Formelsamling för Tillämpad termodynamik

pV=m\frac{R_M}{M}T,\qquad pv=RT,\quad R=\frac{R_M}{M}

Vad gör formeln?: Binder samman tryck, volym, massa och temperatur för en .
När får den användas?: Gäller för , alltså långt från . Temperaturen ska vara absolut. Den universella är R_M = 8314,5 J per kmol och kelvin. FS ekv. 3.1.

Enodas sammanfattning

Effekt ur massflöde

\dot E=\dot m\,\varepsilon,\qquad \dot Q=\dot m\,q

Vad gör formeln?: Omvandlar en specifik energi per kilogram till en effekt.
När får den användas?: Gäller för stationär strömning, där massflödet är konstant genom kontrollvolymen. Den specifika storheten är per kilogram medium. FS ekv. 1.5.

Enodas sammanfattning

Energi ur massa

E=m\,\varepsilon,\qquad Q=m\,q

Vad gör formeln?: Omvandlar en specifik energi till en total energimängd.
När får den användas?: Gäller för ett med bestämd massa. Storheter utan index är extensiva och de med små bokstäver specifika. FS ekv. 1.4.

Enodas sammanfattning

Första huvudsatsen för

q=u_2-u_1+\varepsilon_{yr},\qquad Q=U_2-U_1+E_{yr}

Vad gör formeln?: Tillfört värme går till och .
När får den användas?: Gäller för ett , alltså utan massflöde över gränsen. De två formerna är samma lag skriven specifikt respektive totalt. FS ekv. 2.5 och 2.7.

Enodas sammanfattning

Energiekvationen för

q=\varepsilon_t+(h_2-h_1)+\tfrac{1}{2}(w_2^{2}-w_1^{2})+g(z_2-z_1)

Vad gör formeln?: Energibalansen för ett genomströmmat system, med .
När får den användas?: Gäller för stationär strömning genom en . I de flesta uppgifter är ändringarna i rörelse- och lägesenergi försumbara. FS ekv. 2.11.

Enodas sammanfattning

\varepsilon_{yr}=\int_{v_1}^{v_2} p\,dv,\qquad E_{yr}=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV

Vad gör formeln?: Arbetet ett utför när dess volym ändras.
När får den användas?: Gäller för en i ett . Sambandet mellan tryck och volym under processen måste vara känt för att integralen ska gå att beräkna. FS ekv. 2.1.

Enodas sammanfattning

,

\varepsilon_t=-\int_{p_1}^{p_2} v\,dp+\tfrac{1}{2}(w_1^{2}-w_2^{2})+g(z_1-z_2)

Vad gör formeln?: Det uttryckt som en tryckintegral.
När får den användas?: Gäller för en i ett . Minustecknet framför integralen gör att en tryckhöjning kräver tillfört arbete. FS ekv. 2.13.

Enodas sammanfattning

i en gasblandning

\xi_i=\frac{m_i}{\sum_j m_j}

Vad gör formeln?: Komponentens andel av blandningens totala massa.
När får den användas?: Summan av alla massandelar är ett. Andelen är dimensionslös och anges ofta i procent. FS ekv. 3.3.

Enodas sammanfattning

och

\psi_i=\frac{p_i}{p},\qquad V_i=\psi_i V

Vad gör formeln?: är både tryckandel och för ideala gaser.
När får den användas?: Gäller för en blandning av ideala gaser. sammanfaller med volymandelen, vilket är en följd av att alla komponenter har samma temperatur och volym. FS ekv. 3.9.

Enodas sammanfattning

Omräkning mellan mol- och

\xi_i=\psi_i\frac{M_i}{M_m},\qquad \psi_i=\xi_i\frac{M_m}{M_i}

Vad gör formeln?: Översätter mellan andel per kmol och andel per kilogram.
När får den användas?: M_m är blandningens . De två andelarna sammanfaller bara när komponenterna har samma . FS ekv. 3.10.

