Magnetfält med Biot–Savarts lag

Biot–Savarts lag bygger upp magnetfältet från en ström genom att dela ledaren i korta strömelement $I\, d\vec{s}$. Varje element ger ett bidrag i en punkt på avståndet $r$:

$$d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \cdot \dfrac{I\, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

där $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$ och $\hat{r}$ är en enhetsvektor mot punkten. Beloppet är $dB = \dfrac{\mu_0 I\, ds \sin\theta}{4\pi r^2}$, där $\theta$ är vinkeln mellan strömmen och riktningen mot punkten. Bidraget är störst vinkelrätt mot ledaren och noll i dess förlängning, och det är riktat vinkelrätt mot både strömmen och $\hat{r}$ enligt högerhandsregeln. Hela fältet är vektorsumman av alla bidrag, och samma superposition gäller när flera ledare bidrar.

En laddning $q$ med farten $v$ motsvarar ett strömelement med $I\, d\vec{s} = q\vec{v}$, så att $B = \dfrac{\mu_0 q v \sin\theta}{4\pi r^2}$, störst rakt vid sidan av rörelseriktningen. Omvänt ger laddningen $Q$ som passerar under tiden $t$ medelströmmen $I = Q/t$.

Integreras lagen längs en rak ledare blir fältet på det vinkelräta avståndet $r$

$$B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\sin\alpha_1 + \sin\alpha_2\right)$$

där $\alpha_1$ och $\alpha_2$ är vinklarna mellan normalen från punkten till ledaren och linjerna till ledarens ändar. Ligger båda ändarna på samma sida om normalens fotpunkt räknas vinkeln till den närmaste änden som negativ.

För en lång ledare, där $r \ll L$ och $L$ är ledarens längd, går $\alpha_1, \alpha_2 \to 90^\circ$ och fältet blir $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, med fältlinjer som cirklar runt ledaren. Tar ledaren slut mittför punkten men är lång åt andra hållet blir den ena vinkeln noll och fältet hälften så stort: $B = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi r}$.

Långt från en kort ledare, när $R \gg L$, verkar hela ledaren som ett enda strömelement: $B \approx \dfrac{\mu_0 I L \sin\theta}{4\pi R^2}$. Fältet avtar då med avståndet i kvadrat. Det gör också fältet från två parallella ledare med motriktade strömmar på avståndet $d$ från varandra. På linjen genom ledarna, på avståndet $r \gg d$ från den närmaste, är

$$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+d}\right) \approx \dfrac{\mu_0 I d}{2\pi r^2}$$

En cirkulär slinga med radien $a$ och strömmen $I$ ger på symmetriaxeln, på avståndet $z$ från centrum, fältet

$$B = \dfrac{\mu_0 N I a^2}{2\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}$$

där $N$ är antalet varv. Formeln gäller en kort spole, vars längd är liten jämfört med radien, så att alla varv sitter på i stort sett samma ställe. Fältet är riktat längs axeln och är starkast i centrum, där $z = 0$: $B = \dfrac{\mu_0 N I}{2a}$.

Långt ut på axeln, när $z \gg a$, kan $a^2$ försummas mot $z^2$ i nämnaren:

$$B \approx \dfrac{\mu_0 N I a^2}{2z^3} = \dfrac{\mu_0 N I S}{2\pi z^3}$$

där $S = \pi a^2$ är spolens area och $m = NIS$ dess magnetiska dipolmoment. Fältet avtar som ett genom avståndet i kubik, på samma sätt som fältet från en elektrisk dipol. På fem radiers avstånd är felet ungefär 6 %.

I en lång spole, där längden $l$ är stor jämfört med diametern, samverkar alla varv till ett nästan homogent fält inuti:

$$B = \dfrac{\mu_0 \mu_r N I}{l}$$

där $N/l$ är antalet varv per meter och $\mu_r = 1$ utan järnkärna. Fältet beror inte på radien, och utanför spolen är det svagt. Vid ändarna är det ungefär hälften så starkt som i mitten.

Fylls spolen med ett ferromagnetiskt material som järn blir fältet $\mu_r$ gånger större, så länge materialet inte är mättat. Samma faktor används som en enkel modell även för korta spolar med järnkärna.

