Stela kroppens rörelsemängdsmoment

När en stel kropp roterar kring en punkt $O$ som är fix i rummet har varje masselement hastigheten $\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r$, där $\mathbf r$ räknas från $O$. Summan av masselementens rörelsemängdsmoment blir

$$\mathbf H_O = \int \mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\,dm = \mathbf I_O\boldsymbol\omega$$

Komponentvis är $H_x = I_{xx}\omega_x + I_{xy}\omega_y + I_{xz}\omega_z$, och på samma sätt för $H_y$ och $H_z$. Tröghetstensorn och vinkelhastigheten ska uttryckas i samma bas, och tensorn ska vara räknad kring just $O$.

Kring masscentrum gäller samma form hur masscentrum än rör sig:

$$\mathbf H'_G = \mathbf I_G\boldsymbol\omega$$

Primtecknet anger att hastigheterna räknas relativt masscentrum. Värdet blir detsamma med absoluta hastigheter, eftersom $\int\mathbf r'\,dm = \mathbf 0$.

Roterar kroppen kring z-axeln är $\boldsymbol\omega = \omega\mathbf e_z$, och produkten plockar ut tensorns tredje kolumn:

$$\mathbf H_O = I_{xz}\omega\,\mathbf e_x + I_{yz}\omega\,\mathbf e_y + I_{zz}\omega\,\mathbf e_z$$

Rörelsemängdsmomentet pekar längs rotationsaxeln bara när $I_{xz} = I_{yz} = 0$, alltså när axeln är en huvudtröghetsaxel. Annars finns en del vinkelrät mot axeln, och den följer med kroppen runt.

För en plan kropp som rör sig i sitt eget plan är normalen genom masscentrum en huvudtröghetsaxel. Då räcker ett tal: $\mathbf H'_G = I_G\omega\mathbf e_z$, där $\omega$ är positiv moturs när z-axeln pekar mot betraktaren.

För en godtycklig punkt $O$, i eller utanför kroppen, gäller

$$\mathbf H_O = \mathbf r_{OG}\times m\mathbf v_G + \mathbf H'_G$$

Bandelen $\mathbf r_{OG}\times m\mathbf v_G$ är rörelsemängdsmomentet hos en partikel med hela massan i masscentrum. Spinndelen $\mathbf H'_G$ är densamma för alla val av $O$. I plan rörelse har bandelen beloppet $mv_G$ gånger det vinkelräta avståndet från $O$ till den linje masscentrum rör sig längs, och tecknet beror på vilken sida om linjen punkten ligger. Bandelen och spinndelen kan därför samverka eller motverka varandra.

Spinndelen bildas med kroppens absoluta vinkelhastighet. Sitter en skiva på en roterande arm är det summan av armens vinkelhastighet och skivans vinkelhastighet relativt armen som gäller. Vid rotation kring en fix axel genom $O$ på avståndet $d$ från masscentrum ger uppdelningen $md^2\omega + I_G\omega = I_O\omega$, i enlighet med parallellförflyttningssatsen.

Vid rotation kring en fix punkt $O$ är

$$T = \tfrac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf H_O = \tfrac12\boldsymbol\omega^{T}\mathbf I_O\boldsymbol\omega$$

Sambandet följer av att $\mathbf v\cdot\mathbf v = (\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\cdot\mathbf v = \boldsymbol\omega\cdot(\mathbf r\times\mathbf v)$ för varje masselement. Rörelsemängdsmomentet är en vektor och linjärt i vinkelhastigheten, medan kinetiska energin är en skalär och kvadratisk i den. Med rotationsaxelns riktning $\mathbf e$ blir $T = \tfrac12I_e\omega^2$, där $I_e = \mathbf e^{T}\mathbf I_O\mathbf e$ är tröghetsmomentet kring axeln. För allmän rörelse är $T = \tfrac12mv_G^2 + \tfrac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf H'_G$.

Kring en fix punkt och kring masscentrum har momentekvationen sin enkla form:

$$\dot{\mathbf H}_O = \mathbf M_O,\qquad \dot{\mathbf H}'_G = \mathbf M_G$$

Kring en rörlig punkt $A$ tillkommer en term. Med rörelsemängdsmomentet bildat av absoluta hastigheter är $\dot{\mathbf H}_A = \mathbf M_A - \mathbf v_A\times m\mathbf v_G$. Att en punkt följer med kroppen gör den inte fix. De två enkla formerna hänger ihop genom att kraftmomentet flyttas mellan punkterna med kraftsumman $m\mathbf a_G$, så att $\mathbf M_G = \mathbf M_O + \mathbf r_{GO}\times m\mathbf a_G$.

Utan yttre kraftmoment är rörelsemängdsmomentet konstant till både belopp och riktning. Hur ett kraftmoment vrider rörelsemängdsmomentet behandlas i ämnet Dynamik i rummet: precession och lagerreaktioner.

