Kondensatorer och fältenergi

En kondensator är två ledare med lika stora och motsatta laddningar $\pm Q$. Kapacitansen $C = Q/U$ anger hur mycket laddning som behövs per volt mellan dem och beror bara på geometrin och isolatorn. För två parallella plattor med arean $S$ på avståndet $d$ är fältet mellan plattorna homogent, $E = U/d$, och kapacitansen blir

$$C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}$$

där $\varepsilon_r$ är isolatorns relativa kapacitivitet, 1 för luft. Uttrycket förutsätter att $d$ är litet jämfört med plattornas mått, så att fältet vid kanterna kan försummas.

Varje isolator tål bara ett visst fält. Över genomslagsfältstyrkan $E_{max}$ blir den ledande och kondensatorn slår igenom. Den högsta spänningen är därför $U_{max} = E_{max}\,d$, och den bestämmer hur mycket laddning och energi kondensatorn kan hålla.

En koaxialkabel är en innerledare med radien $r_i$ inuti en ytterledare med radien $r_y$, med en isolator emellan. Med laddningen $\lambda$ per längdenhet på innerledaren ger Gauss sats fältet $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r}$ mellan ledarna, och integralen av fältet från innerledaren ut till ytterledaren ger spänningen $U = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\ln\dfrac{r_y}{r_i}$. För en kabel med längden $l$ blir kapacitansen

$$C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r l}{\ln(r_y/r_i)}$$

Kapacitansen per meter beror bara på $\varepsilon_r$ och radiekvoten, och kvoten mellan diametrarna är samma tal. Logaritmen gör att kvoten måste ändras mycket för att kapacitansen ska ändras lite. Söks den radiekvot som ger en viss kapacitans löses den ut med exponentialfunktionen, $r_y/r_i = \exp\left(2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r l/C\right)$. Med $\varepsilon_r = 2{,}3$ och 80 pF per meter blir kvoten $\exp\left(\dfrac{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 2{,}3}{80 \cdot 10^{-12}}\right) = e^{1{,}60} \approx 4{,}95$.

Parallellkopplade kondensatorer har samma spänning, och laddningarna adderas, så kopplingen verkar som en kondensator med större plattarea: $C_{tot} = C_1 + C_2 + \ldots$. Seriekopplade kondensatorer har samma laddning, eftersom två plattor som sitter ihop mellan kondensatorerna tillsammans är oladdade, och spänningarna adderas. Då är det inverserna som adderas:

$$\dfrac{1}{C_{tot}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \ldots$$

och den totala kapacitansen blir mindre än den minsta. För resistorer är reglerna de omvända. För $N$ lika kondensatorer $C$ blir det $NC$ parallellt och $C/N$ i serie.

En omkoppling flyttar bara ledningarna. I ögonblicket efter har varje kondensator kvar sin laddning och sin spänning, och därmed sin energi. Den totala kapacitansen och den totala spänningen ändras, men energin räknad för hela kopplingen är fortfarande summan av kondensatorernas energier.

Under uppladdningen växer spänningen i takt med laddningen. Varje liten laddning $dq$ lyfts över den spänning $q/C$ som redan finns, och arbetet blir $W = \int_0^Q \dfrac{q}{C}\,dq = \dfrac{Q^2}{2C}$. Energin kan skrivas på tre sätt:

$$W = \dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{QU}{2} = \dfrac{Q^2}{2C}$$

Faktorn en halv kommer av att spänningen i medel bara var hälften av slutvärdet. Energin sitter i fältet mellan plattorna, med energitätheten $\varepsilon_0\varepsilon_r E^2/2$.

Hålls spänningen $U$ konstant medan kapacitansen ändras måste laddningen $Q = CU$ följa med, och strömmen till kondensatorn blir $I = dQ/dt = U\,dC/dt$. För en plattkondensator vars avstånd $d$ minskar med farten $v$ är $dC/dt = \varepsilon_0\varepsilon_r S v/d^2$. Är ändringen av avståndet liten kan nämnaren hållas konstant, och strömmen blir proportionell mot plattans fart.

