Gitter, diffraktion och upplösning

Ett gitter består av många smala spalter med spaltavståndet $d$, gitterkonstanten. Ljus från två grannspalter som går ut i vinkeln $\theta$ har vägskillnaden $d\sin\theta$, och när den är ett helt antal våglängder förstärker alla spalter varandra:

$$d\sin\theta = m\lambda$$

Heltalet $m$ är ordningen, och ett gitter med N linjer per millimeter har $d = 1/N\ \mathrm{mm}$. Sinus kan inte överstiga 1, så bara ordningar med $m < d/\lambda$ syns, och den högsta ordningen är det största heltal som uppfyller villkoret. Den längre våglängden böjs alltid av mest.

För små vinklar är $\sin\theta \approx \theta \approx y/L$, där $y$ är avståndet från symmetriaxeln på en skärm på avståndet $L$. Då blir $y = mL\lambda/d$, och läget på skärmen är proportionellt mot våglängden. Skillnaden i läge mellan två våglängder i samma ordning hör därför ihop med skillnaden i våglängd med samma skalfaktor.

Två närliggande våglängder i samma ordning hamnar i närliggande vinklar. Hur långt isär de hamnar fås utan småvinkelapproximation genom att derivera gitterekvationen. Gitterkonstanten och ordningen är desamma, och en liten ändring i sinus är cosinus gånger vinkeländringen, $d\cos\theta\,\Delta\theta = m\,\Delta\lambda$. Det ger

$$\Delta\theta = \dfrac{m\,\Delta\lambda}{d\cos\theta} = \tan\theta\,\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}$$

där den andra formen fås genom att dela med gitterekvationen. Då försvinner gitterkonstanten och ordningen, och den relativa våglängdsskillnaden räcker. Omvänt ger en uppmätt vinkelskillnad själva vinkeln genom $\Delta\lambda/\lambda = \cot\theta\,\Delta\theta$. Vinkeländringen $\Delta\theta$ ska vara i radianer. Dispersionen växer mot stora vinklar, eftersom $\cos\theta$ i nämnaren går mot noll.

Varje spalt har bredden $b$, och ljuset från en enda spalt sprids i ett diffraktionsmönster vars första minimum ligger där

$$b\sin\theta = \lambda$$

Gittrets punkter ligger under detta hölje, och utanför höljets första minimum är de mycket svaga. Inom den centrala toppen syns de ordningar vars vinkel är mindre än minimumets. Båda sinusvärdena är proportionella mot våglängden, så villkoret $m\lambda/d < \lambda/b$ förenklas till $m < d/b$. Antalet punkter blir

$$1 + 2N$$

där $N$ är det största heltalet mindre än $d/b$: centralmaximum och lika många punkter på varje sida. Antalet beror inte på våglängden och alltså inte på laserns färg. Villkoret är att höljets första minimum finns, $\lambda < b$. Är kvoten ett heltal hamnar den ordningen exakt på minimum och syns inte.

En lins eller pupill med diametern $D$ avbildar en avlägsen punkt som en liten ljus skiva omgiven av svaga ringar, en Airyskiva. Rayleighs kriterium säger att två punkter precis kan särskiljas när den enas centrum hamnar på den andras första mörka ring, alltså vid vinkelavståndet

$$\alpha_{\min} = 1{,}22\,\dfrac{\lambda}{D}$$

Faktorn 1,22 kommer från den runda öppningen. På avståndet $L$ är det minsta särskiljbara avståndet $s = L\,\alpha_{\min}$. I fokalplanet till en lins med fokallängden $f$ blir fläckens radie vinkeln gånger fokallängden:

$$r = 1{,}22\,\dfrac{\lambda f}{D} = 1{,}22\,\lambda \cdot \dfrac{f}{D}$$

Fläckens storlek på sensorn bestäms alltså av bländartalet $f/D$. Ett större bländartal är en mindre öppning och ger en större fläck. Det är fläckens diameter $2r$ som ska jämföras med pixelbredden.