Enodas sammanfattning

Gasblandningens

M_m=\sum_i \psi_i M_i=\frac{1}{\sum_i \xi_i/M_i}

Vad gör formeln?: Blandningens ur komponenternas andelar.
När får den användas?: Den första formen utgår från molandelar, den andra från massandelar. Båda ger samma för samma blandning. FS ekv. 3.5.

Enodas sammanfattning

för

u_2-u_1=c_v(T_2-T_1)

Vad gör formeln?: Ändringen i ur temperaturskillnaden.
När får den användas?: Gäller för med konstant . beror bara på temperaturen, inte på trycket eller volymen. FS ekv. 3.13.

Enodas sammanfattning

för

h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)

Vad gör formeln?: Ändringen i ur temperaturskillnaden.
När får den användas?: Gäller för med konstant . Även beror bara på temperaturen för en . FS ekv. 3.14.

Enodas sammanfattning

vid konstant tryck

c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1}=\frac{\kappa R_M}{M(\kappa-1)}

Vad gör formeln?: Uttrycker vid konstant tryck genom .
När får den användas?: Gäller för . är kvoten mellan de två värmekapaciteterna och är 1,4 för tvåatomiga gaser som luft. FS ekv. 3.19.

Enodas sammanfattning

vid konstant volym

c_v=\frac{R}{\kappa-1}=\frac{R_M}{M(\kappa-1)}

Vad gör formeln?: Uttrycker vid konstant volym genom .
När får den användas?: Gäller för . Skillnaden mot vid konstant tryck är exakt den . FS ekv. 3.20.

Enodas sammanfattning

Andra huvudsatsen och kretsprocesser

, tillståndssamband

p_1v_1=p_2v_2

Vad gör formeln?: Trycket är omvänt proportionellt mot volymen vid konstant temperatur.
När får den användas?: Gäller för vid konstant temperatur. Följer direkt ur gaslagen när temperaturen hålls fast. FS ekv. 4.1.

Enodas sammanfattning

, värme och arbete

q=\varepsilon_{yr}=RT\ln\frac{v_2}{v_1}=RT\ln\frac{p_1}{p_2}

Vad gör formeln?: Värme och arbete vid expansion eller kompression.
När får den användas?: Gäller för vid konstant temperatur. Eftersom är oförändrad blir tillfört värme lika med utfört arbete. FS ekv. 4.2.

Enodas sammanfattning

, tillståndssamband

\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}

Vad gör formeln?: Trycket är proportionellt mot temperaturen vid konstant volym.
När får den användas?: Gäller för vid konstant volym. Temperaturen ska vara absolut. FS ekv. 4.3.

Enodas sammanfattning

, värme

q=c_v(T_2-T_1)

Vad gör formeln?: Värmet vid konstant volym är lika med ändringen i .
När får den användas?: Gäller för vid konstant volym. Inget utförs, så hela värmet blir . FS ekv. 4.6.

Enodas sammanfattning

, tillståndssamband

\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}

Vad gör formeln?: Volymen är proportionell mot temperaturen vid konstant tryck.
När får den användas?: Gäller för vid konstant tryck, till exempel en gas under en fritt rörlig kolv. Temperaturen ska vara absolut. FS ekv. 4.7.

Enodas sammanfattning

,

\varepsilon_{yr}=p(v_2-v_1)=R(T_2-T_1)

Vad gör formeln?: vid konstant tryck.
När får den användas?: Gäller för vid konstant tryck. Den andra formen följer genom att gaslagen sätts in i den första. FS ekv. 4.8.

Enodas sammanfattning

, värme

q=c_p(T_2-T_1)

Vad gör formeln?: Värmet vid konstant tryck är lika med ändringen i .
När får den användas?: Gäller för vid konstant tryck. Värmet räcker både till och till , vilket är varför är den större av de två. FS ekv. 4.10.

Enodas sammanfattning

, tryck och temperatur

\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}

Vad gör formeln?: Temperaturändringen vid kompression eller expansion.
När får den användas?: Gäller för i en . Temperaturerna ska vara absoluta. FS ekv. 4.12.

