Linssystem och systemfokallängd

I ett system av tunna linser används linsformeln för en lins i taget. Bilden från lins 1, på avståndet $s_1'$ bakom den, blir objekt för lins 2, som står på avståndet $d$ efter lins 1:

$$s_2 = d - s_1'$$

Är $s_2$ positivt är bilden från lins 1 ett vanligt reellt objekt framför lins 2. Är det negativt når strålarna lins 2 innan de hunnit mötas, och de konvergerar mot en punkt bakom lins 2. Den punkten är ett virtuellt objekt med negativt objektavstånd i linsformeln. Lins 2 ger sedan bildavståndet $s_2'$, och en kamera blir $d + s_2'$ lång från första lins till sensor. Sensorn kräver en reell slutbild, $s_2' > 0$.

Sitter linserna tätt ihop, som i en dublett, är $d \approx 0$ och styrkorna, de inverterade fokallängderna, adderas:

$$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{f_1} + \dfrac{1}{f_2}$$

En negativ lins drar ner summan, så en positiv lins kittad mot en svagare negativ lins ger en dublett som är svagare än den positiva linsen ensam.

För avlägsna objekt kan ett linssystem ersättas av en enda tunn ekvivalent lins. Följ en stråle som kommer in parallellt med symmetriaxeln på höjden $h$. Efter sista linsen skär den axeln i systemets bakre brännpunkt. Förläng den utgående strålen bakåt tills den når höjden $h$, där den skär den infallande strålens förlängning. Där står den ekvivalenta linsen, i systemets bakre huvudplan, och systemfokallängden $f_{syst}$ är avståndet därifrån till brännpunkten. Lutar den utgående strålen vinkeln $u$ mot axeln är $f_{syst} = h/\tan u$.

För två tunna linser på avståndet $d$ ger konstruktionen

$$\dfrac{1}{f_{syst}} = \dfrac{1}{f_1} + \dfrac{1}{f_2} - \dfrac{d}{f_1 f_2}$$

och huvudplanet ligger sträckan $f_{syst} \cdot d/f_1$ framför lins 2, sällan vid någon av linserna. Avståndet från sista linsen till brännpunkten är det bakre fokalavståndet, och där ska sensorn sitta. Ett avlägset objekt som syns under vinkeln $\alpha$ ger bildstorleken $h' \approx f_{syst}\,\alpha$, så det är systemfokallängden som motsvarar fokallängden hos en enkel lins.

När $d = f_1 + f_2$ sammanfaller lins 1:s bakre brännpunkt med lins 2:s främre, och formeln ger $1/f_{syst} = 0$: systemet är afokalt. En stråle som kommer in parallell med axeln går ut parallell på höjden $-f_2/f_1$ gånger den ursprungliga, och vinklar mot axeln förstoras med det inverterade värdet. Kikare är afokala.

Ett teleobjektiv har en positiv lins följd av en negativ. Den negativa linsen gör strålarna mindre konvergenta, huvudplanet hamnar framför första linsen och systemfokallängden blir längre än bygglängden. Eftersom $f_{syst}$ beror på linsavståndet kan systemet zoomas genom att avståndet ändras, $d = f_1 + f_2 - f_1 f_2/f_{syst}$.

Med tre linser följer man en parallell stråle genom alla, eller kombinerar två i taget och mäter avståndet till nästa lins från parets huvudplan. En lins kan också avbilda en annan. Står detektorn där lins 2 avbildar lins 1 träffar alla strålar genom en punkt på lins 1 samma punkt på detektorn, oavsett infallsvinkel. Ljusfläcken ligger då still när solen vandrar, men den är bilden av lins 1, så ljuset koncentreras bara så mycket som den bilden är mindre än lins 1.

