Tunna skikt och antireflex

Ljus som träffar ett tunt genomskinligt skikt på en lins reflekteras två gånger: i skiktets framsida och i gränsen mellan skiktet och glaset. De två reflekterade vågorna går ut åt samma håll och interfererar, och skillnaden i optisk väg mellan dem avgör om de förstärker eller släcker varandra.

Ljuset bryts när det går in i skiktet. Med infallsvinkeln $i$ och brytningsvinkeln $b$ i skiktet ger Snells lag

$$n_1 \sin i = n_2 \sin b$$

där $n_1 \approx 1$ för luft och $n_2 = n$ är skiktets brytningsindex. Den andra reflexen går fram och tillbaka genom skiktet med tjockleken $d$, och den optiska vägskillnaden blir

$$\Delta = 2nd\cos b$$

Strålen i skiktet går visserligen en längre sträcka när infallet är snett, men den första reflexen går under tiden en extra bit i luften. Skillnaden mellan dem blir därför mindre än vid rakt infall, och faktorn $\cos b$ är aldrig större än 1. Vid rakt infall är $b = 0$ och vägskillnaden förenklas till $\Delta = 2nd$.

Vid reflektion mot ett material med högre brytningsindex byter den reflekterade vågen tecken, vilket motsvarar fasskiftet $\pi$ eller en halv våglängd. Vid reflektion mot ett lägre brytningsindex sker inget fasskift. Därför måste man se efter vid vilka av skiktets två ytor ljuset vänds innan villkoret för släckning ställs upp.

En antireflexbehandling har nästan alltid ordningen $n_{luft} < n_{skikt} < n_{glas}$. Brytningsindex ökar då vid båda ytorna, båda reflexerna vänds och de två fasskiften tar ut varandra. Bara vägskillnaden avgör, och reflexen släcks när den är ett udda antal halva våglängder:

$$2nd\cos b = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$$

Reflexen förstärks i stället, ett reflektionsmax, när $2nd\cos b = m\lambda$ med heltalet $m$. Här är $\lambda$ våglängden i luft, eftersom skiktets brytningsindex redan står i vägskillnaden. För en tvålhinna i luft är det tvärtom: bara den första reflexen vänds, och villkoren för förstärkning och släckning byter plats.

Den tunnaste tjocklek som släcker reflexen vid vinkelrätt infall fås med $m = 0$, då vägskillnaden är en halv våglängd. Skiktet blir en kvarts våglängd tjockt räknat i skiktet:

$$d = \dfrac{\lambda_0}{4n}$$

där $\lambda_0$ är designvåglängden i luft och $n$ skiktets brytningsindex. Ett AR-skikt görs i lägsta ordning, eftersom vägskillnaden i ett tjockare skikt ändras snabbare med våglängden och släckningen då bara gäller ett smalare område.

Släckningen blir fullständig bara om de två reflexerna är lika starka. Vid vinkelrätt infall från luft blir reflektansen med ett kvartsvågsskikt $R = \left(\dfrac{n_{glas} - n_{skikt}^2}{n_{glas} + n_{skikt}^2}\right)^2$, mot $R = \left(\dfrac{n_{glas} - 1}{n_{glas} + 1}\right)^2$ utan skikt. Restreflexen försvinner när

$$n_{skikt} = \sqrt{n_{luft}\, n_{glas}} \approx \sqrt{n_{glas}}$$

För glas med brytningsindex 1,5 är idealet ungefär 1,22. Få hållbara material har så lågt brytningsindex, så i praktiken blir en liten restreflex kvar.

Ett skikt som är optimerat för $\lambda_1$ vid vinkelrätt infall fungerar bäst för en annan våglängd $\lambda_2$ när ljuset kommer in snett. Tjockleken är densamma, och villkoret $2nd\cos b = \lambda_2/2$ ger

$$\lambda_2 = \lambda_1 \cos b$$

Snett infall flyttar alltså optimum mot kortare våglängd, och det är brytningsvinkeln inne i skiktet som står i cosinus.

