Polarisation

Ljus är en transversell våg, och polarisationen anger i vilken riktning det elektriska fältet svänger. En polaroid släpper igenom komposanten av fältet längs sin genomsläppsriktning och absorberar resten. Bildar linjärt polariserat ljus vinkeln $\theta$ med genomsläppsriktningen passerar fältet $E\cos\theta$, och eftersom intensiteten är proportionell mot fältets kvadrat blir

$$I = I_0\cos^2\theta$$

Det är Malus lag. Efter polaroiden är ljuset polariserat längs genomsläppsriktningen, oavsett hur det var polariserat före.

Opolariserat ljus, som solljus eller ljus från en glödlampa, innehåller alla polarisationsriktningar lika ofta. Medelvärdet av $\cos^2\theta$ över alla vinklar är en halv, så en ideal polaroid släpper igenom $I = I_0/2$ hur den än är vriden. Två korsade polaroider, med $\theta = 90^\circ$ mellan genomsläppsriktningarna, släcker allt ljus. Sätts en tredje polaroid snett mellan dem går ljus igen, eftersom ljuset efter den mittersta polaroiden har en komposant längs den sista.

I en dubbelbrytande kristall beror brytningsindex på polarisationen. Ljus polariserat längs kristallens optiska axel känner det extraordinära brytningsindexet $n_e$, och ljus polariserat vinkelrätt mot axeln känner det ordinära $n_o$. En platta med tjockleken $d$ och den optiska axeln i plattans plan delar därför upp fältet i två komposanter, som kommer ut med fasskillnaden

$$\Delta\varphi = \dfrac{2\pi\,|n_e - n_o|\,d}{\lambda}$$

En halvvågsplatta har $\Delta\varphi = \pi$. Den ena komposanten byter då tecken relativt den andra, och den linjära polarisationen speglas i den optiska axeln. Bildar polarisationen vinkeln $\theta$ med axeln vrids den alltså vinkeln $2\theta$. Ligger axeln parallellt med eller vinkelrätt mot polarisationen finns bara en komposant, och plattan ändrar ingenting.

En kvartsvågsplatta har $\Delta\varphi = \pi/2$. Med axeln i $\pm 45^\circ$ mot en linjär polarisation blir komposanterna lika stora och en kvarts period ur fas, och ljuset blir cirkulärpolariserat. Andra vinklar ger elliptisk polarisation. Eftersom fasskillnaden beror på våglängden fungerar en platta som kvarts- eller halvvågsplatta bara vid sin designvåglängd.

Två korsade polaroider med en dubbelbrytande platta emellan är grundprincipen för en pixel i en LCD-skärm. Utan plattan släcks ljuset helt. En halvvågsplatta med den optiska axeln $45^\circ$ från den första polaroidens genomsläppsriktning speglar polarisationen till den andra polaroidens riktning, och då går allt ljus som passerat den första polaroiden igenom. Ligger axeln längs någon av polaroidernas riktningar ändras ingenting, och pixeln förblir mörk.

Med axeln i 45° och en godtycklig fasskillnad blir intensiteten efter den andra polaroiden

$$I = I_1 \sin^2\!\left(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)$$

där $I_1$ är intensiteten efter den första polaroiden. I en LCD styrs fasskillnaden elektriskt, så pixelns ljusstyrka kan ställas in mellan mörkt och fullt ljus. Det utgående ljuset är alltid polariserat längs den sista polaroidens genomsläppsriktning.

Hur mycket ljus som reflekteras mot en glas- eller vattenyta beror på polarisationen. Vid infallsvinkeln

$$\tan\theta_B = \dfrac{n_2}{n_1}$$

reflekteras ingenting av den komposant som svänger i infallsplanet, och den reflekterade strålen blir helt polariserad parallellt med ytan. Här är $n_1$ brytningsindex där ljuset kommer ifrån, $n_2$ brytningsindex i materialet det reflekteras mot, och vinkeln mäts från normalen. Vid Brewstervinkeln är den reflekterade och den brutna strålen vinkelräta mot varandra. Bländande reflexer från vatten och vägbanor är därför till stor del horisontellt polariserade, och solglasögon med polaroid har lodrät genomsläppsriktning.

