du använda impuls, rörelsemängd och centralrörelse?

Lös en riktig tentauppgift från SG1130 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift