Hoppa till huvudinnehållet
Logga inSkapa konto
1. Ideala gaser och första huvudsatsen

Ideala gaser och första huvudsatsen

, den allmänna gaslagen, gasblandningar och energibalanser för slutna och .

Översikt

Ett tillstånd, två balanser

Modulen vilar på två ben. Det första är tillståndsekvationen pV=mRMMTpV=m\frac{R_M}{M}T, som binder samman tryck, volym och temperatur så att två av dem alltid ger den tredje. Det andra är energibalansen, som kommer i två former beroende på om systemet är slutet eller öppet. Att först avgöra vilken sorts system uppgiften handlar om är det viktigaste steget, eftersom det avgör vilken av de två balanserna som får ställas upp.

Exempel

Räkneexempel: uppvärmning i en sluten cylinder

En cylinder innehåller luft vid 1 bar och 20 grader. Gasen värms vid konstant volym till 200 grader. Massan fås ur den allmänna gaslagen. Eftersom volymen är konstant utförs inget , så hela värmet går till enligt första huvudsatsen: q=u2−u1+εyrq=u_2-u_1+\varepsilon_{yr} Ändringen räknas med vid konstant volym.

Exempel

Räkneexempel: kompressorns tekniska arbete

Luft komprimeras i en isolerad kompressor. Energiekvationen för innehåller fyra termer: q=εt+(h2−h1)+12(w22−w12)+g(z2−z1)q=\varepsilon_t+(h_2-h_1)+\tfrac{1}{2}(w_2^{2}-w_1^{2})+g(z_2-z_1) Tre av dem faller bort: värmet är noll eftersom kompressorn är isolerad, och ändringarna i rörelseenergi och lägesenergi är försumbara. Kvar blir att det är lika med entalpiskillnaden med omvänt tecken.

Fördjupning

Fallgropar

Temperaturen ska vara absolut i gaslagen och i alla kvoter, men får vara i grader Celsius i skillnader som multipliceras med en , eftersom en temperaturskillnad är lika stor i båda skalorna. i formelsamlingen är den universella och måste delas med innan den används per kilogram. För gasblandningar är det lätt att blanda ihop mass- och molandelar; de sammanfaller bara när komponenterna har samma . Och tecknet på arbetet följer kursens konvention: ett arbete som systemet avger räknas positivt i , vilket är varför beloppstecken förekommer så ofta i lösningarna.

Formler i området

Allmänna gaslagen

pV=mRMMT,pv=RT,R=RMMpV=m\frac{R_M}{M}T,\qquad pv=RT,\quad R=\frac{R_M}{M}
Vad gör formeln?
Binder samman tryck, volym, massa och temperatur för en .
När får den användas?
Gäller för , alltså långt från . Temperaturen ska vara absolut. Den universella är R_M = 8314,5 J per kmol och kelvin. FS ekv. 3.1.

Effekt ur massflöde

E˙=m˙ ε,Q˙=m˙ q\dot E=\dot m\,\varepsilon,\qquad \dot Q=\dot m\,q
Vad gör formeln?
Omvandlar en specifik energi per kilogram till en effekt.
När får den användas?
Gäller för stationär strömning, där massflödet är konstant genom kontrollvolymen. Den specifika storheten är per kilogram medium. FS ekv. 1.5.

Energi ur massa

E=m ε,Q=m qE=m\,\varepsilon,\qquad Q=m\,q
Vad gör formeln?
Omvandlar en specifik energi till en total energimängd.
När får den användas?
Gäller för ett med bestämd massa. Storheter utan index är extensiva och de med små bokstäver specifika. FS ekv. 1.4.

Första huvudsatsen för

q=u2−u1+εyr,Q=U2−U1+Eyrq=u_2-u_1+\varepsilon_{yr},\qquad Q=U_2-U_1+E_{yr}
Vad gör formeln?
Tillfört värme går till och .
När får den användas?
Gäller för ett , alltså utan massflöde över gränsen. De två formerna är samma lag skriven specifikt respektive totalt. FS ekv. 2.5 och 2.7.