Två plattor på 2500 cm² vardera står 2,0 mm från varandra i luft, där genomslagsfältstyrkan är ungefär 3,0 MV/m. Arean ska först i grundenheter: $S = 2500 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 0{,}25\ \mathrm{m^2}$. Den högsta spänningen är $U_{max} = 3{,}0 \cdot 10^6 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-3} = 6{,}0\ \mathrm{kV}$ och kapacitansen $C = \dfrac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}25}{2{,}0 \cdot 10^{-3}} \approx 1{,}11\ \mathrm{nF}$. Laddningen blir $Q = CU \approx 6{,}6\ \mathrm{\mu C}$ och energin

$$W = \dfrac{CU^2}{2} = \dfrac{1{,}11 \cdot 10^{-9} \cdot (6{,}0 \cdot 10^3)^2}{2} \approx 20\ \mathrm{mJ}$$

Med $QU/2 = 6{,}6 \cdot 10^{-6} \cdot 6{,}0 \cdot 10^3/2 \approx 20\ \mathrm{mJ}$ fås samma värde, vilket är en bra kontroll. Fylls mellanrummet med en isolator med $\varepsilon_r = 2{,}5$ och samma genomslagsfältstyrka blir både kapacitansen och den lagrade energin 2,5 gånger större, eftersom den högsta spänningen fortfarande bestäms av fältet och avståndet.

Tre kondensatorer på 470 µF laddas parallellt till 9,0 V. Parallellt är $C_{tot} = 3 \cdot 470\ \mathrm{\mu F} = 1410\ \mathrm{\mu F}$ och energin $W = 1410 \cdot 10^{-6} \cdot 9{,}0^2/2 \approx 57\ \mathrm{mJ}$, och varje kondensator har laddningen $Q = 470\ \mathrm{\mu F} \cdot 9{,}0\ \mathrm{V} \approx 4{,}2\ \mathrm{mC}$.

Kopplas de sedan om i serie har varje kondensator kvar sin laddning och sina 9,0 V. Seriekopplingen har kapacitansen $C_{tot} = 470/3\ \mathrm{\mu F} \approx 157\ \mathrm{\mu F}$ och den totala spänningen $U = 3 \cdot 9{,}0\ \mathrm{V} = 27\ \mathrm{V}$, och energin blir $W = 157 \cdot 10^{-6} \cdot 27^2/2 \approx 57\ \mathrm{mJ}$. Energin är oförändrad, medan spänningen har tredubblats och kapacitansen minskat nio gånger. Omkopplingen kan alltså i princip göras utan förluster, och vinsten är den högre spänningen, inte mer energi.

En plattkondensator i luft med plattarean 10 cm² hålls vid $U = 200\ \mathrm{V}$ av en källa. Den ena plattan rör sig mot den andra med farten $v = 0{,}50\ \mathrm{mm/s}$, och just nu är avståndet $d = 0{,}10\ \mathrm{mm}$. Kapacitansen är i detta ögonblick $C = \dfrac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3}}{1{,}0 \cdot 10^{-4}} \approx 89\ \mathrm{pF}$, och strömmen från källan blir

$$I = U\,\dfrac{\varepsilon_0 S v}{d^2} = 200 \cdot \dfrac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}50 \cdot 10^{-3}}{(1{,}0 \cdot 10^{-4})^2} \approx 89\ \mathrm{nA}$$

Strömmen går in i kondensatorn, eftersom kapacitansen och därmed laddningen ökar när plattorna närmar sig. Under en millisekund ändras avståndet bara $0{,}50\ \mathrm{\mu m}$, eller 0,5 procent, så strömmen är nästan konstant under den tiden. Det är denna linjärisering, att hålla nämnaren konstant när ändringen är liten, som gör strömmen proportionell mot plattans fart.

Areor ger stora fel när prefixen hanteras slarvigt. En kvadratkilometer är $10^6\ \mathrm{m^2}$, inte 1000 kvadratmeter, och en kvadratcentimeter är $10^{-4}\ \mathrm{m^2}$. Gör om alla mått till meter innan de sätts in.

Räkna energin direkt med $W = CU^2/2$. En omväg via effekt och tid, som att sätta energin till laddningen gånger hela spänningen, ger dubbelt för mycket, eftersom spänningen sjunker under urladdningen och i medel bara är hälften av startvärdet.

Kondensatorer adderas direkt parallellt men som inverser i serie, alltså tvärtom mot resistorer, och energin för en koppling räknas med den kopplingens egen totala kapacitans och totala spänning. I koaxialkabelns uttryck står den naturliga logaritmen $\ln$, inte tiologaritmen. Ett varierande plattavstånd skrivs som medelvärdet plus variationen, $d + \Delta d\,\sin\omega t$; skrivs bara variationen blir kapacitansen oändlig när den passerar noll.