En cirkelskiva med massan $4{,}0\ \mathrm{kg}$ och radien $R = 0{,}25\ \mathrm{m}$ rullar utan glidning åt höger på ett horisontellt underlag med $v_G = 2{,}0\ \mathrm{m/s}$. Låt $\mathbf e_x$ peka åt höger, $\mathbf e_y$ uppåt och $\mathbf e_z$ mot betraktaren. Skivan roterar då medurs med $\boldsymbol\omega = -(v_G/R)\,\mathbf e_z = -8{,}0\ \mathrm{rad/s}\ \mathbf e_z$, och spinndelen är

$$\mathbf H'_G = \tfrac12\cdot 4{,}0\cdot 0{,}25^2\cdot(-8{,}0)\,\mathbf e_z = -1{,}0\ \mathrm{kg\,m^2/s}\ \mathbf e_z$$

För en punkt $A$ på underlaget ligger masscentrum $0{,}25\ \mathrm{m}$ högre än punkten, och bara den vertikala delen av $\mathbf r_{AG}$ bidrar till kryssprodukten med rörelsemängden $8{,}0\ \mathrm{kg\,m/s}\ \mathbf e_x$:

$$\mathbf r_{AG}\times m\mathbf v_G = 0{,}25\,\mathbf e_y\times 8{,}0\,\mathbf e_x = -2{,}0\ \mathrm{kg\,m^2/s}\ \mathbf e_z$$

Summan är $\mathbf H_A = -3{,}0\ \mathrm{kg\,m^2/s}\ \mathbf e_z$. Det stämmer med $I_C\omega$ kring kontaktpunkten $C$, där $I_C = \tfrac32mR^2$.

För en punkt $B$ på höjden $0{,}60\ \mathrm{m}$ över underlaget ligger masscentrum i stället $0{,}35\ \mathrm{m}$ lägre än punkten. Bandelen byter tecken och blir $+2{,}8\ \mathrm{kg\,m^2/s}\ \mathbf e_z$, så $\mathbf H_B = +1{,}8\ \mathrm{kg\,m^2/s}\ \mathbf e_z$. På höjden $1{,}5R$ tar de två delarna ut varandra helt.

Två partiklar med massan $m = 0{,}50\ \mathrm{kg}$ sitter i ändarna på en lätt stång med längden $0{,}60\ \mathrm{m}$. Stångens mittpunkt $O$ är fäst i en vertikal axel, z-axeln, och stången bildar vinkeln $\beta = 60^\circ$ med axeln. Systemet roterar med $\omega = 10\ \mathrm{rad/s}$ kring z-axeln. I det betraktade ögonblicket ligger stången i xz-planet med partiklarna i $\pm b(\sin\beta, 0, \cos\beta)$, där $b = 0{,}30\ \mathrm{m}$.

De komponenter som behövs är

$$I_{zz} = 2mb^2\sin^2\beta = 0{,}0675\ \mathrm{kg\,m^2},\qquad I_{xz} = -2mb^2\sin\beta\cos\beta = -0{,}0390\ \mathrm{kg\,m^2}$$

och $I_{yz} = 0$. Rörelsemängdsmomentet blir

$$\mathbf H_O = I_{xz}\omega\,\mathbf e_x + I_{zz}\omega\,\mathbf e_z = (-0{,}39\,\mathbf e_x + 0{,}68\,\mathbf e_z)\ \mathrm{kg\,m^2/s}$$

Beloppet är $0{,}78\ \mathrm{kg\,m^2/s}$, och vektorn lutar $30^\circ$ från rotationsaxeln, vinkelrätt mot stången. Kinetiska energin är $T = \tfrac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf H_O = \tfrac12\cdot 10\cdot 0{,}675 = 3{,}4\ \mathrm{J}$. Samma värde fås ur partiklarnas fart $\omega b\sin\beta = 2{,}6\ \mathrm{m/s}$.

Sambandet $\mathbf H_O = \mathbf I_O\boldsymbol\omega$ förutsätter att kroppen roterar kring $O$. För en punkt utanför kroppen, eller en punkt som rör sig, behövs bandel och spinndel. Det vanligaste misstaget är att bara ta med den ena: en rullande skiva har både en bandel från masscentrums rörelse och en spinndel från rotationen.

De två delarna har var sitt tecken, och beloppen får inte adderas utan vidare. Spinndelens tecken följer rotationsriktningen. Bandelens tecken avgörs av kryssprodukten med vektorn från momentpunkten till masscentrum, inte tvärtom. Ett hjul som rullar på insidan av en ring har till exempel en spinndel som är motriktad bandelen kring ringens centrum. I spinndelen ingår kroppens absoluta vinkelhastighet, inte vinkelhastigheten relativt en roterande arm.

Rörelsemängdsmomentet är inte alltid parallellt med vinkelhastigheten. Kring en axel som inte är en huvudtröghetsaxel finns en del tvärs axeln, och dess tecken följer tröghetsproduktens minustecken. I energisambandet är faktorn $\tfrac12$ lätt att tappa, och uttrycket $\tfrac12\mathbf I_O\boldsymbol\omega$ är en vektor som inte kan vara en energi. Kring en rörlig punkt gäller $\dot{\mathbf H}_A = \mathbf M_A$ inte utan extratermen.