Ljudintensitet och decibel

Ljudintensiteten $I$ är den effekt per ytenhet som vågen för med sig, i W/m². Eftersom örat uppfattar intensiteter över många tiopotenser anges ljud som ljudintensitetsnivå i decibel:

$$\beta = 10\lg\dfrac{I}{I_0}$$

där $I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ är hörtröskeln vid 1 kHz. Omvänt är $I = I_0\cdot 10^{\beta/10}$.

Kvoten $I_2/I_1$ mellan två intensiteter kallas förändringsfaktor, och nivån ändras med $\Delta\beta = 10\lg(I_2/I_1)$. Faktorn 2 ger 3 dB, 10 ger 10 dB och 100 ger 20 dB. Logaritmen gör produkter till summor, så faktorer som avstånd och absorption kan räknas om var för sig och decibelvärdena adderas.

Okorrelerade källor, till exempel oberoende maskiner, saknar fast fasrelation. Då adderas intensiteterna och inte nivåerna: $I_{tot} = I_1 + I_2 + \dots$. Med $N$ lika källor ökar nivån med $10\lg N$, så två lika källor ger 3 dB mer än en. En utspridd grupp kan räknas som om alla källor låg i mitten när gruppen är liten jämfört med avståndet, eftersom närmare och fjärmare källors avvikelser nästan tar ut varandra.

En liten källa som sänder ut ljudeffekten $P$ lika åt alla håll sprider den över en sfär med arean $4\pi r^2$. Hela effekten passerar varje sfär, så på avståndet $r$ är

$$I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$$

Står källan på marken eller mot en reflekterande vägg sprids effekten över en halvsfär, och då är $I = P/(2\pi r^2)$, 3 dB mer. Allmänt är förändringsfaktorn kvoten mellan de areor som samma effekt passerar.

Mellan två avstånd gäller avståndslagen $\beta_2 = \beta_1 - 20\lg(r_2/r_1)$, för både sfär och halvsfär. Tio gånger längre bort ger 20 dB lägre nivå. En plan våg, till exempel ljud från en avlägsen källa som når en vägg, sprids inte och försvagas bara genom absorption.

Sänds energin $W$ ut under tiden $t$ är medeleffekten $P = W/t$. Samma energi utdragen över tio gånger längre tid ger alltså 10 dB lägre nivå.

I dimma, vatten och porösa material blir en del av ljudenergin värme längs vägen. Varje meter tar bort samma andel av intensiteten, vilket ger en exponentiell faktor med absorbansen $a$ i m⁻¹. För en punktkälla blir

$$I = \dfrac{P}{4\pi r^2}\,e^{-ar}$$

och för en plan våg i ett material återstår bara $I = I_{in}\,e^{-ar}$, där $I_{in}$ är intensiteten där vågen går in.

Logaritmen av en exponentialfunktion är linjär, så absorptionen sänker nivån med ett fast antal decibel per meter: $\Delta\beta_{abs} = 10\lg(e)\cdot a\,\Delta r \approx 4{,}34\cdot a\,\Delta r$, med $\Delta r$ i meter. Nivåskillnaden mellan två mätpunkter delas därför upp i en del från spridningen och en del från absorptionen. Faktorn $10\lg e \approx 4{,}34$ är omräkningen mellan absorbansens naturliga logaritm och decibelens tiologaritm.

I en harmonisk ljudvåg svänger mediets partiklar kring sina jämviktslägen med förskjutningsamplituden $s_0$ och vinkelfrekvensen $\omega = 2\pi f$. Partikelhastighetens amplitud är $v_0 = \omega s_0$, ljudtryckets amplitud är $p_0 = Z v_0$ och intensiteten blir

$$I = \dfrac{1}{2}\rho c\,\omega^2 s_0^2 = \dfrac{1}{2}Z\omega^2 s_0^2 = \dfrac{p_0^2}{2Z}$$

där $Z = \rho c$ är mediets akustiska impedans. För luft med $\rho = 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}$ och $c = 343\ \mathrm{m/s}$ är $Z \approx 412\ \mathrm{kg/(m^2\,s)}$. Intensiteten är vågens energi per volymenhet gånger ljudhastigheten, och den energin växer med kvadraten på hastighetsamplituden $\omega s_0$.

Vid fast amplitud ger dubbel frekvens fyra gånger högre intensitet, så ultraljud med liten amplitud kan bära stor intensitet. Ska en förlust kompenseras med högre frekvens vid samma amplitud måste frekvensen öka med roten ur förlustens faktor.

Uttrycken bygger på linjär akustik, där störningen är liten jämfört med mediets tillstånd. Modellen slutar gälla när partikelhastigheten närmar sig ljudhastigheten eller ljudtryckets amplitud närmar sig det omgivande lufttrycket.

