Resistans och RC-kretsar

En ledare med resistiviteten $\rho$, längden $L$ i strömmens riktning och tvärsnittsarean $A$ vinkelrätt mot strömmen har resistansen

$$R = \dfrac{\rho L}{A}$$

Längre väg ger mer motstånd, och ett större tvärsnitt ger fler parallella vägar och mindre motstånd. Uttrycket förutsätter att strömmen är jämnt fördelad över tvärsnittet, vilket gäller när den går in och ut genom hela ändytorna.

Vilken sträcka som är längden och vilken yta som är tvärsnittet avgörs av var strömmen går in och ut, inte av vilket mått som är störst. Resistivitet anges ofta med prefix, till exempel $1\ \mathrm{n\Omega m} = 10^{-9}\ \Omega\,\mathrm{m}$. Består ledaren av delar med olika tvärsnitt efter varandra är delarna seriekopplade, och resistanserna adderas: $R = \rho\left(\dfrac{L_1}{A_1} + \dfrac{L_2}{A_2}\right)$.

Seriekopplade resistorer har samma ström och resistanserna adderas, medan parallellkopplade har samma spänning och inverserna adderas:

$$R_{tot} = R_1 + R_2 \quad \text{(serie)}, \qquad \dfrac{1}{R_{tot}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \quad \text{(parallellt)}$$

För kondensatorer är det tvärtom. En krets med både resistorer och kondensatorer förenklas därför i två steg: först resistorerna till en total resistans $R_{tot}$ och kondensatorerna till en total kapacitans $C_{tot}$, var för sig och med var sin regel, sedan sätts de in i tidskonstanten

$$\tau = R_{tot}\,C_{tot}$$

Det fungerar när kretsen kan ritas som en enda slinga med en ekvivalent resistor och en ekvivalent kondensator, till exempel när alla komponenter sitter i serie eller när en grupp kondensatorer laddas ur genom en grupp resistorer. Laddas olika kondensatorer ur genom olika resistorer får kretsen flera tidskonstanter, och då räcker inte en enda produkt.

När en kondensator laddas ur genom en resistor är strömmen $I = U/R$ och samtidigt $I = -C\,dU/dt$, eftersom strömmen är den laddning som lämnar kondensatorn per tidsenhet. Tillsammans ger de $dU/dt = -U/(RC)$, med lösningen

$$U(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC$$

Efter tiden $t = \tau$ återstår $e^{-1} \approx 37\ \%$ av spänningen och efter fem tidskonstanter mindre än en procent. Tiden tills andelen $x$ återstår fås genom att logaritmera: $t = \tau\ln(1/x)$. Halveringstiden, då hälften återstår, är $t_{1/2} = \tau\ln 2 \approx 0{,}69\,\tau$. Laddning och ström avtar med samma tidskonstant.

Ibland kopplas en frekvens till tidskonstanten, och den är då $f = 1/\tau$, antalet tidskonstanter per sekund. I filtersammanhang används i stället gränsfrekvensen $f_g = 1/(2\pi RC)$, så det gäller att läsa vilken frekvens som avses.

Effekten som blir värme i en resistor är

$$P = UI = \dfrac{U^2}{R} = RI^2$$

Under urladdningen avtar spänningen exponentiellt, och effekten avtar då med kvadraten, $P(t) = \dfrac{U_0^2}{R}\,e^{-2t/\tau}$. Exponenten fördubblas, så värmeutvecklingen avtar med halva tidskonstanten. Värmen fram till tiden $t$ är integralen av effekten:

$$W_R(t) = \int_0^t \dfrac{U_0^2}{R}\,e^{-2t'/\tau}\,dt' = \dfrac{CU_0^2}{2}\left(1 - e^{-2t/\tau}\right)$$

Inget annat i kretsen kan ta emot energi, så när urladdningen är klar har hela den lagrade energin $CU_0^2/2$ blivit värme, oberoende av hur stor resistansen är. En större resistans ger lägre effekt men under längre tid.

