Självinduktans och ömsesidig induktans

En ström $I$ i en spole med $N$ varv ger ett flöde $\Phi$ genom varje varv. Självinduktansen är flödeslänkningen per ampere:

$$L = \dfrac{N\Phi}{I}$$

Enheten är henry, $1\ \mathrm{H} = 1\ \mathrm{Wb/A}$. I en lång spole med längden $l$, arean $S$ och kärnans relativa permeabilitet $\mu_r$ ger fältet $B = \mu_0\mu_r NI/l$ flödet $\Phi = BS$, och

$$L = \dfrac{\mu_0 \mu_r N^2 S}{l}$$

Antalet varv går in i kvadrat, eftersom varven både skapar fältet och fångar flödet. Ändras strömmen induceras spänningen $\varepsilon = -L\,dI/dt$, som motverkar ändringen. Spolen lagrar energin $W = LI^2/2$ i sitt magnetfält.

Kopplas spänningskällan bort från en spole och en resistor, och strömmen kan fortsätta i en sluten slinga genom resistansen, klingar strömmen av exponentiellt:

$$I = I_0 e^{-Rt/L} = I_0 e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \dfrac{L}{R}$$

Här är $I_0$ strömmen precis före frånkopplingen och $R$ hela resistansen i slingan, spolens egen inräknad. Efter en tidskonstant återstår $e^{-1} \approx 37\ \%$ av strömmen. Att strömmen har minskat med 80 % betyder att 20 % återstår, alltså $I/I_0 = 0{,}20$, och då är $t = -\tau\ln 0{,}20 = \tau\ln 5 \approx 1{,}6\,\tau$.

Kopplas spänningen $U$ i stället på växer strömmen som $I = \dfrac{U}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$. Strömmen ändras snabbast i början, med $dI/dt = U/L$, och det är då flödet genom spolen ändras snabbast.

Den ömsesidiga induktansen anger hur stort flöde en ström i spole 1 skickar genom spole 2:

$$M = \dfrac{N_2\Phi_{12}}{I_1}$$

där $\Phi_{12}$ är flödet från spole 1 genom ett varv i spole 2. Ändras strömmen i spole 1 induceras $\varepsilon_2 = -M\,dI_1/dt$ i spole 2. Induktansen är densamma åt båda hållen, $M_{12} = M_{21} = M$, och därför får man välja det håll som är lätt att räkna. Det är strategi M: anta en ström i den spole vars fält är lätt att räkna ut, räkna fältet där den andra spolen sitter, multiplicera med dess area och antal varv och dela med strömmen.

Sitter två spolar på samma kärna så att allt flöde går genom båda får varje varv samma flöde. Då är $M = \dfrac{N_2}{N_1}L_1$, där $L_1$ är primärspolens självinduktans.

En liten spole med radien $r_2$ och $N_2$ varv i centrum av en kort spole med radien $r_1$ och $N_1$ varv: låt strömmen gå i den stora spolen, vars fält i centrum, $B = \mu_0 N_1 I_1/(2r_1)$, är nästan homogent över den lilla. Då är

$$M = \dfrac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_2^2}{2r_1}$$

Två koaxiala spolar på avståndet $z$, stort jämfört med radierna: fältet från spole 1 vid spole 2 är dipolfältet, och

$$M = \dfrac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2 r_2^2}{2z^3}$$

som avtar med avståndet i kubik. En lång rak ledare och en liten spole på avståndet $d$, med spolens axel längs fältlinjerna: låt strömmen gå i ledaren, så att

$$M = \dfrac{\mu_0}{2\pi d} \cdot N_2 \pi r_2^2 = \dfrac{\mu_0 N_2 r_2^2}{2d}$$

Har en spole järnkärna där flödet passerar multipliceras M med $\mu_r$ i den enkla modell som används här.

