Stående vågor, svävning och superposition

En ljudvåg som går mot ökande $x$ kan skrivas

$$s(x,t) = s_0\sin(kx - \omega t), \qquad k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi f$$

där $s_0$ är förskjutningsamplituden, $k$ vågtalet och $\omega$ vinkelfrekvensen. Med plustecken går vågen åt andra hållet. Mönstret upprepar sig efter en våglängd och en period och förflyttas med hastigheten $v = f\lambda = \omega/k$.

Två vågor med samma frekvens som når en punkt efter olika långa vägar får fasskillnaden

$$\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r$$

där $\Delta r$ är vägskillnaden. En halv våglängd ger $\pi$ och en hel $2\pi$, vilket är detsamma som ingen fasskillnad. Har källorna själva en fasskillnad läggs den till.

När en våg reflekteras möts två vågor med samma amplitud och frekvens som går åt motsatta håll. Summan blir

$$s = s_0\sin(kx - \omega t) + s_0\sin(kx + \omega t) = 2s_0\sin(kx)\cos(\omega t)$$

Varje punkt svänger på stället med amplituden $2s_0|\sin kx|$. Där $\sin kx = 0$ står mediet still. Dessa noder ligger $\lambda/2$ isär, med bukar och amplituden $2s_0$ mitt emellan, så från buk till nod är det $\lambda/4$.

Vid en stel vägg kan luften inte röra sig, så väggen är nod för förskjutning och partikelhastighet, som i $x = 0$ ovan. Ljudtrycket beror på hur mycket luften trycks ihop, $p \propto -\partial s/\partial x$, och har buk där förskjutningen har nod. Vid väggen finns alltså en tryckbuk och en kvarts våglängd ut en trycknod.

Har vågen mot ökande $x$ vinkelfrekvensen $\omega_1$ och den motgående $\omega_2$ står mönstret inte still. Omskrivning med $\sin A + \sin B = 2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$ visar att noderna vandrar med

$$v_m = \dfrac{\omega_1 - \omega_2}{k_1 + k_2} \approx \dfrac{\Delta f\,\lambda}{2}$$

åt samma håll som vågen med högst frekvens. En fast punkt passeras därför av noder med skillnadsfrekvensen.

Vågor med samma frekvens och fast fasrelation kallas koherenta. Då adderas förskjutningarna, och eftersom intensiteten är proportionell mot amplitudens kvadrat blir

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi$$

I fas, $\Delta\varphi = 0$, fås maximum $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$, och i motfas, $\Delta\varphi = \pi$, minimum $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$. Två lika starka vågor ger alltså allt från fyra gånger en vågs intensitet till noll. För okorrelerade källor är sista termen noll i medel.

Med flera lika källor ritar man visare, lika långa pilar som var och en är vriden fasskillnaden mot grannen. Alla i fas ger en $N$ gånger längre pil och intensiteten $N^2 I$. Summan blir noll när pilarna sluter en månghörning, första gången vid $2\pi/N$ mellan grannarna.

Vid lite olika frekvens växer fasskillnaden med tiden, $\Delta\varphi = 2\pi(f_1 - f_2)\,t$, och intensiteten pendlar mellan max och min med svävningsfrekvensen $f_{sv} = |f_1 - f_2|$.

En högtalare sänder 686 Hz mot en stel betongvägg, och ljudhastigheten är 343 m/s. Då är $\lambda = 343/686 = 0{,}500\ \mathrm{m}$, $k = 2\pi/\lambda = 12{,}6\ \mathrm{rad/m}$ och $\omega = 2\pi\cdot 686 = 4{,}31\cdot 10^{3}\ \mathrm{rad/s}$.

Förskjutningens noder ligger vid väggen och sedan var $\lambda/2 = 25\ \mathrm{cm}$, alltså på 0, 25 och 50 cm, och bukarna på 12,5 och 37,5 cm. Ljudtrycket har tvärtom buk vid väggen och på 25 och 50 cm. En tryckkänslig mikrofon ger därför starkast signal precis vid väggen.

Ersätts väggen av en andra högtalare som spelar 688 Hz mot den första vandrar noderna med

$$v_m = \dfrac{\omega_1 - \omega_2}{k_1 + k_2} = \dfrac{2\pi\cdot 2}{2\pi\,(688 + 686)/343} = 0{,}50\ \mathrm{m/s}$$

bort från 688 Hz-högtalaren. Två noder passerar en fast punkt varje sekund, samma takt som svävningen mellan tonerna.