Enodas sammanfattning

, volym och temperatur

\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1}

Vad gör formeln?: Temperaturändringen uttryckt genom volymförhållandet.
När får den användas?: Gäller för i en . Samma samband som tryckformen, uttryckt i volymer i stället. FS ekv. 4.13.

Enodas sammanfattning

\varepsilon_{yr}=c_v(T_1-T_2)

Vad gör formeln?: vid expansion i ett .
När får den användas?: Gäller för i en i ett . Eftersom värmet är noll kommer arbetet helt ur den . FS ekv. 4.14.

Enodas sammanfattning

\varepsilon_t=c_pT_1\left(1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}\right)

Vad gör formeln?: Det vid expansion eller kompression.
När får den användas?: Gäller för i en i ett . Uttrycket är energiekvationen med värmet satt till noll. FS ekv. 4.15.

Enodas sammanfattning

Carnotverkningsgrad

\eta_{tC}=1-\frac{T_2}{T_1}

Vad gör formeln?: Den högsta möjliga mellan två temperaturnivåer.
När får den användas?: Gäller för en mellan två konstanta temperaturer. Temperaturerna ska vara absoluta, och ingen verklig process kan överträffa detta värde. FS ekv. 4.22.

Enodas sammanfattning

\upsilon=\frac{V_{\max}}{V_{\min}}

Vad gör formeln?: Förhållandet mellan största och minsta volym i en kolvmaskin.
När får den användas?: Definieras som ett volymförhållande, aldrig som ett tryckförhållande. Är alltid större än ett. FS ekv. 4.26.

Enodas sammanfattning

Cykelns nettoarbete

\varepsilon_c=\sum_{\text{cykel}}\varepsilon_{yr}

Vad gör formeln?: Nettoarbetet är summan av delprocessernas arbeten.
När får den användas?: Summan går över alla delprocesser i cykeln, med tecken. I ett tryck-volymdiagram är nettoarbetet den inneslutna arean. FS ekv. 4.28.

Enodas sammanfattning

Cykelns energibalans

\varepsilon_c=q_1-|q_2|

Vad gör formeln?: Nettoarbetet är tillfört minus bortfört värme.
När får den användas?: Gäller för en sluten , där mediet återvänder till sitt utgångstillstånd så att ändringen i är noll över cykeln. FS ekv. 2.16.

Enodas sammanfattning

\eta_t=\frac{\varepsilon_c}{q_1}=1-\frac{|q_2|}{q_1}

Vad gör formeln?: Andelen av det tillförda värmet som blir nyttigt arbete.
När får den användas?: Gäller för en som avger arbete. Både nettoarbetet och det tillförda värmet räknas per kilogram medium eller som totala mängder. FS ekv. 2.17.

Enodas sammanfattning

och

COP_1=\frac{|\dot Q_1|}{|\dot E|},\qquad COP_2=\frac{\dot Q_2}{|\dot E|}

Vad gör formeln?: Godhetstalen för värmepump respektive .
När får den användas?: Gäller för en som drivs med arbete. avser uppvärmning och kylning, och de skiljer sig med precis ett. FS ekv. 2.19.

Enodas sammanfattning

Turbinens isentropa

\eta_T=\frac{\varepsilon_t}{\varepsilon_{t,is}}

Vad gör formeln?: Jämför turbinens verkliga arbete med det isentropa.
När får den användas?: Det verkliga arbetet står i täljaren eftersom en verklig turbin alltid ger mindre än den isentropa. är därför mindre än ett. FS ekv. 6.4.

Enodas sammanfattning

Kompressorns isentropa

\eta_K=\frac{T_{2,is}-T_1}{T_2-T_1}

Vad gör formeln?: Jämför kompressorns isentropa arbete med det verkliga.
När får den användas?: Det isentropa arbetet står i täljaren eftersom en verklig kompressor kräver mer arbete än den isentropa. Temperaturerna ska vara absoluta eller konsekvent i Celsius, eftersom bara skillnader ingår. FS ekv. 6.5.

