Växelspänning i RC-kretsar

Laddningen på en kondensator följer spänningen, $q = Cu$, och strömmen är hur snabbt laddningen ändras:

$$i = C\,\dfrac{du}{dt}$$

Med en sinusformad spänning $u = U_0\sin\omega t$ blir strömmen $i = \omega C U_0\cos\omega t = \omega C U_0\sin(\omega t + 90^\circ)$. Strömmen har amplituden $I_0 = \omega C U_0$ och ligger en kvarts period före spänningen: den är störst när spänningen passerar noll och ändras snabbast, och noll när spänningen är som störst. Kvoten mellan amplituderna är kondensatorns reaktans, $X_C = U_0/I_0 = 1/(\omega C)$. Den minskar med frekvensen, så en kondensator släpper igenom höga frekvenser bättre och spärrar likström när den väl är uppladdad.

Genom en resistor är strömmen $i = (U_0/R)\sin\omega t$, i fas med spänningen. Skillnaden mellan sinus och cosinus i de två strömmarna är alltså en verklig fasförskjutning och inte ett skrivsätt.

I uttrycket $u = U_0\sin\omega t$ är $\omega$ vinkelfrekvensen i radianer per sekund. Den hänger ihop med frekvensen $f$ i hertz genom

$$\omega = 2\pi f$$

En spänning som växlar 50 gånger per sekund har alltså $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \mathrm{rad/s}$. Amplituden $U_0$ är toppvärdet. För nätspänning och på de flesta mätinstrument anges i stället effektivvärdet, den likspänning som ger samma medeleffekt i en resistor. För en sinusformad spänning är

$$U_0 = \sqrt{2}\,U_{eff}$$

Nätspänningens 230 V är ett effektivvärde, och amplituden är $\sqrt{2} \cdot 230 \approx 325\ \mathrm{V}$. Samma faktor gäller för strömmar, och kvoten mellan två storheter blir densamma oavsett om båda anges som amplituder eller båda som effektivvärden.

När en resistor och en kondensator är parallellkopplade över spänningen $u = U_0\sin\omega t$ har båda grenarna hela spänningen över sig, och totalströmmen är summan av grenarnas strömmar:

$$i(t) = \dfrac{U_0}{R}\sin\omega t + \omega C U_0\cos\omega t$$

Består kondensatorgrenen av flera kondensatorer slås de först ihop till en total kapacitans. Svaret kan lämnas i denna form, men summan av en sinus och en cosinus med samma vinkelfrekvens är alltid en ny sinus med en amplitud och en fas:

$$A\sin\omega t + B\cos\omega t = \sqrt{A^2 + B^2}\,\sin(\omega t + \varphi), \qquad \tan\varphi = \dfrac{B}{A}$$

Det syns med visare: sinustermen och cosinustermen är två vinkelräta visare, och totalen är hypotenusan. Här är $A = U_0/R$ och $B = \omega C U_0$, så $\tan\varphi = \omega RC$. Totalströmmen ligger före spänningen med en vinkel mellan 0° och 90°, närmare 90° ju mer kondensatorn dominerar.

Spänningen mellan två punkter är skillnaden mellan deras potentialer. Har två punkter spänningarna $u_1 = U_0\sin\omega t$ och $u_2 = U_0\sin(\omega t + \Delta\varphi)$ mot en gemensam nolla ger formeln för skillnaden mellan två sinusfunktioner

$$u_2 - u_1 = 2U_0\sin\dfrac{\Delta\varphi}{2}\,\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)$$

Det är en ny sinus med samma vinkelfrekvens och amplituden $2U_0\sin(\Delta\varphi/2)$. Vid fasskillnaden noll är spänningen mellan punkterna noll, och vid 180° är den dubbelt så stor som var och en. Vid 120° blir den $2U_0\sin 60^\circ = \sqrt{3}\,U_0$, och därför är huvudspänningen i elnätet $\sqrt{3} \cdot 230 \approx 400\ \mathrm{V}$ när fasspänningen är 230 V. Summan av de två spänningarna är en annan storhet och ger fel svar.

