Optiska instrument: lupp, mikroskop och kikare

Ett öga kan inte ställa in skärpan på föremål som ligger hur nära som helst. Den tydliga synvidden, 250 mm, är det närmaste avstånd där ett normalsynt öga ser skarpt utan ansträngning, och där syns ett föremål med höjden $h$ under vinkeln $\alpha_0 = h/(250\ \mathrm{mm})$. Läggs föremålet i brännpunkten till en positiv lins med fokallängden $f$ går strålarna från varje punkt ut parallella. Bilden ligger då i oändligheten, ögat kan titta avslappnat, och föremålet syns under vinkeln $\alpha = h/f$. Vinkelförstoringen är kvoten mellan vinklarna:

$$G = \dfrac{\alpha}{\alpha_0} = \dfrac{250\ \mathrm{mm}}{f}$$

Luppen förstorar alltså synvinkeln, och bilden den ger är virtuell. Stor förstoring kräver kort fokallängd, och redan några tiotal gångers förstoring kräver linser på några millimeter som är svåra att tillverka och använda. Därför förstorar mikroskopet i två steg.

I ett mikroskop gör objektivet en reell och förstorad mellanbild av preparatet, och okularet används som lupp för att titta på mellanbilden. Preparatet ligger strax utanför objektivets brännpunkt, på avståndet $s_{obj}$, och mellanbilden hamnar på avståndet $s'_{obj}$ bakom objektivet. Objektivets transversella förstoring är till beloppet $M_{obj} = s'_{obj}/s_{obj}$. Mellanbilden ska ligga i okularets främre brännpunkt för att ögat ska kunna titta avslappnat, så avståndet mellan objektiv och okular är $s'_{obj} + f_{ok}$. Den totala förstoringen är produkten

$$G_{mikr} = M_{obj} \cdot G_{ok} = \dfrac{s'_{obj}}{s_{obj}} \cdot \dfrac{250\ \mathrm{mm}}{f_{ok}}$$

Märkningen på ett objektiv, till exempel 40 × 0,65, anger den transversella förstoringen och den numeriska aperturen. Den numeriska aperturen mäter hur vid ljuskon objektivet tar emot från preparatet och avgör upplösningen, men påverkar inte förstoringen. Märkningen 10× på ett okular är dess vinkelförstoring som lupp, och den ger okularets fokallängd.

En kikare eller ett linsteleskop har ett objektiv med lång fokallängd $f_{obj}$ och ett okular med kort fokallängd $f_{ok}$. Ljuset från en punkt på ett oändligt avlägset objekt kommer in som ett parallellt knippe och samlas i objektivets fokalplan, där objektivet ger en liten, reell och upp och nedvänd mellanbild. Okularets främre brännpunkt sammanfaller med objektivets bakre, så strålarna från varje punkt i mellanbilden går ut ur okularet som ett parallellt knippe. Kikaren är afokal och har längden $f_{obj} + f_{ok}$.

Ett knippe som kommer in under vinkeln $\alpha$ mot axeln träffar mellanbilden på höjden $h' = f_{obj}\,\alpha$ och lämnar okularet under vinkeln $\alpha' = h'/f_{ok}$. Vinkelförstoringen blir

$$G = \dfrac{\alpha'}{\alpha} = \dfrac{f_{obj}}{f_{ok}}$$

I en prismakikare vänder prismorna bilden rätt igen. Knippet som fyller objektivet lämnar okularet med diametern $D_{ut} = D_{obj}/G$, kikarens utgångspupill. Den är okularets bild av objektivet, och där ska ögats pupill sitta. Märkningen 10 × 42 (6,0°) betyder tio gångers vinkelförstoring, 42 mm objektivdiameter och synfältet 6,0°, mätt som hela vinkeln i objektets rymd.

Är ögats pupill, med diametern $D_p$, mindre än utgångspupillen tar ögat bara emot en del av knippet. Då begränsar pupillen både ljusmängden och diffraktionen, och kikaren fungerar som om objektivet bara hade diametern $G \cdot D_p$. Ögats diffraktionsgräns gäller vinklar bakom okularet, och på himlen blir den $G$ gånger mindre. Är pupillen större än utgångspupillen är det objektivet som begränsar.

Kikaren är afokal bara mot oändligt avlägsna objekt. Ligger objektet på avståndet $s$ hamnar objektivets bild längre bort än brännpunkten, på avståndet $s' = s f_{obj}/(s - f_{obj})$ enligt linsformeln. Okularets brännpunkt ska fortfarande ligga på mellanbilden, så avståndet mellan objektiv och okular måste öka lika mycket som bilden flyttar sig.

För att projicera bilden på en skärm dras okularet ut en bit, så att mellanbilden hamnar strax utanför okularets brännpunkt. Okularet ger då en reell, förstorad bild bakom sig, och dess förstoring är $|M_{ok}| = s'/s = s'/f_{ok} - 1$, där $s'$ är avståndet från okularet till skärmen.