Två högtalare drivs av samma signal på 1715 Hz och är alltså koherenta och i fas. Var för sig ger de 70 dB och 66 dB i en punkt som ligger 4,00 m från den ena och 4,30 m från den andra. Med $\lambda = 343/1715 = 0{,}200\ \mathrm{m}$ blir

$$\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{0{,}200}\cdot 0{,}30 = 3\pi$$

alltså motfas. Med $I_1 = 1{,}0\cdot 10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$ och $I_2 = 4{,}0\cdot 10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$ är förändringsfaktorn $I_2/I_1 = 10^{-0{,}4} = 0{,}398$, och minimum blir

$$I_{min} = I_1\left(1 - \sqrt{0{,}398}\right)^2 = 0{,}136\,I_1$$

eller $70 + 10\lg 0{,}136 = 61{,}3\ \mathrm{dB}$, lägre än den svagare högtalaren ensam. Där vägskillnaden är en hel våglängd, 0,20 m, blir det maximum, $I_{max} = I_1\left(1 + \sqrt{0{,}398}\right)^2 = 2{,}66\,I_1$, alltså $70 + 10\lg 2{,}66 = 74{,}2\ \mathrm{dB}$. Okorrelerade källor hade gett $70 + 10\lg 1{,}398 = 71{,}5\ \mathrm{dB}$ överallt.

Fyra högtalare spelar 500, 502, 504 och 506 Hz och ger var för sig intensiteten $I$ hos en lyssnare, där de är i fas vid $t = 0$. Fasskillnaden mellan grannar växer som

$$\Delta\varphi = 2\pi\cdot (502 - 500)\cdot t = 4\pi t$$

Vid start pekar alla visare åt samma håll och intensiteten är $4^2 I = 16I$. Vid $t = 0{,}125\ \mathrm{s}$ är grannarnas fasskillnad 90°, fyra pilar som vrids 90° i taget bildar en kvadrat och summan är noll. Vid $t = 0{,}25\ \mathrm{s}$ är fasskillnaden 180°, pilarna tar ut varandra parvis och intensiteten är åter noll. Vid $t = 0{,}50\ \mathrm{s}$ är allt i fas igen, så mönstret upprepas två gånger per sekund.

Ger en källa ensam 60 dB blir maximum $60 + 10\lg 16 = 72\ \mathrm{dB}$, medan medelvärdet över tiden, $4I$ eller 66 dB, är detsamma som för okorrelerade källor.

Med Eulers formel $e^{i\alpha} = \cos\alpha + i\sin\alpha$ skrivs en våg $E = \mathrm{Re}\{E_0\,e^{i(kz - \omega t)}\}$. Man räknar med exponentialfunktionen och tar realdelen sist, så att fasförskjutningar blir multiplikationer.

I ett material med brytningsindex $n$ är vågtalet $k = 2\pi n/\lambda$, med $\lambda$ i vakuum. Görs brytningsindex komplext, $n + i\kappa$, får exponenten en reell del:

$$E_0\,e^{i(2\pi (n + i\kappa) z/\lambda - \omega t)} = E_0\,e^{-2\pi\kappa z/\lambda}\,e^{i(2\pi n z/\lambda - \omega t)}$$

Den första faktorn är en avtagande amplitud, den andra en vanlig våg med våglängden $\lambda/n$. Intensiteten följer amplitudens kvadrat:

$$I(z) = I(0)\,e^{-4\pi\kappa z/\lambda}$$

Tecknet på $\kappa$ väljs så att vågen avtar i sin utbredningsriktning, vilket för vågformen $e^{i(kz - \omega t)}$ betyder positivt. Motsvarande absorbans är $a = 4\pi\kappa/\lambda$.

En fasskillnad $\Delta\varphi$ mellan två mottagare, till exempel två öron, är ingen interferens, eftersom interferens kräver att vågor överlagras i samma punkt. Vägskillnaden ska följa den väg ljudet faktiskt tar, runt ett hinder och inte genom det.

Vid flera lika källor räcker det inte att räkna ut maximum. Släckningen kommer när visarna sluter sig, vid $2\pi/N$ mellan grannarna, och för ett udda antal källor släcker 180° inte. Rita visarna först.

Amplituder adderas bara för koherenta källor, annars adderas intensiteter. Noderna ligger $\lambda/2$ isär, inte en hel våglängd, och förskjutning och tryck har noder på olika ställen. Vinkelfrekvensen $\omega = 2\pi f$ är inte frekvensen, och fasskillnader räknas i radianer. Frågas det efter max och min i dB ska svaren vara nivåer, inte intensiteter.