Tunna linser och avbildning

En tunn lins avbildar en objektpunkt på avståndet $s$ framför linsen på en bildpunkt på avståndet $s'$ bakom den. Avstånden och fokallängden $f$ hänger ihop genom linsformeln

$$\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f}$$

Sambandet gäller för en lins som är tunn jämfört med avstånden och för strålar som går nära symmetriaxeln med små vinklar mot den. Tecknen följer en fast konvention. Ett reellt objekt framför linsen har $s > 0$. En reell bild, där strålarna verkligen möts bakom linsen och kan fångas på en skärm eller en sensor, har $s' > 0$. En virtuell bild ligger på objektets sida; strålarna ser bara ut att komma därifrån, och då är $s' < 0$. En positiv, samlande lins har $f > 0$ och en negativ, spridande lins har $f < 0$.

För en positiv lins med $s > f$ blir bilden reell och upp och nedvänd. Med $s < f$ blir $s'$ negativt, och bilden är virtuell, rättvänd och förstorad, som i en lupp. En negativ lins ger alltid en virtuell, rättvänd och förminskad bild av ett reellt objekt. Bildens storlek ges av den transversella förstoringen $M = h'/h = -s'/s$, där ett negativt värde betyder att bilden är upp och nedvänd.

Bilden av en objektpunkt kan konstrueras med linjal, eftersom tre strålar från punkten har kända vägar genom en tunn lins. Linsen har en brännpunkt på var sida, båda på avståndet $|f|$ från linsen. För en positiv lins går en stråle parallell med symmetriaxeln genom brännpunkten bakom linsen. En stråle genom linsens mitt går rakt igenom utan att brytas. En stråle genom brännpunkten framför linsen lämnar linsen parallell med axeln. Där strålarna skär varandra bakom linsen ligger den reella bildpunkten, på avståndet $s'$ från linsen.

För en negativ lins byter brännpunkterna roll. En stråle parallell med axeln sprids så att den ser ut att komma från brännpunkten framför linsen. Strålen genom mitten går fortfarande rakt igenom. En stråle som siktar mot brännpunkten bakom linsen lämnar linsen parallell med axeln. De utgående strålarna skär aldrig varandra, men deras förlängningar bakåt gör det, framför linsen. Där ligger den virtuella bilden, och därför är $s' < 0$.

Två strålar räcker för att hitta bildpunkten, och den tredje är en kontroll. Konstruktionen ritas i skala med linjal och visar redan innan man räknar om bilden blir reell eller virtuell: skär de verkliga strålarna varandra är bilden reell, skär bara förlängningarna varandra är den virtuell.

När objektet ligger mycket längre bort än fokallängden, $s \gg f$, ger linsformeln $s' \approx f$: bilden hamnar i fokalplanet. Strålarna från en avlägsen objektpunkt som syns under vinkeln $\alpha$ mot symmetriaxeln kommer in parallella, och strålen genom linsens mitt går rakt igenom. Bildpunkten hamnar därför på höjden

$$h' = f \cdot \tan\alpha$$

över axeln. För små vinklar är $h' \approx f\alpha$, med vinkeln i radianer, och samma samband ger hela bildens storlek ur hela synvinkeln. Lång fokallängd ger stor bild, och därför zoomar man in genom att öka fokallängden. Vid stora vinklar, som i en vidvinkelkamera, måste tangens användas. Ett synfält på $\pm\alpha$ täcker en sensor med bredden $b$ när $\tan\alpha = (b/2)/f$.

Rörelser skalas på samma sätt. När $s \gg f$ är förstoringen ungefär $f/s$, så ett objekt som rör sig med farten $v$ vinkelrätt mot axeln ger en bild som glider över sensorn med farten $v' = v \cdot f/s$. Under exponeringstiden $T$ flyttar sig bilden sträckan $v'T$, och den sträckan är rörelseoskärpan.

Ljuset som passerar en lins med diametern $D$ samlas i en kon mot bildpunkten. Bländartalet är kvoten

$$N = \dfrac{f}{D}$$

och anger hur smal konen är. Belysningen i bildplanet är proportionell mot $1/N^2$, så ett halverat bländartal ger fyra gånger så mycket ljus och tillåter en fyra gånger kortare exponeringstid. Ett objektiv märkt f/2,8 har bländartalet 2,8. Bländartalet bestämmer också diffraktionsfläckens storlek, som behandlas i ämnet om gitter, diffraktion och upplösning.

Bakom en lins som träffas av parallellt ljus, till exempel solljus, krymper konens radie linjärt från linsens radie $R$ till noll i brännpunkten och växer sedan igen. Likformiga trianglar ger radien på avståndet $z$ bakom linsen:

$$r(z) = R \cdot \left|1 - \dfrac{z}{f}\right|$$

Samma effekt passerar varje tvärsnitt, så intensiteten är omvänt proportionell mot fläckens area, $I \propto 1/r^2$. En faktor i intensitet kräver därför bara kvadratroten ur faktorn i radie, och varje radie nås på två ställen, ett före och ett efter brännpunkten.

