1. Kraftsystem och dimensionsanalys

Kraftsystem och moment

Reducera krafter och kraftpar till en resultant och ett moment i en vald punkt.

Översikt

Resultant och moment beskriver kraftsystemet

Summera först alla krafter och därefter deras moment kring en tydligt vald punkt. Vid byte av momentpunkt måste både riktning och hävarm följa samma teckenkonvention.

Formler i området

Resultant och resulterande moment

\mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\qquad \mathbf M_O=\sum_i\mathbf r_{Oi}\times\mathbf F_i+\sum_j\mathbf M_j

Vad gör formeln?: Ett godtyckligt kraftsystem reduceras till en kraftresultant och ett moment i en vald punkt.
När får den användas?: Alla lägesvektorer mäts från samma momentpunkt O och fria kraftpar adderas direkt till momentet.

Byte av momentpunkt

\mathbf M_A=\mathbf M_O-\mathbf r_{OA}\times\mathbf R

Vad gör formeln?: Momentet i en ny punkt fås genom att transportera resultanten med rätt hävarm.
När får den användas?: R och M_O beskriver samma kraftsystem och r_OA går från O till A.

Dimensioner för mekaniska storheter

[F] = MLT^{-2}, \qquad [M_O] = ML^{2}T^{-2}

Vad gör formeln?: Varje term i ett fysikaliskt samband måste ha samma dimension, vilket ger en kontroll av uttrycket.
När får den användas?: Grunddimensionerna är massa, längd och tid.

Kraftmoment kring en punkt

\mathbf M_O = \mathbf r \times \mathbf F

Vad gör formeln?: Momentet av en kraft kring en punkt är korsprodukten mellan lägesvektorn och kraften.
När får den användas?: Lägesvektorn går från momentpunkten O till en godtycklig punkt på kraftens verkningslinje.

Kraftpar

\mathbf M = \mathbf d \times \mathbf F

Vad gör formeln?: Ett kraftpar har noll resultant och samma moment kring varje punkt.
När får den användas?: Två lika stora motriktade krafter med avståndsvektorn d mellan verkningslinjerna.

Moment kring en axel

M_z = (\mathbf r \times \mathbf F) \cdot \mathbf e_z

Vad gör formeln?: Momentet kring en axel är momentvektorns komposant längs axeln.
När får den användas?: Axeln går genom O med riktningen given av enhetsvektorn.

Reduktion av ett kraftsystem

\mathbf R = \sum_i \mathbf F_i, \qquad \mathbf M_O = \sum_i \mathbf r_i \times \mathbf F_i

Vad gör formeln?: Varje kraftsystem kan ersättas av en resultant i en vald punkt och ett moment kring den punkten.
När får den användas?: Alla moment tas kring samma punkt O, och kropparna antas stela.

Villkor för reduktion till en enda kraft

\mathbf M_O \cdot \mathbf R = 0

Vad gör formeln?: Ett kraftsystem går att ersätta med en enda kraft precis när momentet är vinkelrätt mot resultanten.
När får den användas?: Resultanten är skild från noll och momentet tas kring samma punkt O.

Kan du använda kraftsystem och moment?

Lös en riktig tentauppgift från SG1130 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift