Rotation i rummet: sammansatt vinkelhastighet och vinkelacceleration

En kropp som snurrar kring en axel som själv vrids beskrivs med tre system: det fixa $S_0$, ett mellansystem $S_1$ som bär axeln och ett kroppsfast system $S_2$. Med $\boldsymbol\omega_{i,j}$ för vinkelhastigheten hos $S_i$ relativt $S_j$ gäller

$$\boldsymbol\omega_{2,0} = \boldsymbol\omega_{2,1} + \boldsymbol\omega_{1,0}$$

Här är $\boldsymbol\omega_{1,0}$ mellansystemets vinkelhastighet i det fixa rummet och $\boldsymbol\omega_{2,1}$ den vinkelhastighet som en observatör i $S_1$ ser hos kroppen. Summan är en vanlig vektorsumma, så båda termerna uttrycks i samma bas innan komponenterna läggs ihop. Enklast är oftast mellansystemets bas $\mathbf e_{x'}$, $\mathbf e_{y'}$, $\mathbf e_{z'}$, där båda rotationsaxlarna har fasta riktningar. Kroppens vinkelhastighet $\boldsymbol\omega_{2,0}$ pekar i allmänhet inte längs någon av de två axlarna.

Vinkelaccelerationen är derivatan av vinkelhastigheten i det fixa systemet. Termen $\boldsymbol\omega_{1,0}$ deriveras direkt till $\boldsymbol\alpha_{1,0}$. Termen $\boldsymbol\omega_{2,1}$ beskrivs däremot i det roterande $S_1$, och transportteoremet ger dess derivata i $S_0$ som derivatan i $S_1$ plus $\boldsymbol\omega_{1,0}\times\boldsymbol\omega_{2,1}$. Derivatan i $S_1$ är $\boldsymbol\alpha_{2,1}$, så

$$\boldsymbol\alpha_{2,0} = \boldsymbol\alpha_{2,1} + \boldsymbol\alpha_{1,0} + \boldsymbol\omega_{1,0}\times\boldsymbol\omega_{2,1}$$

Krysstermen beskriver att den relativa rotationsaxeln följer med mellansystemet och byter riktning. Ordningen är bestämd: det bärande systemets vinkelhastighet står först. Här är $\boldsymbol\alpha_{2,1}$ den ändring av spinnet som en observatör i $S_1$ ser, och den är noll när kroppen snurrar jämnt relativt sin axel.

När båda delrotationerna har konstant belopp och mellansystemets axel är fix är $\boldsymbol\alpha_{2,1} = \boldsymbol\alpha_{1,0} = \mathbf 0$, och kvar blir

$$\boldsymbol\alpha_{2,0} = \boldsymbol\omega_{1,0}\times\boldsymbol\omega_{2,1}$$

Vinkelaccelerationen är vinkelrät mot båda axlarna och har beloppet $\omega_{1,0}\,\omega_{2,1}\sin\varphi$, där $\varphi$ är vinkeln mellan dem. Den är noll bara när axlarna är parallella. Vektorn $\boldsymbol\omega_{2,0}$ har konstant längd men sveper runt mellansystemets axel, och vinkelaccelerationen är hastigheten hos dess spets. I den fixa basen vrids därför också $\boldsymbol\alpha_{2,0}$ med tiden: efter ett kvarts varv hos $S_1$ pekar den längs en annan fix axel än från början, fast uttrycket i mellansystemets bas är oförändrat.

För två punkter $A$ och $B$ i en stel kropp gäller i rummet

$$\mathbf v_B = \mathbf v_A + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB},\qquad \mathbf a_B = \mathbf a_A + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{AB} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{AB})$$

med $\boldsymbol\omega = \boldsymbol\omega_{2,0}$ och $\boldsymbol\alpha = \boldsymbol\alpha_{2,0}$. Förenklingen till $-\omega^2\mathbf r_{AB}$ från ämnet om plan rörelse gäller bara när $\mathbf r_{AB}$ är vinkelrät mot $\boldsymbol\omega$, så i rummet räknas den dubbla kryssprodukten ut. Har kroppen en fix punkt $O$ är $\mathbf v_B = \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OB}$, och alla punkter på linjen genom $O$ längs $\boldsymbol\omega$ har hastigheten noll. Den linjen är den momentana rotationsaxeln.

Ett hjul som rullar runt i en cirkel har två delrotationer: precessionen $\Omega$ kring den vertikala axeln och spinnet $\omega_s$ kring hjulaxeln. Rörelsen beskrivs bäst i ett halvbundet system, ett Resalsystem, som följer precessionen men inte spinnet. I det systemet har hjulaxeln och kontaktpunkten fasta lägen, och

$$\boldsymbol\omega = \Omega\,\mathbf e_Z + \omega_s\,\mathbf e_x$$

där $\mathbf e_Z$ är vertikal och $\mathbf e_x$ pekar längs hjulaxeln. Spinnet är inte fritt. Rullning utan glidning kräver att kontaktpunkten $C$ har hastigheten noll:

$$\mathbf v_C = \mathbf v_G + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{GC} = \mathbf 0$$

Med $\mathbf v_G$ given av precessionen och centrums banradie är detta en ekvation för $\omega_s$. Eftersom spinnvektorn följer Resalsystemet är hjulets vinkelacceleration $\Omega\,\mathbf e_Z\times\omega_s\,\mathbf e_x$ när farten är konstant.