Enodas sammanfattning

Reala medier och ångkraftprocesser

Entropins definition

ds=\frac{dq_r}{T},\qquad q_r=\int_{s_1}^{s_2}T\,ds

Vad gör formeln?: Definierar och ger värmet som arean under processen i ett T--diagram.
När får den användas?: Gäller för en . Vid konstant temperatur, som i , går integralen över i en produkt. FS ekv. 5.1.

Enodas sammanfattning

Realgas med

pV=z_r\,m\frac{R_M}{M}T

Vad gör formeln?: Korrigerar gaslagen för att gälla också nära .
När får den användas?: hämtas ur diagram med reducerat tryck och reducerad temperatur som ingångar. För en är den ett. FS ekv. 7.8.

Enodas sammanfattning

Reducerat tillstånd

T_r=\frac{T}{T_k},\qquad p_r=\frac{p}{p_k}

Vad gör formeln?: Skalar tillståndet mot ämnets kritiska punkt.
När får den användas?: De kritiska värdena är ämnesspecifika och hämtas ur tabell. Båda storheterna ska vara absoluta. FS ekv. 7.9.

Enodas sammanfattning

i

h=h'+x(h''-h'),\qquad x=\frac{h-h'}{h''-h'}

Vad gör formeln?: Interpolerar mellan mättad vätska och mättad ånga.
När får den användas?: Gäller bara i , där tryck och temperatur är låsta till varandra. Samma viktning gäller för , och . Ångtabellens mättnadsvärden för mättad vätska och mättad ånga.

Enodas sammanfattning

Pumpens arbete och utloppsentalpi

h_b=h_a+\frac{v_a(p_b-p_a)}{\eta_P}

Vad gör formeln?: efter pumpen i en .
När får den användas?: Gäller för en vätska, vars specifika volym är i det närmaste konstant genom pumpen. Volymen tas vid inloppet, alltså för mättad vätska. FS ekv. 8.5.

Enodas sammanfattning

Pannans tillförda värme

\dot Q_1=\dot m(h_c-h_b)

Vad gör formeln?: Värmeeffekten som tillförs mellan pump och turbin.
När får den användas?: Gäller för stationär drift genom pannan, där tryckfallet försummas och inget arbete utförs. FS ekv. 8.4.

Enodas sammanfattning

Turbinens arbete

\varepsilon_T=h_c-h_d

Vad gör formeln?: Turbinarbetet som entalpifallet över turbinen.
När får den användas?: Gäller för en turbin i stationär drift, med försumbara ändringar i rörelse- och lägesenergi. FS ekv. 8.6.

Enodas sammanfattning

Verklig utloppsentalpi ur turbinen

h_d=h_c-\eta_T(h_c-h_{d,is})

Vad gör formeln?: Turbinens verkliga utloppsentalpi ur den isentropa och .
När får den användas?: Den isentropa utloppsentalpin bestäms genom att hålls konstant genom expansionen, ofta med i . FS ekv. 8.8.

Enodas sammanfattning

Ångkraftprocessens

\eta_t=1-\frac{h_d-h_a}{h_c-h_b}

Vad gör formeln?: Rankinecykelns ur fyra entalpier.
När får den användas?: Gäller för med de fyra hörnpunkterna a till d. Försummas pumparbetet sätts efter pumpen lika med den före. FS ekv. 8.9.

Enodas sammanfattning

Kylprocesser, värmepumpar och strömning

Förångarens kyleffekt

\dot Q_2=\dot m(h_d-h_a)

Vad gör formeln?: Kyleffekten som entalpiökningen genom .
När får den användas?: Gäller för stationär drift. Eftersom är är före lika med den efter . FS ekv. 9.1.

Enodas sammanfattning

Verklig utloppsentalpi ur kompressorn

h_c=h_d+\frac{h_{c,is}-h_d}{\eta_K}

Vad gör formeln?: Kompressorns verkliga utloppsentalpi ur den isentropa och .
När får den användas?: Den isentropa utloppsentalpin bestäms genom att hålls konstant upp till kondensortrycket. står i nämnaren. FS ekv. 9.2.

