Rullning: rullvillkor och friktion

En kropp rullar utan glidning när den punkt $C$ på kroppen som just nu rör vid underlaget har samma hastighet som underlaget. Mot ett fixt underlag är $\mathbf v_C = \mathbf 0$, så kontaktpunkten är momentancentrum och $\mathbf v_G = \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{CG}$. För ett hjul med radien $R$ på plant underlag ger det rullvillkoret

$$v_G = \omega R,\qquad a_G = \alpha R$$

där den andra likheten är den första deriverad. Tecknen stämmer bara om positiv vridning väljs åt det håll som hör ihop med positiv färdriktning. Med $x$ åt höger och $\mathbf e_z$ ut ur planet har ett hjul som rullar åt höger $\boldsymbol\omega = -(v_G/R)\,\mathbf e_z$. Hjulets högsta punkt har hastigheten $2v_G$.

Kontaktpunkten har hastigheten noll men inte accelerationen noll. Accelerationssambandet från centrum ger den en acceleration med beloppet $\omega^2R$, riktad mot hjulets centrum.

Rullar ett hjul med radien $r$ på insidan av en fix cylinder med radien $R$ rör sig dess centrum i en cirkel med radien $R - r$. Med $\theta$ som vinkeln hos linjen från cylinderns centrum till hjulets centrum och $\omega$ som hjulets vinkelhastighet gäller

$$v_G = (R - r)\dot\theta = r\omega$$

Den första likheten beskriver centrums cirkelrörelse och den andra att kontaktpunkten har hastigheten noll. På utsidan av en fix cylinder eller ett fixt kugghjul är banradien i stället $R + r$:

$$v_G = (R + r)\dot\theta = r\omega$$

Banvinkeln och hjulets vridning är alltså olika storheter med olika vinkelhastigheter. Banradien styr också höjdändringen i energilagen och centripetalaccelerationen $v_G^2/(R - r)$ i kraftekvationen, medan $r$ bara hör till hjulets egen rotation.

Vid rullning utan glidning är friktionen statisk. Friktionskraften $F$ ritas in i kontaktpunkten med en antagen riktning och bestäms tillsammans med accelerationen ur kraftekvationen, momentekvationen kring masscentrum och rullvillkoret. För en kropp som rullar nedför ett plan med lutningen $\beta$ är $ma_G = mg\sin\beta - F$ och $I_G\alpha = FR$, och med $\alpha = a_G/R$ blir

$$a_G = \frac{g\sin\beta}{1 + I_G/(mR^2)},\qquad F = \frac{I_G}{R^2}\,a_G$$

En homogen skiva eller cylinder får $a_G = \tfrac23 g\sin\beta$ och en ring $a_G = \tfrac12 g\sin\beta$. Lösningen förutsätter att underlaget kan ge den friktionskraft som krävs:

$$|F| \le \mu N$$

Likhet gäller bara på gränsen till glidning. Är villkoret inte uppfyllt glider kroppen. Då gäller $F = \mu N$ men inte längre rullvillkoret.

Friktionskraftens effekt är $\mathbf F\cdot\mathbf v_C$, och kontaktpunkten har hastigheten noll. Varken friktionskraften eller normalkraften uträttar därför något arbete, och den mekaniska energin bevaras när bara tyngdkraften arbetar. Den kinetiska energin kan räknas som rotation kring momentancentrum:

$$T = \tfrac12 mv_G^2 + \tfrac12 I_G\omega^2 = \tfrac12\left(I_G + mR^2\right)\omega^2$$

Med rullvillkoret blir $T = \tfrac34 mv_G^2$ för en homogen skiva eller cylinder och $T = mv_G^2$ för en ring. En kropp som startar från vila och vars masscentrum sjunker höjden $h$ får

$$v_G = \sqrt{\frac{2gh}{1 + I_G/(mR^2)}}$$

Farten beror på hur massan är fördelad men inte på massans eller radiens storlek. Ringen, med all massa längst ut, lägger hälften av energin i rotation och är alltid långsammare än skivan.

En jojo som faller längs en vertikal tråd med fix övre ände rullar på tråden. Punkten där tråden lämnar skivan har hastigheten noll, så $a_G = \alpha R$, där $R$ är radien som tråden är lindad på. Kraftekvationen $ma_G = mg - S$ och momentekvationen $I_G\alpha = SR$ ger

$$a_G = \frac{g}{1 + I_G/(mR^2)}$$

alltså $\tfrac23 g$ för en homogen skiva, med trådkraften $S = \tfrac13 mg$.