Opolariserat ljus med intensiteten $I_0$ går genom en polaroid i 0° och en i 90°. Efter den första är intensiteten $I_0/2$, och den andra släcker allt. Sätts en tredje polaroid i 30° emellan är vinklarna i de två stegen 30° och 60°:

$$I = \dfrac{I_0}{2} \cdot \cos^2 30^\circ \cdot \cos^2 60^\circ = \dfrac{I_0}{2} \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25 = 0{,}094\, I_0$$

Mittpolaroiden i 45° släpper igenom mest, $I_0/8$ eller 12,5 %.

Två polaroider fungerar också som ett vridbart dämpfilter. Ska filtret släppa igenom 5,0 % av opolariserat ljus krävs $\tfrac{1}{2}\cos^2\theta = 0{,}050$, alltså $\cos^2\theta = 0{,}10$ och $\theta = 72^\circ$. Utan faktorn en halv hade vinkeln blivit 77°, och filtret hade släppt igenom hälften så mycket som avsett.

Kvarts har för rött ljus med 633 nm ungefär $n_o = 1{,}543$ och $n_e = 1{,}552$. En kvartsvågsplatta i lägsta ordningen ska ge $\Delta\varphi = \pi/2$, vilket kräver tjockleken

$$d = \dfrac{\lambda}{4\,|n_e - n_o|} = \dfrac{633 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{m}}{4 \cdot 0{,}009} = 17{,}6\ \mathrm{\mu m}$$

En halvvågsplatta blir dubbelt så tjock, 35 µm.

En laserstråle är linjärt polariserad i 20° mot horisontalen. För cirkulär polarisation vrids kvartsvågsplattans axel till $20^\circ + 45^\circ = 65^\circ$ eller $20^\circ - 45^\circ = -25^\circ$. Används i stället halvvågsplattan med axeln i 35° speglas polarisationen i axeln och hamnar i $35^\circ + (35^\circ - 20^\circ) = 50^\circ$, alltså vriden $2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$. Med axeln i 20° eller 110° händer ingenting.

För ljus från luft mot vatten med brytningsindex 1,33 är $\theta_B = \arctan 1{,}33 = 53{,}1^\circ$. Den brutna strålen går då i vinkeln $90^\circ - 53{,}1^\circ = 36{,}9^\circ$ från normalen, vilket Snells lag bekräftar: $\sin b = \sin 53{,}1^\circ/1{,}33 = 0{,}60$. Mot glas med brytningsindex 1,50 är Brewstervinkeln 56,3°, och för ljus som går inifrån glaset mot luft är den $\arctan(1/1{,}50) = 33{,}7^\circ$.

Det vanligaste felet med opolariserat ljus är att glömma att den första polaroiden bara släpper igenom hälften. Malus lag gäller ljus som redan är linjärt polariserat, och för opolariserat ljus ersätts den första faktorn av $1/2$. Ett annat fel är att räkna med $\cos\theta$ i stället för $\cos^2\theta$: cosinus gäller fältet, men det är intensiteten som efterfrågas. Vinkeln i Malus lag är vinkeln mellan ljusets polarisation och genomsläppsriktningen, inte mellan polaroiden och en fast axel.

För våglängdsplattor är felet ofta att tro att en halvvågsplatta vrider polarisationen med vinkeln mellan polarisationen och axeln, när den vrider dubbelt så mycket. En platta med axeln längs eller vinkelrätt mot polarisationen gör ingenting, och därför måste axeln ligga snett för att en ljusventil ska släppa igenom ljus. Av cirkulärpolariserat ljus går, precis som av opolariserat, hälften igenom en polaroid i varje vinkel, så en polaroid ensam kan inte skilja dem åt.