En positiv lins med $f = 120\ \mathrm{mm}$ ska avbilda ett objekt på en skärm som står 750 mm från objektet, och bilden ska vara förstorad. Både $s + s' = 750\ \mathrm{mm}$ och linsformeln måste gälla. Med $s' = 750 - s$ i linsformeln blir det, med avstånden i mm, en andragradsekvation:

$$s^2 - 750\,s + 750 \cdot 120 = 0$$

$$s = \dfrac{750 \pm \sqrt{750^2 - 4 \cdot 90\,000}}{2} = \dfrac{750 \pm 450}{2}$$

De två lösningarna är varandras spegelbilder, eftersom linsen kan stå nära objektet eller nära skärmen. Den förstorande lösningen har linsen nära objektet, $s = 150\ \mathrm{mm}$ och $s' = 600\ \mathrm{mm}$, och förstoringen blir $|M| = 600/150 = 4{,}0$. Den andra lösningen ger förminskningen $|M| = 150/600 = 0{,}25$. Reella lösningar finns bara när avståndet mellan objekt och skärm är minst $4f = 480\ \mathrm{mm}$.

Projektorapproximationen, att objektet ligger i brännpunkten, fungerar inte här. Den skulle ge $s' \approx 750 - 120 = 630\ \mathrm{mm}$ och $|M| \approx 630/120 \approx 5{,}3$, men den förutsätter att bildavståndet är mycket större än fokallängden, och 630 mm är inte mycket större än 120 mm.

En övervakningskamera ska täcka synfältet $\pm 50^\circ$ på en sensor som är 12 mm bred. Strålen från synfältets kant går rakt genom linsens mitt och ska träffa sensorns kant, halva bredden från axeln:

$$f = \dfrac{6{,}0\ \mathrm{mm}}{\tan 50^\circ} = 5{,}0\ \mathrm{mm}$$

Med småvinkelapproximation skulle man få $f = 6{,}0\ \mathrm{mm}/0{,}873 = 6{,}9\ \mathrm{mm}$, 37 % för lång, och synfältet skulle bli för smalt. Vid 50° skiljer sig vinkeln i radianer alldeles för mycket från dess tangens.

Kameran, med $f = 5{,}0\ \mathrm{mm}$, filmar en cyklist som passerar 6,0 m bort med farten 8,0 m/s. Bilden glider då över sensorn med farten $v' = 8{,}0\ \mathrm{m/s} \cdot 5{,}0\ \mathrm{mm}/6{,}0\ \mathrm{m} = 6{,}7\ \mathrm{mm/s}$. Får oskärpan vara högst en pixel, 3,0 µm, blir den längsta exponeringstiden $T = 3{,}0\ \mathrm{\mu m}/(6{,}7\ \mathrm{mm/s}) = 0{,}45\ \mathrm{ms}$, ungefär 1/2200 s.

En lins med $f = 240\ \mathrm{mm}$ och diametern 80 mm samlar solljus mot en fotocell. Solen är så avlägsen att ljuset kommer in parallellt, så konen har sin spets i brännpunkten. Intensiteten ska bli 16 gånger högre än i det infallande ljuset. Fläckens area ska då vara en sextondel av linsens, och radien en fjärdedel: $r/R = 1 - z/f = 1/4$. Det ger

$$z = f \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) = 240\ \mathrm{mm} \cdot \dfrac{3}{4} = 180\ \mathrm{mm}$$

Fläckens radie är där 10 mm. Efter brännpunkten har konen samma radie vid $z = 240\ \mathrm{mm} \cdot 5/4 = 300\ \mathrm{mm}$, så det finns två lägen. Hade man i stället ställt fotocellen där radien är en sextondel av linsens hade intensiteten blivit $16^2 = 256$ gånger högre, eftersom intensiteten skalar med radien i kvadrat.

Det första vanliga felet är att använda sinus i stället för tangens. I triangeln mellan linsens mitt och bildpunkten är bildhöjden motstående katet och fokallängden närliggande katet, så det är $\tan\alpha = h'/f$ som gäller. Det andra är att använda småvinkelapproximation vid stora vinklar. Vid 10° är felet i bildhöjd ungefär 1 %, men vid 50° är det omkring 27 %. Det tredje är att glömma att synfältet $\pm\alpha$ gäller åt båda hållen, så att vinkeln svarar mot halva sensorbredden och inte hela.

Det fjärde är att svara med en virtuell bild när uppgiften kräver en bild på en skärm eller en sensor; en sådan bild måste vara reell, med $s' > 0$. Det femte är att använda projektorapproximationen när bildavståndet inte är mycket större än fokallängden, i stället för att lösa linsformeln exakt. Det sjätte gäller ljuskoncentration: intensiteten skalar med arean och alltså med radien i kvadrat, och solen ska räknas som oändligt avlägsen, så att konens spets ligger i brännpunkten.