En trådrulle på ett golv har ytterradien $R$ i rullvillkoret, medan trådkraften $P$ angriper på den inre trumman med radien $r$. Trådkraftens kraftmoment kring kontaktpunkten avgör åt vilket håll rullen går. Dras tråden från trummans undersida i vinkeln $\beta$ över golvet rullar den mot draget när $\cos\beta > r/R$ och från det när $\cos\beta < r/R$. I gränsfallet går trådens förlängning genom kontaktpunkten.

En homogen cylinder med massan $4{,}0\ \mathrm{kg}$ släpps från vila på ett plan med lutningen $\beta = 25^\circ$. Med $I_G = \tfrac12 mR^2$ blir

$$a_G = \tfrac23\cdot 9{,}82\cdot\sin 25^\circ = 2{,}8\ \mathrm{m/s^2}$$

$$F = \tfrac12 ma_G = 5{,}5\ \mathrm{N},\qquad N = mg\cos\beta = 35{,}6\ \mathrm{N}$$

Rullning kräver $\mu \ge F/N = \tfrac13\tan\beta = 0{,}16$. Har underlaget till exempel $\mu = 0{,}40$ är friktionskraften alltså långt under $\mu N = 14\ \mathrm{N}$.

Efter $1{,}5\ \mathrm{m}$ längs planet har masscentrum sjunkit $h = 1{,}5\sin 25^\circ = 0{,}63\ \mathrm{m}$, och energilagen ger

$$v_G = \sqrt{\tfrac43\cdot 9{,}82\cdot 0{,}63} = 2{,}9\ \mathrm{m/s}$$

vilket stämmer med $\sqrt{2a_Gs}$ ur accelerationen. En ring på samma plan får $a_G = 2{,}1\ \mathrm{m/s^2}$ och farten $2{,}5\ \mathrm{m/s}$ efter samma sträcka, och den kräver $\mu \ge \tfrac12\tan\beta = 0{,}23$. Utan friktion hade båda glidit med $g\sin\beta = 4{,}2\ \mathrm{m/s^2}$.

En trådrulle med massan $0{,}40\ \mathrm{kg}$, ytterradien $R = 0{,}050\ \mathrm{m}$ och $I_G = 6{,}0\cdot 10^{-4}\ \mathrm{kg\,m^2}$ står på ett golv. Tråden lämnar den inre trumman, $r = 0{,}020\ \mathrm{m}$, på undersidan och dras med $P = 1{,}5\ \mathrm{N}$ snett uppåt i vinkeln $\beta = 30^\circ$. Välj $x$ åt det håll tråden dras, låt friktionskraften $F$ vara riktad bakåt och räkna vridning positiv i rullningens riktning framåt. Kring centrum vrider trådkraften bakåt med momentarmen $r$ och friktionskraften framåt med momentarmen $R$:

$$ma_G = P\cos\beta - F,\qquad I_G\,\frac{a_G}{R} = FR - Pr$$

Elimineras $F$ fås

$$a_G = \frac{P(\cos\beta - r/R)}{m + I_G/R^2} = \frac{1{,}5\,(0{,}866 - 0{,}40)}{0{,}40 + 0{,}24} = 1{,}1\ \mathrm{m/s^2}$$

Rullen går alltså mot draget. Friktionskraften är $F = P\cos\beta - ma_G = 0{,}86\ \mathrm{N}$ och normalkraften $N = mg - P\sin\beta = 3{,}2\ \mathrm{N}$, så rullning kräver $\mu \ge 0{,}27$. Gränsvinkeln ges av $\cos\beta = 0{,}40$, det vill säga $\beta = 66^\circ$. Vid $\beta = 80^\circ$ blir $a_G = -0{,}53\ \mathrm{m/s^2}$: rullen går bakåt fast trådkraften har en komponent framåt.

Friktionskraften vid rullning är inte $\mu N$. Den är en obekant, och $\mu N$ är bara den övre gränsen. Sätts $F = \mu N$ in i ekvationerna blir både accelerationen och farten fel. Lika fel är att glömma rotationen. Utan rotationsenergin blir farten $\sqrt{2gh}$, som vid friktionsfri glidning, och den är alltid för stor. En ring och en skiva kommer inte heller ner samtidigt: använd rätt tröghetsmoment, $\tfrac12 mR^2$ för skivan och $mR^2$ för ringen.

I cirkelbanor är felet oftast radien. Masscentrum går i en cirkel med radien $R - r$ eller $R + r$, inte $R$, och hjulets vinkelhastighet $\omega$ är inte banvinkelns $\dot\theta$. Kontrollera tecknet i rullvillkoret mot de valda positiva riktningarna. Hos en trådrulle beror tecknet på trådkraftens kraftmoment på var tråden lämnar trumman: från undersidan motverkar det rullningen mot draget, från översidan hjälper det till. Kontaktpunkten har slutligen hastigheten noll men accelerationen $\omega^2R$ mot centrum, så alternativ där dess acceleration är noll är fel.