Enodas sammanfattning

Kondensorns bortförda värme

|\dot Q_1|=\dot m(h_c-h_b)

Vad gör formeln?: Värmeeffekten som avges i .
När får den användas?: Gäller för stationär drift genom . Är kondensatet underkylt ligger utloppspunkten under mättnadstemperaturen. FS ekv. 9.3.

Enodas sammanfattning

Kylcykelns

COP_1=\frac{h_c-h_b}{h_c-h_d}

Vad gör formeln?: skriven direkt med cykelns entalpier.
När får den användas?: Gäller för en kompressordriven med de fyra punkterna a till d. fås genom att täljaren byts mot förångarens entalpiökning. FS ekv. 9.6.

Enodas sammanfattning

Underkylning efter

t_b=t_1-\Delta t_{sc}

Vad gör formeln?: Bestämmer kondensorns utloppstemperatur.
När får den användas?: Underkylningen räknas från kondenseringstemperaturen, som är mättnadstemperaturen vid kondensortrycket. FS ekv. 9.8.

Enodas sammanfattning

Överhettning efter

t_d=t_2+\Delta t_{sh}

Vad gör formeln?: Bestämmer förångarens utloppstemperatur.
När får den användas?: Överhettningen räknas från förångningstemperaturen, som är mättnadstemperaturen vid förångartrycket. FS ekv. 9.9.

Enodas sammanfattning

Kontinuitetsekvationen

\dot V=wA,\qquad \dot m=\varrho wA

Vad gör formeln?: Binder samman hastighet, area och flöde.
När får den användas?: Gäller för stationär strömning. För ett cirkulärt rör är arean pi gånger diametern i kvadrat delat med fyra. FS ekv. 10.3.

Enodas sammanfattning

med förluster

\frac{p_1}{\varrho}+\frac{w_1^{2}}{2}+gz_1+|\varepsilon_P|=\frac{p_2}{\varrho}+\frac{w_2^{2}}{2}+gz_2+\frac{\Delta p_f}{\varrho}

Vad gör formeln?: Energibalansen längs en strömlinje, med pump och friktionsförluster.
När får den användas?: Gäller för stationär strömning av ett inkompressibelt medium. Pumptermen utgår när ingen pump finns i systemet. FS ekv. 10.4.

Enodas sammanfattning

Friktionsförlust i rör

\frac{\Delta p_f}{\varrho}=w^{2}f_1\frac{L}{d}

Vad gör formeln?: Tryckförlusten längs ett rakt rör.
När får den användas?: Gäller för strömning i ett rakt rör med konstant diameter. Friktionsfaktorn beror på och rörets råhet. FS ekv. 10.6.

Enodas sammanfattning

Förluster med engångsmotstånd

\frac{\Delta p_f}{\varrho}=w^{2}\left(f_1\frac{L}{d}+\frac{\sum\zeta}{2}\right)

Vad gör formeln?: Den samlade förlusten av rörfriktion och lokala motstånd.
När får den användas?: Engångsmotstånden avser ventiler, böjar, inlopp och utlopp och hämtas ur tabell. Summan gäller för den hastighet termen räknas med. FS ekv. 10.8.

Enodas sammanfattning

Re=\frac{wd}{\nu}

Vad gör formeln?: Avgör om strömningen är eller .
När får den användas?: Den kinematiska viskositeten är starkt temperaturberoende och hämtas ur tabell. Gränsen mellan och ligger kring 2300 för rörströmning. FS ekv. 10.9.

Enodas sammanfattning

Friktionsfaktor vid

f_1=0{,}158\,Re^{-0{,}25}

Vad gör formeln?: Friktionsfaktorn ur för rörströmning.
När får den användas?: Empiriskt samband för i hydrauliskt släta rör. För gäller ett annat och enklare uttryck. FS ekv. 10.12.

Enodas sammanfattning

Ljudhastighet i en gas

a=\sqrt{\kappa\frac{R_M}{M}T}

Vad gör formeln?: Ljudhastigheten som gräns för när strömningen blir kritisk.
När får den användas?: Gäller för . Temperaturen ska vara absolut och är den lokala temperaturen i den punkt hastigheten avser. FS ekv. 10.16.