En kamera har $f_1 = 40\ \mathrm{mm}$, $f_2 = -40\ \mathrm{mm}$ och $d = 25\ \mathrm{mm}$. Lins 1 vill samla ljus från ett avlägset objekt i $s_1' = 40\ \mathrm{mm}$, men lins 2 står redan efter 25 mm. Objektavståndet för lins 2 blir $s_2 = 25 - 40 = -15\ \mathrm{mm}$, ett virtuellt objekt, och linsformeln ger

$$\dfrac{1}{s_2'} = \dfrac{1}{-40} - \dfrac{1}{-15} \quad\Rightarrow\quad s_2' = 24\ \mathrm{mm}$$

Slutbilden är reell, och kameran blir $25 + 24 = 49\ \mathrm{mm}$ lång från första lins till sensor. Systemfokallängden är

$$f_{syst} = \dfrac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - d} = \dfrac{40 \cdot (-40)}{40 - 40 - 25}\ \mathrm{mm} = 64\ \mathrm{mm}$$

Huvudplanet ligger $f_{syst} \cdot d/f_1 = 64 \cdot 25/40\ \mathrm{mm} = 40\ \mathrm{mm}$ framför lins 2, alltså 15 mm framför lins 1. Kameran ger samma bildstorlek som en enkel lins med fokallängden 64 mm men är bara 49 mm lång, och det är teleobjektivets poäng.

Samma linser ska ge dubbelt så stor bild av avlägsna objekt. Eftersom $h' \approx f_{syst}\,\alpha$ ska systemfokallängden fördubblas till 128 mm, och formeln löst för avståndet ger

$$d = f_1 + f_2 - \dfrac{f_1 f_2}{f_{syst}} = 40 - 40 - \dfrac{40 \cdot (-40)}{128}\ \mathrm{mm} = 12{,}5\ \mathrm{mm}$$

Linserna flyttas alltså närmare varandra, och sensorn måste följa med. Nu är $s_2 = 12{,}5 - 40 = -27{,}5\ \mathrm{mm}$, så

$$s_2' = \dfrac{s_2 f_2}{s_2 - f_2} = \dfrac{(-27{,}5) \cdot (-40)}{-27{,}5 + 40}\ \mathrm{mm} = 88\ \mathrm{mm}$$

och kameran blir $12{,}5 + 88 = 100{,}5\ \mathrm{mm}$ lång, fortfarande kortare än systemfokallängden.

Ett objektiv har $f_1 = 60\ \mathrm{mm}$, $f_2 = -15\ \mathrm{mm}$ och $f_3 = 25\ \mathrm{mm}$, med $d_{12} = 45\ \mathrm{mm}$ och $d_{23} = 10\ \mathrm{mm}$. Eftersom $d_{12} = f_1 + f_2 = 60 - 15 = 45\ \mathrm{mm}$ är de två första linserna ett afokalt par, och tvålinsformeln ger oändlig systemfokallängd för paret. Följ i stället en stråle som kommer in parallell med axeln på höjden $h$. Den lämnar lins 2 parallell igen, på höjden

$$h_2 = h \cdot \left(1 - \dfrac{45}{60}\right) = \dfrac{h}{4}$$

Lins 3 samlar den i sin brännpunkt 25 mm bakom sig, så den utgående strålen lutar $\tan u = (h/4)/(25\ \mathrm{mm})$. Systemfokallängden blir

$$f_{syst} = \dfrac{h}{\tan u} = 4 \cdot 25\ \mathrm{mm} = 100\ \mathrm{mm}$$

Brännpunkten ligger $45 + 10 + 25 = 80\ \mathrm{mm}$ efter lins 1, och huvudplanet 100 mm framför den, alltså 20 mm framför lins 1.

Det vanligaste felet är att mäta systemfokallängden från fel plan. Från sista linsen till brännpunkten är det bakre fokalavståndet, och från första linsen till brännpunkten är systemets längd; $f_{syst}$ mäts från huvudplanet. Ett annat fel gäller tecken. En negativ lins ska ha $f < 0$ både i linsformeln och i formeln för systemfokallängden, och ett virtuellt objekt ska ha $s_2 = d - s_1' < 0$. Ett glömt minustecken ger ofta en virtuell slutbild, $s_2' < 0$, och en sådan bild går inte att lägga på en sensor. Blir slutbilden virtuell där systemet ska ge en reell är det därför värt att kontrollera tecknen.

Med tre linser får det verkliga linsavståndet inte sättas in när ett par kombineras med den tredje linsen; avståndet räknas från parets huvudplan. Kräver uppgiften strålkonstruktion ska den ritas i skala med linjal, och huvudplanet och $f_{syst}$ ska vara utmärkta i figuren.