En högtalare står på en asfaltsyta och sänder ut den akustiska effekten 0,20 W. Marken reflekterar ljudet, så effekten sprids över en halvsfär. På 15 m avstånd blir

$$I = \dfrac{P}{2\pi r^2} = \dfrac{0{,}20}{2\pi\cdot 15^2} = 1{,}41\cdot 10^{-4}\ \mathrm{W/m^2}$$

vilket ger $\beta = 10\lg\dfrac{1{,}41\cdot 10^{-4}}{10^{-12}} = 81{,}5\ \mathrm{dB}$. Med en hel sfär hade svaret blivit 3 dB för lågt.

På 60 m, fyra gånger längre bort, ger avståndslagen $\beta = 81{,}5 - 20\lg 4 = 81{,}5 - 12{,}0 = 69{,}5\ \mathrm{dB}$. Ställs fyra likadana högtalare på samma plats och sänder ut var sitt oberoende brus blir nivån på 60 m $69{,}5 + 10\lg 4 = 69{,}5 + 6{,}0 = 75{,}5\ \mathrm{dB}$. Fyrdubblat avstånd kostar 12 dB men fyra källor ger bara 6 dB, eftersom intensiteten avtar med kvadraten på avståndet men växer linjärt med antalet källor.

En ton på 2,0 kHz har nivån 75 dB i luft. Först räknas nivån om till intensitet, $I = 10^{-12}\cdot 10^{7{,}5} = 3{,}16\cdot 10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}$, och frekvensen till vinkelfrekvens, $\omega = 2\pi\cdot 2000 = 1{,}26\cdot 10^{4}\ \mathrm{rad/s}$. Ur intensitetsformeln löses förskjutningsamplituden ut:

$$s_0 = \sqrt{\dfrac{2I}{Z\omega^2}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}16\cdot 10^{-5}}{412\cdot (1{,}26\cdot 10^{4})^2}} = 3{,}1\cdot 10^{-8}\ \mathrm{m} = 31\ \mathrm{nm}$$

Luften rör sig alltså bara några tiotals nanometer. Partikelhastighetens amplitud är $v_0 = \omega s_0 = 1{,}26\cdot 10^{4}\cdot 3{,}1\cdot 10^{-8} = 3{,}9\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m/s}$ och ljudtryckets amplitud $p_0 = Z v_0 = 412\cdot 3{,}9\cdot 10^{-4} = 0{,}16\ \mathrm{Pa}$.

Hade man satt in $f$ i stället för $\omega$ hade amplituden blivit $2\pi \approx 6{,}3$ gånger för stor. Med samma amplitud och dubbla frekvensen blir intensiteten fyra gånger större och nivån $75 + 10\lg 4 = 81\ \mathrm{dB}$.

En hydrofon mäter ultraljudet från en liten källa i vatten på avstånden 2,0 m och 5,0 m, och nivån är 10,0 dB lägre på det längre avståndet. Spridningen över en sfär står för

$$20\lg\dfrac{5{,}0}{2{,}0} = 7{,}96\ \mathrm{dB}$$

och resten, $10{,}0 - 7{,}96 = 2{,}04\ \mathrm{dB}$, beror på absorption längs de extra 3,0 metrarna. Absorptionens förändringsfaktor ges av $e^{-a\cdot 3{,}0\ \mathrm{m}} = 10^{-0{,}204}$, och den naturliga logaritmen ger

$$a = \dfrac{0{,}204\cdot\ln 10}{3{,}0\ \mathrm{m}} = 0{,}157\ \mathrm{m^{-1}}$$

Det motsvarar $4{,}34\cdot 0{,}157 \approx 0{,}68\ \mathrm{dB/m}$. Ingen referensintensitet behövs, eftersom bara en skillnad i nivå ingår.

Det vanligaste felet är att blanda ihop logaritmerna. Decibel definieras med tiologaritmen $\lg$, medan absorbansen sitter i en exponentialfunktion som löses med den naturliga logaritmen $\ln$. Ett annat fel är att sätta in frekvensen $f$ där vinkelfrekvensen $\omega = 2\pi f$ ska stå, vilket ger fel med faktorn $(2\pi)^2 \approx 39$ i intensiteten, eller att glömma impedansen och i praktiken räkna med $Z = 1$ i stället för $Z \approx 412\ \mathrm{kg/(m^2\,s)}$.

En källa på marken strålar ut i en halvsfär, och en plan våg som går genom en vägg sprids inte alls. Decibel från okorrelerade källor adderas aldrig direkt, bara intensiteterna.

Avrunda inte decibel grovt. Tio decibel för mycket är en faktor 10 i intensitet, och redan 4 dB är en faktor 2,5. Frågar uppgiften efter en nivå ska svaret vara i dB, inte en intensitet i W/m².