Elektriska fält och potential

En punktladdning $Q$ ger på avståndet $r$ fältet

$$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

riktat rakt ut från laddningen om den är positiv och rakt in mot den om den är negativ. Här är $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$. Fältet är kraften per laddning, $\vec{F} = q\vec{E}$. För flera laddningar gäller superposition: varje laddning ger sitt eget fält, och fälten adderas som vektorer, så varje bidrags riktning måste bestämmas först.

Potentialen är potentiell energi per laddning och är en skalär. För en punktladdning, med nollnivån i oändligheten, är den

$$U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

och bidragen från flera laddningar adderas som tal med tecken. Potentialen är integralen av fältet, $U(r) = -\int_{\infty}^{r} E\,dr'$, och omvänt är $E = -dU/dr$: fältet pekar åt det håll potentialen minskar snabbast. Fältlinjerna börjar på positiv och slutar på negativ laddning, korsar aldrig varandra och står vinkelrätt mot ekvipotentialytorna, eftersom ingen kraft verkar längs en yta med konstant potential. Linjernas täthet visar fältets styrka.

Gauss sats säger att det elektriska flödet ut genom en sluten yta är den inneslutna laddningen delad med $\varepsilon_0$:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{inne}}{\varepsilon_0}$$

Satsen gäller alltid, men den ger fältet direkt bara när symmetrin gör fältet lika stort överallt där flödet passerar. För en lång rak ledare med laddningen $\lambda$ per längdenhet väljer man en cylinder med radien $r$ och längden $l$ runt ledaren. Fältet pekar rakt ut från ledaren och genom ändytorna går inget flöde, så $E \cdot 2\pi r l = \lambda l/\varepsilon_0$ och

$$E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

Fältet avtar alltså som $1/r$, inte som $1/r^2$ som för en punktladdning, eftersom cylinderns mantelarea bara växer linjärt med radien. Utanför en ledare med radien $a$ gäller samma uttryck, vilket ger en enkel skalning: är fältet $E_a$ vid ytan blir det $E(r) = E_a \cdot a/r$ på avståndet $r$ från ledarens mitt. Uttrycket förutsätter att ledaren är lång jämfört med avståndet och att inga andra laddningar finns i närheten.

En elektrisk dipol består av laddningarna $+Q$ och $-Q$ på avståndet $d$ från varandra och beskrivs av dipolmomentet $p = Qd$, riktat från den negativa mot den positiva laddningen. På stort avstånd tar laddningarnas fält nästan ut varandra, och det som blir kvar avtar snabbare än fältet från en ensam laddning.

På dipolaxeln, på avståndet $r$ från dipolens mitt, ger de två punktladdningarnas fält tillsammans

$$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (r - d/2)^2} - \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (r + d/2)^2} \approx \dfrac{p}{2\pi\varepsilon_0 r^3}$$

när $r \gg d$. Fältet pekar längs $p$ på båda sidor om dipolen. Fältlinjerna går i bågar från den positiva till den negativa laddningen och är på mittpunktsnormalen riktade motsatt $p$.

Kraften mellan två likadana dipoler på linje avtar ännu snabbare. Den andra dipolens laddningar sitter på avstånden $r$ och $r + d$ och har motsatta tecken men känner nästan samma fält, så kraften är skillnaden $F = Q\left[E(r) - E(r+d)\right]$. När $r \gg d$ blir skillnaden derivatan av fältet gånger $d$, och med $dE/dr = -3p/(2\pi\varepsilon_0 r^4)$ fås

$$F \approx Qd \cdot \dfrac{3p}{2\pi\varepsilon_0 r^4} = \dfrac{3p^2}{2\pi\varepsilon_0 r^4}$$

Kraften avtar alltså med fjärde potensen av avståndet.

Potentialen på dipolaxeln kan härledas på två sätt. Det första är att addera två punktladdningars potentialer, som är skalärer:

$$U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (r - d/2)} - \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 (r + d/2)} = \dfrac{Qd}{4\pi\varepsilon_0 (r^2 - d^2/4)}$$

När $r \gg d$ kan $d^2/4$ i nämnaren försummas, och kvar blir

$$U = \dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

Det andra sättet är att integrera dipolfältet längs axeln från oändligheten, där potentialen är noll, in till $r$: $U = -\int_{\infty}^{r} \dfrac{p}{2\pi\varepsilon_0 r'^3}\,dr' = \dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$. Det relativa felet i approximationen är ungefär $d^2/(4r^2)$, bara 0,25 procent när avståndet är tio gånger $d$.