Enodas sammanfattning

Hastighet ur ett munstycke

w=\sqrt{2\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{R_M}{M}T_0\left(1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}\right)}

Vad gör formeln?: Utströmningshastigheten vid expansion genom ett munstycke.
När får den användas?: Gäller för expansion från vilotillståndet med index noll. Uttrycket gäller bara så länge strömningen inte är kritisk. FS ekv. 10.19.

Enodas sammanfattning

Massflöde vid

\dot m=A_{\min}\psi^{*}\frac{p_0}{\sqrt{\dfrac{R_M}{M}T_0}},\qquad \psi^{*}=\sqrt{\kappa\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{(\kappa+1)/(\kappa-1)}}

Vad gör formeln?: Det största massflöde ett munstycke kan släppa igenom.
När får den användas?: Gäller när strömningen är kritisk, alltså när tryckkvoten över munstycket underskrider det kritiska värdet. Massflödet är då oberoende av mottrycket. FS ekv. 10.24.

Enodas sammanfattning

Värmeöverföring och fuktig luft

Konvektiv värmeöverföring

\dot Q=\alpha A(t_{\text{yta}}-t_{\text{medium}})

Vad gör formeln?: Värmeflödet mellan en yta och ett strömmande medium.
När får den användas?: beror på strömningsförhållandena och hämtas ur tabell eller ur uppgiften. Temperaturskillnaden får anges i Celsius. FS ekv. 11.2.

Enodas sammanfattning

Värmegenomgång genom en vägg

\dot Q=kA(t_i-t_u)

Vad gör formeln?: Värmeflödet genom en sammansatt vägg.
När får den användas?: Gäller för stationär genom en plan vägg. samlar alla motstånd från inne- till uteluft. FS ekv. 11.32.

Enodas sammanfattning

k=\frac{1}{\dfrac{1}{\alpha_i}+\sum\dfrac{\delta}{\lambda}+\dfrac{1}{\alpha_u}}

Vad gör formeln?: Samlar väggens alla värmemotstånd till en koefficient.
När får den användas?: Gäller för en plan vägg med skikt i serie. Varje skikt bidrar med sin tjocklek delad med sitt . FS ekv. 11.33.

Enodas sammanfattning

Värmeväxlarens energibalans

\dot Q=\dot m c_p(t_{\text{in}}-t_{\text{ut}})

Vad gör formeln?: Värmeeffekten på en sida av en värmeväxlare.
När får den användas?: Gäller för vardera mediet i en värmeväxlare vid stationär drift. Det värme det ena mediet avger är lika med det andra tar upp, om växlaren är isolerad mot omgivningen. FS ekv. 11.20.

Enodas sammanfattning

\varphi=\frac{p_v}{p''_v}

Vad gör formeln?: Ångans jämfört med mättnadstrycket vid samma temperatur.
När får den användas?: Mättnadstrycket avser luftens temperatur. ett betyder mättad luft, och då sammanfaller temperaturen med . FS ekv. 12.1.

Enodas sammanfattning

Mättnadstryck för vattenånga

p''_v=\exp\!\left(12{,}03-\frac{4025}{235+t}\right)

Vad gör formeln?: Mättnadstrycket för vattenånga som funktion av temperaturen.
När får den användas?: Temperaturen sätts in i grader Celsius och resultatet blir trycket i bar. Sambandet är en anpassning och gäller i kursens temperaturområde. FS ekv. 12.2.

Enodas sammanfattning

Avdunstningens värmeflöde

\dot Q_d=\dot m_d\,r

Vad gör formeln?: Värmeflödet som går åt till att förånga vatten från en yta.
När får den användas?: avser den aktuella temperaturen och hämtas ur . Vid termisk jämvikt balanseras avdunstningen av det värme som tillförs ytan. FS ekv. 12.13.

Enodas sammanfattning

Bäckströms samband