Ett kvartsvågsskikt för $\lambda_0$ har vägskillnaden $2nd = \lambda_0/2$. Reflektionsmax kräver en hel våglängds vägskillnad, så det första maximum hamnar vid $\lambda = \lambda_0/2$ och nästa vid $\lambda_0/4$. Där är skiktet en halv våglängd tjockt och reflekterar lika mycket som obehandlat glas. Ska antireflexen vara så jämn som möjligt över ett våglängdsintervall väljs designvåglängden mitt i intervallet, så att intervallets båda ändar hamnar ungefär lika långt från optimum.

Ett skikt med brytningsindex 1,45 läggs på glas med brytningsindex 1,60 och optimeras för 600 nm vid vinkelrätt infall. Ordningen $1 < 1{,}45 < 1{,}60$ gör att båda reflexerna vänds, så kvartsvågsvillkoret gäller och $d = \dfrac{600\ \mathrm{nm}}{4 \cdot 1{,}45} = 103\ \mathrm{nm}$.

Vid infallsvinkeln $i = 40^\circ$ ger Snells lag $\sin b = \dfrac{\sin 40^\circ}{1{,}45} = 0{,}443$, alltså $b = 26{,}3^\circ$. Samma tjocklek släcker då reflexen för

$$\lambda_2 = 600\ \mathrm{nm} \cdot \cos 26{,}3^\circ = 538\ \mathrm{nm}$$

Optimum har flyttat ungefär 60 nm mot det blå. Med $b = 40^\circ$ i stället för brytningsvinkeln hade svaret blivit 460 nm, vilket är fel.

En lins med brytningsindex 1,70 får ett skikt med brytningsindex 1,40 som ska ge antireflex för 1310 nm vid vinkelrätt infall. Lägsta ordningen ger $d = \dfrac{1310\ \mathrm{nm}}{4 \cdot 1{,}40} = 234\ \mathrm{nm}$, och vägskillnaden är $2nd = 655\ \mathrm{nm}$.

Reflektionsmax inträffar där vägskillnaden är ett helt antal våglängder, $\lambda = 2nd/m$. Med $m = 1$ blir det 655 nm, som är rött synligt ljus, och med $m = 2$ blir det 328 nm i ultraviolett. Linsen ser alltså rödaktig ut i reflex trots att den är antireflexbehandlad.

Det ideala brytningsindexet hade varit $\sqrt{1{,}70} = 1{,}30$. Med 1,40 blir restreflexen vid 1310 nm $R = \left(\dfrac{1{,}70 - 1{,}40^2}{1{,}70 + 1{,}40^2}\right)^2 = 0{,}50\ \%$, mot 6,7 % för obehandlat glas.

En kamera ska användas mellan 640 och 760 nm med ljuset rakt framifrån, och linsen beläggs med ett skikt med brytningsindex 1,45. För att restreflexen ska bli ungefär lika liten i båda ändarna väljs designvåglängden mitt i intervallet, $\lambda_0 = 700\ \mathrm{nm}$. Infallsvinkeln är noll, så $\cos b = 1$, och tjockleken blir $d = \dfrac{700\ \mathrm{nm}}{4 \cdot 1{,}45} = 121\ \mathrm{nm}$. Det första reflektionsmaximum ligger vid 350 nm, långt utanför intervallet.

Det vanligaste felet är att sätta in infallsvinkeln $i$ i $\cos b$. Vägskillnaden bestäms av hur ljuset går inne i skiktet, så brytningsvinkeln från Snells lag ska användas, och den är alltid mindre än infallsvinkeln när ljuset kommer från luft.

Ett annat fel är att placera cosinusfaktorn i täljaren i stället för nämnaren när tjockleken skrivs ut, $d = \dfrac{\lambda}{4n\cos b}$. En kontroll är att snett infall alltid ska ge en kortare optimal våglängd, aldrig en längre.

Ett tredje fel är att välja en annan ordning än den lägsta. Ett AR-skikt är en kvarts våglängd tjockt, och reflektionsmax för samma skikt söks med samma tjocklek men villkoret $2nd = m\lambda$.

Kontrollera också ordningen mellan de tre brytningsindexen innan släckningsvillkoret ställs upp, räkna med skiktets brytningsindex och inte glasets, och behåll faktorn 2 i vägskillnaden, eftersom ljuset passerar skiktet två gånger.