Ett kopparband är 30 mm brett, 2,0 mm tjockt och 1,2 m långt, och koppar har $\rho = 17\ \mathrm{n\Omega m}$. Går strömmen längs bandet, in genom den ena änden och ut genom den andra, är längden 1,2 m och tvärsnittet bredden gånger tjockleken, $A = 0{,}030 \cdot 0{,}0020 = 6{,}0 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{m^2}$. Resistansen blir

$$R = \dfrac{17 \cdot 10^{-9} \cdot 1{,}2}{6{,}0 \cdot 10^{-5}} = 3{,}4 \cdot 10^{-4}\ \Omega = 0{,}34\ \mathrm{m\Omega}$$

Går strömmen i stället rakt igenom bandet, mellan två elektroder som täcker hela ovansidan och undersidan, är längden tjockleken och tvärsnittet bandets yta, $A = 0{,}030 \cdot 1{,}2 = 0{,}036\ \mathrm{m^2}$. Då blir $R = \dfrac{17 \cdot 10^{-9} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-3}}{0{,}036} \approx 0{,}94\ \mathrm{n\Omega}$, 360 000 gånger mindre. Samma bit metall har alltså helt olika resistans beroende på var strömmen går in och ut.

Två kondensatorer på 47 µF och 22 µF sitter i serie och har laddats upp tillsammans. De laddas ur genom två parallellkopplade resistorer på 1,5 kΩ och 3,3 kΩ. Kondensatorerna i serie ger $C_{tot} = \dfrac{47 \cdot 22}{47 + 22}\ \mathrm{\mu F} \approx 15{,}0\ \mathrm{\mu F}$ och resistorerna parallellt $R_{tot} = \dfrac{1{,}5 \cdot 3{,}3}{1{,}5 + 3{,}3}\ \mathrm{k\Omega} \approx 1{,}03\ \mathrm{k\Omega}$, så tidskonstanten är

$$\tau = R_{tot}C_{tot} \approx 1031\ \Omega \cdot 15{,}0 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{F} \approx 15{,}5\ \mathrm{ms}$$

Spänningen har sjunkit till 5 procent av startvärdet efter $t = \tau\ln 20 \approx 46\ \mathrm{ms}$ och till hälften efter $t_{1/2} = \tau\ln 2 \approx 10{,}7\ \mathrm{ms}$. Den frekvens som svarar mot tidskonstanten är $f = 1/\tau \approx 65\ \mathrm{Hz}$. Tidskonstanten, tiden till en viss andel och frekvensen är tre olika storheter ur samma krets, och frågan avgör vilken av dem som är svaret.

En kondensator på 2200 µF laddad till 25 V laddas ur genom en resistor på 10 Ω. Den lagrade energin är $W_0 = 2200 \cdot 10^{-6} \cdot 25^2/2 \approx 0{,}69\ \mathrm{J}$ och tidskonstanten $\tau = 10 \cdot 2200 \cdot 10^{-6} = 22\ \mathrm{ms}$. I första ögonblicket är effekten i resistorn $P_0 = 25^2/10 = 62{,}5\ \mathrm{W}$.

Under den första tidskonstanten utvecklas värmen $W_R = W_0\left(1 - e^{-2}\right) \approx 0{,}59\ \mathrm{J}$, alltså 86 procent av energin, trots att spänningen bara har sjunkit till 37 procent. Förklaringen är att effekten avtar med $e^{-2t/\tau}$, dubbelt så snabbt som spänningen. När spänningen har halverats finns en fjärdedel av energin kvar i kondensatorn, så 75 procent har då blivit värme.

Det vanligaste felet är att slå ihop komponenterna med fel regel. Resistanser i serie adderas direkt men kapacitanser i serie som inverser, och för parallellkoppling är det tvärtom. Ett fel i $R_{tot}$ eller $C_{tot}$ följer med till varje svar som bygger på tidskonstanten. Kontrollera prefixen: mF är millifarad, $1\ \mathrm{mF} = 10^{-3}\ \mathrm{F}$, och inte mikrofarad, och resistivitet i $\mathrm{n\Omega m}$ ska skrivas om till ohmmeter.

Det andra felet är att räkna ut $\tau$ och sedan svara på en annan fråga än den som ställdes. Söks tiden till halva spänningen är svaret $\tau\ln 2$, och söks en frekvens ska tidskonstanten räknas om till en frekvens innan andra faktorer läggs på. Logaritmen är den naturliga, inte tiologaritmen. Har spänningen minskat med 70 procent återstår 30 procent. För en rund ledare är tvärsnittet $A = \pi d^2/4$ med diametern i kvadrat, eller $\pi r^2$ med radien.