Faradays lag och generatorer

Det magnetiska flödet genom en plan yta med arean $S$ i ett homogent fält $B$ är

$$\Phi = BS\cos\theta$$

där $\theta$ är vinkeln mellan fältet och ytans normal. Flödet är störst när fältet går rakt igenom ytan och noll när fältet är parallellt med den. Enheten är weber, $1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T\cdot m^2}$. Varierar fältet över ytan måste flödet integreras, men för en liten spole räcker fältet i spolens mitt gånger arean.

I en spole med $N$ varv passerar samma flöde varje varv, så flödeslänkningen är $N\Phi$. Det är den som avgör både den inducerade spänningen och spolens induktans.

Faradays lag säger att den inducerade spänningen, emk, i en spole med $N$ varv är

$$\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt}$$

Minustecknet är Lenz lag: den inducerade strömmen går så att dess eget fält motverkar flödesändringen. När bara storleken efterfrågas räcker beloppet.

Flödet kan ändras på tre sätt, och lagen gäller för alla. Fältet kan variera i tiden, som när en spole med radien $r$ sitter i ett växelfält $B = B_0\sin\omega t$. Amplituden blir då $\varepsilon_0 = N\pi r^2\omega B_0$, så spänningen växer med antalet varv, med radien i kvadrat och med frekvensen. Arean kan ändras, som när en rak ledare med längden $l$ glider med farten $v$ längs två skenor vinkelrätt mot ett fält. Den omslutna arean växer då med $lv$ per sekund, och $\varepsilon = Blv$. Vinkeln kan ändras, som i en roterande spole.

Roterar en spole med vinkelhastigheten $\omega$ kring en axel vinkelrät mot ett homogent fält ändras vinkeln som $\theta = \omega t$, och flödet blir $\Phi = BS\cos\omega t$. Derivatan ger

$$\varepsilon = NBS\omega\sin\omega t$$

Amplituden är $\varepsilon_0 = NBS\omega$. Den nås när spolens plan är parallellt med fältet, då flödet är noll men ändras som snabbast. Effektivvärdet är $\varepsilon_{eff} = \varepsilon_0/\sqrt{2}$. Vinkelhastigheten hänger ihop med frekvensen genom $\omega = 2\pi f$, och för en enkel spole i ett homogent fält är frekvensen lika med antalet varv per sekund.

Samma uttryck följer ur energin. Leder spolen strömmen $I$ känner den vridmomentet $M = NISB\sin\omega t$, där $M$ här betecknar vridmoment. Den mekaniska effekten, vridmoment gånger vinkelhastighet, blir elektrisk effekt: $M\omega = NISB\omega\sin\omega t = \varepsilon I$. Divideras med strömmen fås samma spänning som ur Faradays lag.

I en generator med många magneter runt ett hjul passerar varje spole magneterna en i taget. Är magneterna växelvis riktade byter flödet genom spolen tecken för varje magnet, och en hel period av spänningen motsvarar ett magnetpar, en nordpol och en sydpol. Med $p$ magnetpar och varvtalet $n$ i varv per sekund blir frekvensen

$$f = p \cdot n$$

Varvtal anges ofta i varv per minut och ska då delas med 60. Antalet spolar påverkar inte frekvensen, eftersom alla spolar ser samma följd av magneter; fler spolar ger mer spänning eller effekt men samma frekvens. Ökar varvtalet ökar både frekvensen och amplituden, eftersom flödet ändras snabbare.

En spole med 150 varv och arean $S = 40\ \mathrm{cm^2} = 4{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$ roterar med 1500 varv per minut i fältet $B = 0{,}25\ \mathrm{T}$. Varvtalet är $n = 1500/60 = 25\ \mathrm{varv/s}$, så $\omega = 2\pi \cdot 25 = 157\ \mathrm{rad/s}$. Amplituden blir

$$\varepsilon_0 = NBS\omega = 150 \cdot 0{,}25 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 157 = 23{,}6\ \mathrm{V} \approx 24\ \mathrm{V}$$

och effektivvärdet $\varepsilon_{eff} = 23{,}6/\sqrt{2} = 17\ \mathrm{V}$. Det tidsberoende uttrycket $\varepsilon = 24\ \mathrm{V} \cdot \sin(157t)$ beskriver förloppet, men frågas det efter vilken spänning spolen ger är svaret amplituden eller effektivvärdet.

Leder spolen en ström med amplituden $I_0 = 2{,}0\ \mathrm{A}$ i fas med spänningen blir det största vridmomentet $M_{max} = NI_0SB = 150 \cdot 2{,}0 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}25 = 0{,}30\ \mathrm{N\cdot m}$. Samma värde fås som effekten delad med vinkelhastigheten, $\varepsilon_0 I_0/\omega = 23{,}6 \cdot 2{,}0/157 = 0{,}30\ \mathrm{N\cdot m}$.

Ett hjul med 28 växelvis riktade magneter snurrar med 180 varv per minut förbi en fast spole. Varvtalet är $n = 180/60 = 3{,}0\ \mathrm{varv/s}$ och antalet magnetpar $p = 28/2 = 14$, så

$$f = p \cdot n = 14 \cdot 3{,}0 = 42\ \mathrm{Hz}$$

Att räkna med 28 magneter i stället för 14 par skulle ge dubbla frekvensen, och att glömma omvandlingen från minuter till sekunder en 60 gånger för hög frekvens. Dubblas varvtalet blir frekvensen $84\ \mathrm{Hz}$, och amplituden fördubblas också, eftersom flödet ändras dubbelt så snabbt.

En sensorspole med 400 varv och radien $r = 5{,}0\ \mathrm{mm}$ sitter i ett växelfält med amplituden $B_0 = 2{,}0\ \mathrm{\mu T}$ och frekvensen 50 Hz. Spänningens amplitud blir

$$\varepsilon_0 = N\pi r^2\omega B_0 = 400 \cdot \pi \cdot (5{,}0 \cdot 10^{-3})^2 \cdot 2\pi \cdot 50 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-6} = 19{,}7\ \mathrm{\mu V}$$

Görs radien 1,5 gånger större, halveras antalet varv och fyrdubblas frekvensen, medan fältets amplitud är densamma, ändras spänningen med faktorn

$$1{,}5^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 4{,}5$$

till $4{,}5 \cdot 19{,}7\ \mathrm{\mu V} = 89\ \mathrm{\mu V}$. Radien går in i kvadrat eftersom det är arean som fångar flödet, och frekvensen linjärt eftersom flödet då ändras så mycket snabbare.

Flera fel återkommer. Det första är att svara med ett tidsberoende uttryck som $\varepsilon_0\sin\omega t$ när en amplitud eller ett effektivvärde efterfrågas, eller att blanda ihop de två; amplituden är $\sqrt{2}$ gånger effektivvärdet. Det andra är enheterna: $1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$, så en area i kvadratcentimeter ska multipliceras med $10^{-4}$ innan den sätts in. Varvtal i varv per minut ska delas med 60, och $\omega = 2\pi f$ är inte frekvensen.

Det tredje gäller generatorns frekvens. En period motsvarar ett magnetpar, inte en magnet, och antalet spolar ska inte multipliceras in. Det fjärde är vinkeln i flödet, som mäts mot ytans normal och inte mot ytan. Det femte är skalning: arean växer med radien i kvadrat, så en dubblad radie ger fyra gånger så stor spänning, inte dubbelt så stor.