En lång spole är 0,20 m lång och har 800 varv med radien 1,0 cm, utan järnkärna. Arean är $S = \pi \cdot 0{,}010^2 = 3{,}14 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$, och

$$L = \dfrac{\mu_0 N^2 S}{l} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 800^2 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-4}}{0{,}20} = 1{,}26\ \mathrm{mH}$$

I en krets med den totala resistansen $R = 2{,}5\ \Omega$ blir tidskonstanten $\tau = L/R = 1{,}26 \cdot 10^{-3}/2{,}5 = 0{,}51\ \mathrm{ms}$. Efter frånkopplingen ska strömmen ha minskat med 90 %. Då återstår 10 %, alltså $I/I_0 = 0{,}10$, och

$$t = -\tau\ln 0{,}10 = 0{,}505\ \mathrm{ms} \cdot 2{,}30 = 1{,}2\ \mathrm{ms}$$

Var strömmen $I_0 = 3{,}0\ \mathrm{A}$ före frånkopplingen fanns energin $W = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-3} \cdot 3{,}0^2 = 5{,}7\ \mathrm{mJ}$ i spolen. All den energin blir värme i resistansen under avklingningen.

En lång rak ledare leder växelström, och en mätspole med 500 varv och radien 8,0 mm sitter 5,0 cm från ledaren, utan järnkärna och med axeln längs fältlinjerna. Strömmen antas i ledaren, eftersom dess fält vid spolen är känt: $B = \mu_0 I/(2\pi d)$. Flödet genom ett varv är fältet gånger $\pi r_2^2$, och

$$M = \dfrac{\mu_0 N_2 r_2^2}{2d} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 500 \cdot (8{,}0 \cdot 10^{-3})^2}{2 \cdot 0{,}050} = 0{,}40\ \mathrm{\mu H}$$

Har strömmen i ledaren amplituden $I_0 = 10\ \mathrm{A}$ och frekvensen 50 Hz blir den inducerade spänningens amplitud

$$\varepsilon_{2,0} = M\omega I_0 = 0{,}40 \cdot 10^{-6} \cdot 2\pi \cdot 50 \cdot 10 = 1{,}3\ \mathrm{mV}$$

Med en järnkärna med $\mu_r = 200$ i spolen hade spänningen i den enkla modellen blivit 200 gånger större.

En kort spole med 40 varv och radien 0,12 m har en liten spole med 200 varv och radien 10 mm i centrum, med samma axel. Med strömmen i den stora spolen blir

$$M = \dfrac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_2^2}{2r_1} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 40 \cdot 200 \cdot \pi \cdot 0{,}010^2}{2 \cdot 0{,}12} = 13\ \mathrm{\mu H}$$

Flyttas den lilla spolen 1,2 m ut längs axeln, tio radier bort, gäller dipolfältet:

$$M = \dfrac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2 r_2^2}{2z^3} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 40 \cdot 200 \cdot \pi \cdot 0{,}12^2 \cdot 0{,}010^2}{2 \cdot 1{,}2^3} = 13\ \mathrm{nH}$$

Kvoten mellan de två är $(r_1/z)^3 = (0{,}12/1{,}2)^3 = 10^{-3}$, och den fullständiga formeln för fältet på axeln ger bara 1,5 % mindre. Fältet i centrum hade alltså gett ett tusen gånger för stort svar. Dubblas avståndet blir M åtta gånger mindre, $1{,}6\ \mathrm{nH}$.

Det vanligaste felet är att använda fältet mitt i en spole när spolarna står långt isär. Fältet $\mu_0 NI/(2r)$ gäller bara i spolens centrum; när $z \gg r$ är det dipolfältet som gäller. Lika fel är att använda formeln för en lång spole för en kort spole.

Det andra felet är att räkna åt fel håll. Strategi M fungerar bara om fältet är känt och ungefär homogent där den andra spolen sitter. Fältet från en lång ledare vid en liten spole är enkelt, men fältet från den lilla spolen har ingen spole att gå igenom vid ledaren. Välj den ström vars fält är lätt att räkna, eftersom $M_{12} = M_{21}$ ändå ger samma svar.

Det tredje är en bortglömd faktor $\mu_r$ när en spole har järnkärna, och det fjärde att blanda ihop spolarna: arean och antalet varv ska höra till den spole som flödet går igenom. I en RL-krets är det vanligt att förväxla andelen som återstår med andelen som försvunnit, och att använda tiologaritmen i stället för $\ln$.