På mittpunktsnormalen, planet mitt emellan laddningarna, har varje punkt lika långt till $+Q$ och $-Q$, och därför är potentialen noll överallt där. Fältet är ändå inte noll, eftersom det beror på hur potentialen ändras och inte på dess värde. I en riktning som bildar vinkeln $\theta$ med axeln är potentialen $U = \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, som innehåller båda fallen.

Laddningarna $+4{,}0\ \mathrm{nC}$ och $-2{,}0\ \mathrm{nC}$ sitter 0,30 m från varandra. Sök fältet och potentialen i en punkt på linjen mellan dem, 0,10 m från den positiva laddningen. Med $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8{,}99 \cdot 10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ ger den positiva laddningen ett fält bort från sig, alltså mot den negativa, med beloppet $E_1 = \dfrac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-9}}{0{,}10^2} \approx 3{,}60\ \mathrm{kV/m}$. Den negativa laddningen drar fältet mot sig, och eftersom den ligger på samma sida pekar även dess bidrag åt det hållet: $E_2 = \dfrac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-9}}{0{,}20^2} \approx 0{,}45\ \mathrm{kV/m}$. Bidragen ska därför adderas, och fältet blir $E = E_1 + E_2 \approx 4{,}0\ \mathrm{kV/m}$, riktat mot den negativa laddningen.

Potentialen är en skalär, och bidragen läggs ihop med tecken: $U = 8{,}99 \cdot 10^9 \left(\dfrac{4{,}0 \cdot 10^{-9}}{0{,}10} - \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-9}}{0{,}20}\right) \approx 270\ \mathrm{V}$. Den negativa laddningen drar ner potentialen, men den ökade fältet. Fält och potential måste därför räknas var för sig.

I ett elektrofilter, som renar rökgas från stoft, sitter en tunn laddad tråd med radien $a = 0{,}15\ \mathrm{mm}$ mitt i ett jordat rör. Fältet vid trådens yta är $E_a = 4{,}0\ \mathrm{MV/m}$. Sök fältet 25 mm från trådens mitt och laddningen per meter.

Fältet avtar som $1/r$, så det räcker att jämföra avstånden: $E = E_a \cdot \dfrac{a}{r} = 4{,}0\ \mathrm{MV/m} \cdot \dfrac{0{,}15\ \mathrm{mm}}{25\ \mathrm{mm}} = 24\ \mathrm{kV/m}$. Avståndet ökar ungefär 170 gånger och fältet minskar lika mycket. Laddningen per längdenhet fås ur fältet vid ytan: $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 a E_a = 2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}15 \cdot 10^{-3} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{6} \approx 33\ \mathrm{nC/m}$. Röret ändrar inte fältet innanför sig, eftersom Gauss sats bara räknar laddningen innanför den tänkta cylindern.

Det vanligaste felet i dipoluppgifter är att använda fel fält. Kraften på en dipol i en annan dipols fält ska räknas med dipolfältet $p/(2\pi\varepsilon_0 r^3)$ i den riktning som är aktuell, inte med en punktladdnings fält $Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$.

Det andra felet är att stanna halvvägs. Ett uttryck som $\dfrac{\mathrm{konst}}{r^3} - \dfrac{\mathrm{konst}}{(r+d)^3}$ är riktigt men visar inte hur kraften beror på avståndet. Sätt på gemensamt bråkstreck, utveckla och stryk termerna med $d$ i högre potens, så att det syns att kraften är proportionell mot $1/r^4$. Kontrollera dimensionen i varje steg: en summa som $r^2 + r$ kan aldrig vara rätt, eftersom termerna har olika enhet.

För en lång ledare avtar fältet som $1/r$, inte som $1/r^2$, och avståndet räknas från ledarens mitt. Fältlinjer börjar på positiv laddning, slutar på negativ, korsar aldrig varandra och möter en ledare vinkelrätt.