Som $D$ används den öppning som faktiskt begränsar knippet. I ett system med en positiv första lins är det ofta den, eftersom knippet smalnar av efter den. Bakom en kikare begränsar ögats pupill om den är mindre än utgångspupillen, och gränsvinkeln på himlen blir då pupillens gränsvinkel delad med förstoringen $G$.

Ett gitter med 600 linjer per millimeter har $d = 1{,}667\ \mathrm{\mu m}$. Natriumlampans två gula linjer har våglängderna 589,0 och 589,6 nm. I första ordningen ger gitterekvationen $\sin\theta = 0{,}5890/1{,}667 = 0{,}353$, alltså $\theta = 20{,}7^\circ$. Vinkelskillnaden mellan linjerna blir

$$\Delta\theta = \dfrac{0{,}6 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{m}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m} \cdot \cos 20{,}7^\circ} = 0{,}38\ \mathrm{mrad}$$

Den högsta ordningen är 2, eftersom $d/\lambda = 2{,}83$. I andra ordningen är $\theta = 45{,}0^\circ$ och $\Delta\theta = 1{,}0\ \mathrm{mrad}$, alltså 2,6 gånger mer och inte 2 gånger, eftersom cosinus har minskat.

Omvänt: två linjer som skiljer sig 0,50 % i våglängd och ger vinkelskillnaden 8,0 mrad ligger vid $\tan\theta = 0{,}0080/0{,}0050 = 1{,}6$, alltså $\theta = 58^\circ$.

Ett gitter har spaltavståndet 12 µm och spaltbredden 5,0 µm. Kvoten är $d/b = 2{,}4$, så $N = 2$ och fem punkter syns inom höljets centrala topp. För blått ljus med 450 nm ligger andra ordningen vid $4{,}3^\circ$ och höljets minimum vid $5{,}2^\circ$. För rött ljus med 650 nm är vinklarna $6{,}2^\circ$ och $7{,}5^\circ$. Vinklarna skiljer sig, men antalet punkter är detsamma. Med spaltbredden 3,0 µm blir $d/b = 4$, den fjärde ordningen hamnar på minimum, och $1 + 2 \cdot 3 = 7$ punkter syns.

En kamera har ett objektiv med fokallängden 50 mm och diametern 12,5 mm, alltså $f/D = 4{,}0$. Med grönt ljus, $\lambda = 520\ \mathrm{nm}$, är den minsta särskiljbara vinkeln $\alpha_{\min} = 1{,}22 \cdot 520 \cdot 10^{-9}/(12{,}5 \cdot 10^{-3}) = 51\ \mathrm{\mu rad}$. Två punkter 800 m bort måste därför ligga minst $s = 800\ \mathrm{m} \cdot 51 \cdot 10^{-6} = 4{,}1\ \mathrm{cm}$ isär.

I fokalplanet blir fläckens radie $r = 1{,}22 \cdot 520\ \mathrm{nm} \cdot 4{,}0 = 2{,}5\ \mathrm{\mu m}$ och diametern 5,1 µm, större än en pixel som är 4,0 µm bred. Ska diametern vara mindre än pixelbredden måste radien vara mindre än 2,0 µm:

$$\dfrac{f}{D} < \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-6}}{1{,}22 \cdot 520 \cdot 10^{-9}} = 3{,}2$$

Bländartal under ungefär 3,2 fungerar alltså. Vid bländartalet 4,0 är det diffraktionen och inte pixlarna som begränsar skärpan.

Det första felet är att blanda ihop radie och diameter. Uttrycket $1{,}22\,\lambda f/D$ är fläckens radie, så ska diametern vara mindre än en pixel jämförs radien med halva pixelbredden. I Rayleighs kriterium är $D$ öppningens diameter, inte dess radie.

Det andra är att vända olikheten. Ett större bländartal ger en större fläck, så ett krav på en liten fläck blir en övre gräns för bländartalet. Det tredje är att räkna utan att välja våglängd. Anges ingen våglängd väljer man en rimlig och skriver ut valet, för grönt ljus mellan 500 och 580 nm.

I gitteruppgifter är felen att sätta $\sin\theta \approx \theta$ när vinkeln är stor, att räkna vinkelskillnaden i grader i stället för radianer och att glömma att ordningen måste uppfylla $m < d/\lambda$.