Ett objektiv märkt 20 × 0,40 avbildar ett preparat som ligger 8,0 mm framför det. Förstoringen 20 betyder att mellanbilden ligger 20 gånger längre bort, $s'_{obj} = 20 \cdot 8{,}0\ \mathrm{mm} = 160\ \mathrm{mm}$. Linsformeln ger objektivets fokallängd, $f_{obj} = (1/8{,}0 + 1/160)^{-1}\ \mathrm{mm} = 7{,}6\ \mathrm{mm}$, så preparatet ligger mycket riktigt strax utanför brännpunkten. Okularet är märkt 12,5×, och som lupp har det fokallängden

$$f_{ok} = \dfrac{250\ \mathrm{mm}}{12{,}5} = 20\ \mathrm{mm}$$

Mellanbilden ska ligga i okularets brännpunkt, så avståndet mellan objektiv och okular blir $160 + 20 = 180\ \mathrm{mm}$. Den totala förstoringen blir $G_{mikr} = 20 \cdot 12{,}5 = 250$. Samma okular ensamt som lupp ger bara 12,5 gångers förstoring; det är objektivets mellanbild som gör skillnaden.

En kikare märkt 10 × 42 (6,0°) är 220 mm lång i afokalt läge. Längden och förstoringen ger två villkor, $f_{obj} + f_{ok} = 220\ \mathrm{mm}$ och $f_{obj} = 10\,f_{ok}$, och därmed $f_{ok} = 220/11\ \mathrm{mm} = 20\ \mathrm{mm}$ och $f_{obj} = 200\ \mathrm{mm}$. Utgångspupillen är

$$D_{ut} = \dfrac{42\ \mathrm{mm}}{10} = 4{,}2\ \mathrm{mm}$$

I mörker är ögats pupill omkring 7 mm och tar emot hela knippet, så det är objektivet som begränsar. I starkt dagsljus kan pupillen vara 2,5 mm. Då begränsar ögat, och med $\lambda = 550\ \mathrm{nm}$ blir den minsta upplösbara vinkeln bakom okularet $1{,}22 \cdot 550\ \mathrm{nm}/2{,}5\ \mathrm{mm} = 0{,}27\ \mathrm{mrad}$. På himlen motsvarar det $0{,}27\ \mathrm{mrad}/10 = 27\ \mathrm{\mu rad}$, som om objektivet bara vore $10 \cdot 2{,}5\ \mathrm{mm} = 25\ \mathrm{mm}$ i diameter. Med hela objektivet hade gränsen varit $1{,}22 \cdot 550\ \mathrm{nm}/42\ \mathrm{mm} = 16\ \mathrm{\mu rad}$.

Kikaren i förra exemplet, med $f_{obj} = 200\ \mathrm{mm}$, ställs först in på ett objekt 50 m bort och sedan på ett objekt 8,0 m bort. Objektivets bildavstånd blir $s' = 50\,000 \cdot 200/49\,800\ \mathrm{mm} = 200{,}80\ \mathrm{mm}$ respektive $s' = 8000 \cdot 200/7800\ \mathrm{mm} = 205{,}13\ \mathrm{mm}$. Mellanbilden flyttar sig $205{,}13 - 200{,}80 = 4{,}3\ \mathrm{mm}$ bakåt, och avståndet mellan objektiv och okular ska öka lika mycket.

Kikaren riktas sedan mot månen, som upptar ungefär 0,52°. Mellanbilden blir $h' = 200\ \mathrm{mm} \cdot \tan 0{,}52^\circ = 1{,}82\ \mathrm{mm}$. Okularet dras ut så att det projicerar en reell bild på en skärm 300 mm bakom sig. Linsformeln ger då $s = (1/20 - 1/300)^{-1}\ \mathrm{mm} = 21{,}4\ \mathrm{mm}$, så mellanbilden ligger 1,4 mm utanför okularets brännpunkt. Okularets förstoring blir $|M_{ok}| = 300/20 - 1 = 14$, och månens bild på skärmen blir $14 \cdot 1{,}82\ \mathrm{mm} = 25\ \mathrm{mm}$. Approximationen $|M_{ok}| \approx s'/f_{ok} = 15$ hade gett 27 mm.

Ett teleskop eller en kikare är afokal bara när objektet är oändligt avlägset. För ett närmare objekt flyttar sig objektivets bild, och det är bildavståndet enligt linsformeln, inte fokallängden, som bestämmer var okularet ska stå. Vid projektion ska mellanbilden ligga utanför okularets brännpunkt, inte i den, annars blir bilden på skärmen inte reell.

I mikroskopet ska objektivets transversella förstoring och okularets vinkelförstoring hållas isär, och avståndet mellan linserna är $s'_{obj} + f_{ok}$, inte summan av fokallängderna som i kikaren. I märkningen 10 × 42 är 42 objektivets diameter i millimeter och inte en fokallängd, och synfältet inom parentes är hela vinkeln i objektets rymd. En okularmärkning som 12,5× betyder $f_{ok} = 250\ \mathrm{mm}/12{,}5 = 20\ \mathrm{mm}$, inte en fokallängd på 12,5 mm. Utgångspupillen ska slutligen jämföras med ögats pupill, eftersom det är den minsta av dem som begränsar.