En rak strömskena är 1,2 m lång och leder $I = 150\ \mathrm{A}$. Fältet söks på avståndet $r = 0{,}40\ \mathrm{m}$ från skenans mittpunkt, vinkelrätt mot skenan. Ändarna ligger symmetriskt, så $\sin\alpha_1 = \sin\alpha_2 = \dfrac{0{,}60}{\sqrt{0{,}60^2 + 0{,}40^2}} = 0{,}832$ och

$$B = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 150}{4\pi \cdot 0{,}40} \cdot 2 \cdot 0{,}832 = 62\ \mathrm{\mu T}$$

En oändligt lång ledare hade gett $\mu_0 I/(2\pi r) = 75\ \mathrm{\mu T}$, bara 20 % mer. Mittför ena änden, på samma avstånd, är den ena vinkeln noll och $\sin\alpha_2 = 1{,}2/\sqrt{1{,}2^2 + 0{,}40^2} = 0{,}949$, så $B = 37{,}5\ \mathrm{\mu T} \cdot 0{,}949 = 36\ \mathrm{\mu T}$. Det ligger nära $\mu_0 I/(4\pi r) = 37{,}5\ \mathrm{\mu T}$, fältet från en ledare som tar slut mittför punkten.

På 6,0 m från mittpunkten är skenan kort jämfört med avståndet, och ett enda strömelement ger

$$B \approx \dfrac{\mu_0 I L}{4\pi R^2} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 150 \cdot 1{,}2}{4\pi \cdot 6{,}0^2} = 0{,}50\ \mathrm{\mu T}$$

Den fullständiga formeln ger $0{,}498\ \mathrm{\mu T}$, under en procent mindre. På dubbla avståndet blir fältet en fjärdedel.

En kort spole har 250 varv, radien $a = 0{,}15\ \mathrm{m}$ och strömmen $I = 2{,}0\ \mathrm{A}$. I centrum är fältet

$$B = \dfrac{\mu_0 N I}{2a} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 250 \cdot 2{,}0}{2 \cdot 0{,}15} = 2{,}1\ \mathrm{mT}$$

På axeln 0,20 m från centrum ger slingformeln

$$B = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 250 \cdot 2{,}0 \cdot 0{,}15^2}{2\left(0{,}15^2 + 0{,}20^2\right)^{3/2}} = 0{,}45\ \mathrm{mT}$$

ungefär en femtedel av fältet i centrum. Dipolformeln skulle här ge $0{,}88\ \mathrm{mT}$, nästan det dubbla, eftersom avståndet inte är stort jämfört med radien.

På 1,5 m avstånd, tio radier ut, ger dipolformeln

$$B \approx \dfrac{\mu_0 N I a^2}{2z^3} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 250 \cdot 2{,}0 \cdot 0{,}15^2}{2 \cdot 1{,}5^3} = 2{,}1\ \mathrm{\mu T}$$

medan slingformeln ger $2{,}06\ \mathrm{\mu T}$. Skillnaden är 1,5 %, så här duger dipolformeln. Fältet avtar nu med avståndet i kubik: dubbelt så långt bort är det åtta gånger svagare.

En kabel leder $I = 16\ \mathrm{A}$ fram i en ledare och tillbaka i en annan, och ledarna ligger $d = 6{,}0\ \mathrm{mm}$ isär. En ensam ledare skulle på avståndet 1,5 m ge $\mu_0 I/(2\pi r) = 2{,}1\ \mathrm{\mu T}$. Med båda ledarna, och punkten på linjen genom dem, blir fältet skillnaden mellan två nästan lika stora bidrag:

$$B \approx \dfrac{\mu_0 I d}{2\pi r^2} = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 16 \cdot 6{,}0 \cdot 10^{-3}}{2\pi \cdot 1{,}5^2} = 8{,}5\ \mathrm{nT}$$

Det är 250 gånger svagare än från en ensam ledare, vilket är kvoten $r/d = 1{,}5/(6{,}0 \cdot 10^{-3}) = 250$. På dubbla avståndet blir fältet en fjärdedel, $2{,}1\ \mathrm{nT}$, medan fältet från en ensam ledare bara hade halverats. Därför leds fram- och återström nära varandra när yttre magnetfält ska hållas små.

De flesta fel kommer av att en formel används utanför sin geometri. Formeln $\mu_0 I/(2\pi r)$ gäller bara när avståndet är litet jämfört med ledarens längd. Långt från en kort ledare avtar fältet som $1/R^2$, och det beroendet ska komma ur Biot–Savarts lag, inte ur formeln för en lång ledare eller en lång spole. Med formeln för en ändlig ledare beror även vinklarna på avståndet. Formeln för en lång spole gäller bara inuti en spole som är lång jämfört med sin diameter; en kort spole räknas med slingformeln och långt ut på axeln med dipolformeln.

Faktorn två är lätt att tappa. En ledare som tar slut mittför punkten ger halva fältet från en lång ledare, och fältet i centrum av en slinga har $2a$ i nämnaren men inget $\pi$. Ges spolens area i stället för radien behövs $a = \sqrt{S/\pi}$, med arean i kvadratmeter. Efterfrågas riktningen ska den anges; på en spoles axel är den längs axeln.