En horisontell arm vrids kring den vertikala $z$-axeln med konstant $\omega_1 = 2{,}0\ \mathrm{rad/s}$. Längst ut på armen, $0{,}50\ \mathrm{m}$ från axeln, sitter en skiva med radien $0{,}10\ \mathrm{m}$ som snurrar kring armens längdriktning $\mathbf e_{x'}$ med konstant $\omega_2 = 15\ \mathrm{rad/s}$ relativt armen. Armen är $S_1$ och skivan $S_2$, så

$$\boldsymbol\omega_{2,0} = (15\,\mathbf e_{x'} + 2{,}0\,\mathbf e_{z'})\ \mathrm{rad/s},\qquad \boldsymbol\alpha_{2,0} = 2{,}0\,\mathbf e_{z'}\times 15\,\mathbf e_{x'} = 30\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{rad/s^2}$$

Vinkelhastigheten har beloppet $15{,}1\ \mathrm{rad/s}$ och lutar $7{,}6^\circ$ uppåt från armen.

Skivans centrum $A$ har $\mathbf v_A = 1{,}0\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{m/s}$ och $\mathbf a_A = -2{,}0\,\mathbf e_{x'}\ \mathrm{m/s^2}$. För skivans högsta punkt $P$, med $\mathbf r_{AP} = 0{,}10\,\mathbf e_{z'}\ \mathrm{m}$, ger sambandsformlerna

$$\mathbf v_P = (1{,}0 - 1{,}5)\,\mathbf e_{y'} = -0{,}50\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{m/s}$$

$$\mathbf a_P = -2{,}0\,\mathbf e_{x'} + 3{,}0\,\mathbf e_{x'} + (3{,}0\,\mathbf e_{x'} - 22{,}5\,\mathbf e_{z'}) = (4{,}0\,\mathbf e_{x'} - 22{,}5\,\mathbf e_{z'})\ \mathrm{m/s^2}$$

Vinkelaccelerationen bidrar med $3{,}0\ \mathrm{m/s^2}$ längs armen. Samma resultat fås med armen som rörligt system: systempunktsaccelerationen $-2{,}0\,\mathbf e_{x'}$, coriolisaccelerationen $6{,}0\,\mathbf e_{x'}$ och den relativa accelerationen $-22{,}5\,\mathbf e_{z'}$.

Från punkten $O$ på en fix vertikal stolpe går en horisontell axel med längden $0{,}60\ \mathrm{m}$ ut till centrum $G$ av ett hjul med radien $0{,}20\ \mathrm{m}$. Axeln vrids kring stolpen med $\Omega = 1{,}5\ \mathrm{rad/s}$ och hjulet rullar utan glidning på golvet. I Resalsystemet pekar $\mathbf e_x$ från $O$ mot $G$ och $\mathbf e_z$ uppåt.

Hjulets centrum har $\mathbf v_G = \Omega\,\mathbf e_z\times 0{,}60\,\mathbf e_x = 0{,}90\,\mathbf e_y\ \mathrm{m/s}$. Kontaktpunkten ligger i $\mathbf r_{GC} = -0{,}20\,\mathbf e_z\ \mathrm{m}$, och rullvillkoret ger

$$\mathbf v_C = 0{,}90\,\mathbf e_y + (\Omega\,\mathbf e_z + \omega_s\,\mathbf e_x)\times(-0{,}20\,\mathbf e_z) = (0{,}90 + 0{,}20\,\omega_s)\,\mathbf e_y = \mathbf 0$$

så att $\omega_s = -4{,}5\ \mathrm{rad/s}$ och

$$\boldsymbol\omega = (-4{,}5\,\mathbf e_x + 1{,}5\,\mathbf e_z)\ \mathrm{rad/s},\qquad \boldsymbol\alpha = 1{,}5\,\mathbf e_z\times(-4{,}5\,\mathbf e_x) = -6{,}8\,\mathbf e_y\ \mathrm{rad/s^2}$$

Spinnet är tre gånger precessionen, lika med kvoten mellan axelns längd och hjulets radie. Vinkelhastigheten är parallell med linjen från $O$ till $C$, som den ska: både den fixa punkten och kontaktpunkten har hastigheten noll och ligger därför på den momentana rotationsaxeln.

Det vanligaste felet är att sätta $\boldsymbol\alpha_{2,0} = \boldsymbol\alpha_{2,1} + \boldsymbol\alpha_{1,0}$ och dra slutsatsen att vinkelaccelerationen är noll när båda varvtalen är konstanta. Alternativet $\boldsymbol\alpha_{2,0} = \mathbf 0$ finns med i nästan varje sådan uppgift och är fel så snart axlarna inte är parallella. Nästa fel är ordningen i krysstermen: $\boldsymbol\omega_{2,1}\times\boldsymbol\omega_{1,0}$ ger rätt belopp men motsatt riktning. Tecknet beror också på åt vilket håll spinnet är riktat längs sin axel, så skriv ut båda vektorerna med tecken före kryssprodukten.

Håll isär systemen. Vinkelhastigheten $\boldsymbol\omega_{2,1}$ är bara spinnet, inte summan, och $\boldsymbol\alpha_{2,1}$ är derivatan sedd i $S_1$, där axelns enhetsvektor är konstant. En produkt som $\omega_1\omega_0$ har enheten för vinkelacceleration och kan aldrig vara en vinkelhastighet. Uttryck alla komponenter i en och samma bas, och kom ihåg att mellansystemets basvektorer har vridits när ett senare ögonblick efterfrågas. I rullvillkoret är det kontaktpunktens hastighet som är noll, och för ett lutande hjul ligger kontaktpunkten på ett annat avstånd från den vertikala axeln än centrum.