En källa ger $u(t) = 10\ \mathrm{V} \cdot \sin\omega t$ med frekvensen 1,0 kHz. Över den sitter en resistor på 200 Ω parallellt med två seriekopplade kondensatorer på 2,0 µF. Vinkelfrekvensen är $\omega = 2\pi \cdot 1000 \approx 6283\ \mathrm{rad/s}$, och kondensatorerna i serie ger $C = 2{,}0/2\ \mathrm{\mu F} = 1{,}0\ \mathrm{\mu F}$.

Resistorns ström har amplituden $I_R = 10/200 = 50\ \mathrm{mA}$ och är i fas med spänningen. Kondensatorgrenens ström har amplituden $I_C = \omega C U_0 = 6283 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \approx 62{,}8\ \mathrm{mA}$ och ligger 90° före. Totalströmmen blir

$$i(t) = 50\ \mathrm{mA} \cdot \sin\omega t + 62{,}8\ \mathrm{mA} \cdot \cos\omega t \approx 80{,}3\ \mathrm{mA} \cdot \sin(\omega t + 51{,}5^\circ)$$

med $\sqrt{50^2 + 62{,}8^2} \approx 80{,}3\ \mathrm{mA}$ och $\varphi = \arctan(62{,}8/50) \approx 51{,}5^\circ$. Hade frekvensen satts in i stället för vinkelfrekvensen hade kondensatorströmmen blivit drygt sex gånger för liten.

En kondensator på 10 µF ansluts till nätspänningen 230 V, 50 Hz. Amplituden är $U_0 = \sqrt{2} \cdot 230 \approx 325\ \mathrm{V}$, vinkelfrekvensen $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \mathrm{rad/s}$ och reaktansen

$$X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{314 \cdot 10 \cdot 10^{-6}} \approx 318\ \Omega$$

Strömmens effektivvärde blir $I_{eff} = 230/318 \approx 0{,}72\ \mathrm{A}$ och dess amplitud $I_0 = \sqrt{2} \cdot 0{,}72 \approx 1{,}02\ \mathrm{A}$. Eftersom kvoten mellan ström och spänning är densamma för effektivvärden och amplituder kan effektivvärdet räknas direkt, utan omvägen via amplituden. Vid 60 Hz hade strömmen blivit 20 procent större, eftersom reaktansen är omvänt proportionell mot frekvensen.

Två källor med gemensam nolla har samma frekvens och samma amplitud $U_0 = 15\ \mathrm{V}$, men den ena ligger före den andra i fas. Spänningen mellan källornas utgångar har amplituden $2U_0\sin(\Delta\varphi/2)$. Vid fasskillnaden 90° blir den $2 \cdot 15 \cdot \sin 45^\circ \approx 21{,}2\ \mathrm{V}$, vid 60° blir den $2 \cdot 15 \cdot \sin 30^\circ = 15\ \mathrm{V}$ och vid 180° blir den $30\ \mathrm{V}$. Effektivvärdet vid 90° är $21{,}2/\sqrt{2} \approx 15\ \mathrm{V}$. Resultatet beror bara på fasskillnaden och inte på var i perioden man börjar räkna.

Det vanligaste felet är att sätta in frekvensen $f$ där vinkelfrekvensen $\omega$ ska stå. De skiljer sig med faktorn $2\pi$, så kondensatorns ström blir drygt sex gånger fel. Står det rad/s i uppgiften är talet redan en vinkelfrekvens, står det Hz måste det multipliceras med $2\pi$.

Blanda inte heller ihop amplitud och effektivvärde. I $u = U_0\sin\omega t$ står amplituden framför sinusfunktionen, medan nätspänningens 230 V är ett effektivvärde. Amplituderna för en sinusterm och en cosinusterm adderas inte direkt, utan som kateter i en rätvinklig triangel: $\sqrt{A^2 + B^2}$, inte $A + B$. Räknaren ska stå i grader när fasen anges i grader och i radianer när $\omega t$ räknas i radianer. Spänningen mellan två faser är skillnaden mellan dem, inte summan. Söks strömmen som funktion av tiden ska svaret innehålla $t$, medan en fråga om amplitud besvaras med ett tal.