Energiekvationen för

q=εt+(h2−h1)+12(w22−w12)+g(z2−z1)q=\varepsilon_t+(h_2-h_1)+\tfrac{1}{2}(w_2^{2}-w_1^{2})+g(z_2-z_1)
Vad gör formeln?
Energibalansen för ett genomströmmat system, med .
När får den användas?
Gäller för stationär strömning genom en . I de flesta uppgifter är ändringarna i rörelse- och lägesenergi försumbara. FS ekv. 2.11.

εyr=∫v1v2p dv,Eyr=∫V1V2p dV\varepsilon_{yr}=\int_{v_1}^{v_2} p\,dv,\qquad E_{yr}=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV
Vad gör formeln?
Arbetet ett utför när dess volym ändras.
När får den användas?
Gäller för en i ett . Sambandet mellan tryck och volym under processen måste vara känt för att integralen ska gå att beräkna. FS ekv. 2.1.

,

εt=−∫p1p2v dp+12(w12−w22)+g(z1−z2)\varepsilon_t=-\int_{p_1}^{p_2} v\,dp+\tfrac{1}{2}(w_1^{2}-w_2^{2})+g(z_1-z_2)
Vad gör formeln?
Det uttryckt som en tryckintegral.
När får den användas?
Gäller för en i ett . Minustecknet framför integralen gör att en tryckhöjning kräver tillfört arbete. FS ekv. 2.13.

i en gasblandning

ξi=mi∑jmj\xi_i=\frac{m_i}{\sum_j m_j}
Vad gör formeln?
Komponentens andel av blandningens totala massa.
När får den användas?
Summan av alla massandelar är ett. Andelen är dimensionslös och anges ofta i procent. FS ekv. 3.3.

och

ψi=pip,Vi=ψiV\psi_i=\frac{p_i}{p},\qquad V_i=\psi_i V
Vad gör formeln?
är både tryckandel och för ideala gaser.
När får den användas?
Gäller för en blandning av ideala gaser. sammanfaller med volymandelen, vilket är en följd av att alla komponenter har samma temperatur och volym. FS ekv. 3.9.

Omräkning mellan mol- och

ξi=ψiMiMm,ψi=ξiMmMi\xi_i=\psi_i\frac{M_i}{M_m},\qquad \psi_i=\xi_i\frac{M_m}{M_i}
Vad gör formeln?
Översätter mellan andel per kmol och andel per kilogram.
När får den användas?
M_m är blandningens . De två andelarna sammanfaller bara när komponenterna har samma . FS ekv. 3.10.

Gasblandningens

Mm=∑iψiMi=1∑iξi/MiM_m=\sum_i \psi_i M_i=\frac{1}{\sum_i \xi_i/M_i}
Vad gör formeln?
Blandningens ur komponenternas andelar.
När får den användas?
Den första formen utgår från molandelar, den andra från massandelar. Båda ger samma för samma blandning. FS ekv. 3.5.

för

u2−u1=cv(T2−T1)u_2-u_1=c_v(T_2-T_1)
Vad gör formeln?
Ändringen i ur temperaturskillnaden.
När får den användas?
Gäller för med konstant . beror bara på temperaturen, inte på trycket eller volymen. FS ekv. 3.13.

för

h2−h1=cp(T2−T1)h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)
Vad gör formeln?
Ändringen i ur temperaturskillnaden.
När får den användas?
Gäller för med konstant . Även beror bara på temperaturen för en . FS ekv. 3.14.

vid konstant tryck

cp=κRκ−1=κRMM(κ−1)c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1}=\frac{\kappa R_M}{M(\kappa-1)}
Vad gör formeln?
Uttrycker vid konstant tryck genom .
När får den användas?
Gäller för . är kvoten mellan de två värmekapaciteterna och är 1,4 för tvåatomiga gaser som luft. FS ekv. 3.19.

vid konstant volym

cv=Rκ−1=RMM(κ−1)c_v=\frac{R}{\kappa-1}=\frac{R_M}{M(\kappa-1)}
Vad gör formeln?
Uttrycker vid konstant volym genom .
När får den användas?
Gäller för . Skillnaden mot vid konstant tryck är exakt den . FS ekv. 3.20.

Kan du använda ideala gaser och första huvudsatsen?

Lös en riktig tentauppgift från MJ1112 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift