Logga in Skapa gratis kontoSkapa konto

6. Svängningar

Fria och dämpade svängningar

Identifiera egenfrekvens, dämpning och begynnelsevillkor i linjära svängningar.

Översikt

Utgå från rörelseekvationen

Skriv systemets mass-, dämpnings- och styvhetstermer innan lösningsformen väljs. Begynnelsevillkoren bestämmer amplitud och fas, inte egenfrekvensen.

Formler i området

Fri odämpad svängning

m\ddot x+kx=0,\qquad x(t)=A\cos(\omega_nt)+B\sin(\omega_nt),\quad\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}

Vad gör formeln?: Massan och styvheten bestämmer egenfrekvensen för den fria svängningen.
När får den användas?: Systemet är linjärt, odämpat och svänger kring sitt statiska jämviktsläge.

Fri underdämpad svängning

m\ddot x+c\dot x+kx=0,\qquad x(t)=e^{-\zeta\omega_nt}[A\cos(\omega_dt)+B\sin(\omega_dt)],\quad\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

Vad gör formeln?: Underdämpning ger en exponentiellt avtagande harmonisk rörelse med sänkt frekvens.
När får den användas?: Dämpningen är viskös och 0 < zeta < 1, där zeta = c/(2 sqrt(km)).

Dämpad vinkelfrekvens

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^{2}}

Vad gör formeln?: Den dämpade svängningen går alltid långsammare än den odämpade, och skillnaden växer med dämpningen.
När får den användas?: Gäller för underkritisk dämpning, alltså när dämpningsfaktorn är mindre än ett.

Dämpningsfaktor

\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}

Vad gör formeln?: Dämpningsfaktorn är dimensionslös och avgör om systemet svänger eller återgår utan att passera jämviktsläget.
När får den användas?: Viskös dämpning med dämpkonstant c; talet är dimensionslöst.

Egenvinkelfrekvens

\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}

Vad gör formeln?: Egenvinkelfrekvensen bestäms av styvheten i förhållande till massan och påverkas inte av utslagets storlek.
När får den användas?: Odämpat system med linjär fjäder; för andra system läses den av ur standardformen.

Kritisk dämpning

c_{\mathrm{kr}} = 2\sqrt{km}

Vad gör formeln?: Vid kritisk dämpning återgår systemet snabbast möjligt till jämviktsläget utan att svänga förbi det.
När får den användas?: Gränsfallet där dämpningsfaktorn är exakt ett.

Standardform för en svängningsekvation

\ddot x + 2\zeta\omega_n\dot x + \omega_n^{2}x = 0

Vad gör formeln?: Varje linjär svängningsekvation kan skrivas på en gemensam form där egenvinkelfrekvens och dämpningsfaktor kan läsas av.
När får den användas?: Koefficienten framför andraderivatan måste vara ett, och x mäts från det statiska jämviktsläget.

Statiskt jämviktsläge

x_0 = \frac{mg}{k}

Vad gör formeln?: En konstant kraft flyttar bara jämviktsläget och ändrar varken frekvens eller svängningens karaktär.
När får den användas?: Konstant kraft på ett fjädrande system; läget är fjäderns statiska hoptryckning.

Svängningstid

\tau = \frac{2\pi}{\omega_n}

Vad gör formeln?: Perioden är omvänt proportionell mot egenvinkelfrekvensen och beror inte på utslagets storlek.
När får den användas?: Odämpad svängning; vid dämpning används den dämpade vinkelfrekvensen i stället.

Lösning vid underkritisk dämpning

x(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\left[A\sin(\omega_d t) + B\cos(\omega_d t)\right]

Vad gör formeln?: Rörelsen är en svängning med den dämpade vinkelfrekvensen inuti en avtagande exponentiell omhöljning.
När får den användas?: Underkritisk dämpning, och konstanterna A och B bestäms av begynnelsevillkoren.

Kan du använda fria och dämpade svängningar?

Lös en riktig tentauppgift från SG1130 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift