Hastighet och acceleration i roterande system

Ett fixt system med origo $O$ och ett rörligt system med origo $O'$ används samtidigt. Det rörliga systemet förflyttas och roterar med vinkelhastigheten $\boldsymbol\omega$ och vinkelaccelerationen $\boldsymbol\alpha = \dot{\boldsymbol\omega}$. Partikelns läge är

$$\mathbf r = \mathbf r_{O'} + \mathbf r_{\mathrm{rel}}$$

där $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ är läget sett från $O'$. Systempunkten är den punkt i det rörliga systemet som partikeln just nu sammanfaller med. Den rör sig som om partikeln satt fast i systemet.

En observatör som följer med systemet ser basvektorerna $\mathbf e_{x'}$, $\mathbf e_{y'}$ och $\mathbf e_{z'}$ stå stilla och mäter den relativa hastigheten $\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ och den relativa accelerationen $\mathbf a_{\mathrm{rel}}$. Lägg det rörliga systemet fast i den stång, arm eller skiva som partikeln rör sig längs, så blir den relativa rörelsen enkel.

En vektor $\mathbf A$ kan deriveras på två sätt. Derivatan i det rörliga systemet, som kursen skriver med en ring, tar bara med hur komponenterna i den rörliga basen ändras:

$$\mathring{\mathbf A} = \dot{A}_{x'}\mathbf e_{x'} + \dot{A}_{y'}\mathbf e_{y'} + \dot{A}_{z'}\mathbf e_{z'}$$

Derivatan i det fixa systemet, $\dot{\mathbf A}$, tar också med att basvektorerna vrids. Varje basvektor ändras enligt $\dot{\mathbf e}_{x'} = \boldsymbol\omega\times\mathbf e_{x'}$, och det ger transportteoremet:

$$\dot{\mathbf A} = \mathring{\mathbf A} + \boldsymbol\omega\times\mathbf A$$

Det gäller för varje vektor, och $\boldsymbol\omega$ är det rörliga systemets vinkelhastighet. De två derivatorna är lika bara när systemet inte roterar eller när vektorn är parallell med vinkelhastigheten. Den relativa hastigheten och den relativa accelerationen är derivator i det rörliga systemet:

$$\mathbf v_{\mathrm{rel}} = \mathring{\mathbf r}_{\mathrm{rel}}$$

$$\mathbf a_{\mathrm{rel}} = \mathring{\mathbf v}_{\mathrm{rel}}$$

Derivera läget i det fixa systemet och använd transportteoremet på $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$:

$$\mathbf v = \mathbf v_{O'} + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} + \mathbf v_{\mathrm{rel}} = \mathbf v_{\mathrm{sp}} + \mathbf v_{\mathrm{rel}}$$

Systempunktshastigheten är den hastighet partikeln hade haft om den suttit fast i systemet:

$$\mathbf v_{\mathrm{sp}} = \mathbf v_{O'} + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}}$$

Här ingår systemets vinkelhastighet och hela vektorn från $O'$ till partikeln. Den relativa hastigheten fås i stället genom att derivera koordinaterna i $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ med basvektorerna fasta, och innehåller bara det som ändras relativt systemet. Roterar systemet kring en fix axel genom $O'$ är $\mathbf v_{O'} = \mathbf 0$, och systempunkten går i en cirkel kring axeln med farten $\omega\rho$, där $\rho$ är avståndet till axeln.

Derivera hastigheten en gång till i det fixa systemet:

$$\mathbf a = \dot{\mathbf v}_{O'} + \dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\omega\times\dot{\mathbf r}_{\mathrm{rel}} + \dot{\mathbf v}_{\mathrm{rel}}$$

Transportteoremet ger

$$\dot{\mathbf r}_{\mathrm{rel}} = \mathbf v_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}}$$

$$\dot{\mathbf v}_{\mathrm{rel}} = \mathbf a_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}$$

Termen $\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ uppträder alltså två gånger, en gång ur $\boldsymbol\omega\times\dot{\mathbf r}_{\mathrm{rel}}$ och en gång ur $\dot{\mathbf v}_{\mathrm{rel}}$. Tillsammans bildar de coriolisaccelerationen, och accelerationen får tre delar:

$$\mathbf a = \mathbf a_{\mathrm{sp}} + \mathbf a_{\mathrm{cor}} + \mathbf a_{\mathrm{rel}}$$

$$\mathbf a_{\mathrm{sp}} = \mathbf a_{O'} + \boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}})$$

$$\mathbf a_{\mathrm{cor}} = 2\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}$$

Systempunktsaccelerationen är accelerationen hos den punkt i systemet där partikeln befinner sig. Den består av origos acceleration, transversalaccelerationen $\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ och centripetalaccelerationen $\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}})$. Den är inte derivatan av systempunktshastigheten, eftersom partikeln byter systempunkt när den rör sig relativt systemet: $\dot{\mathbf v}_{\mathrm{sp}}$ innehåller dessutom halva coriolisaccelerationen.

Transversalaccelerationen är noll när vinkelaccelerationen är noll eller parallell med $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$. Centripetalaccelerationen beror bara på läget och vinkelhastigheten. Den pekar vinkelrätt in mot rotationsaxeln genom $O'$ och har beloppet $\omega^2\rho$. Ligger $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ i rotationsplanet är den $-\omega^2\mathbf r_{\mathrm{rel}}$, och den är noll bara för en partikel på axeln.

Coriolisaccelerationen är noll när systemet inte roterar, när partikeln står stilla relativt systemet och när $\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ är parallell med $\boldsymbol\omega$, som för en partikel som rör sig längs en stolpe parallell med rotationsaxeln. Den är störst när $\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ är vinkelrät mot $\boldsymbol\omega$. Den relativa accelerationen är noll när partikeln rör sig rätlinjigt med konstant fart relativt systemet. I ett system som bara förflyttas utan att rotera återstår origos acceleration och den relativa accelerationen.

Arbetsgången är densamma i varje uppgift: välj rörligt system, bestäm systemets $\boldsymbol\omega$ och $\boldsymbol\alpha$, skriv $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$, $\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ och $\mathbf a_{\mathrm{rel}}$ som den medföljande observatören ser dem och räkna kryssprodukterna en i taget.

En rak stång roterar i horisontalplanet kring en vertikal axel genom sin ena ände $O$. I ett visst ögonblick är $\omega = 2{,}0\ \mathrm{rad/s}$ och $\alpha = 3{,}0\ \mathrm{rad/s^2}$, båda moturs sett uppifrån. En hylsa är då $0{,}40\ \mathrm{m}$ från $O$ och glider utåt med farten $0{,}50\ \mathrm{m/s}$ och accelerationen $0{,}60\ \mathrm{m/s^2}$ relativt stången.

Lägg systemet fast i stången med origo i $O$, $\mathbf e_{x'}$ längs stången och $\mathbf e_{z'}$ uppåt. I SI-enheter är $\boldsymbol\omega = 2{,}0\,\mathbf e_{z'}$, $\mathbf r_{\mathrm{rel}} = 0{,}40\,\mathbf e_{x'}$, $\mathbf v_{\mathrm{rel}} = 0{,}50\,\mathbf e_{x'}$ och $\mathbf a_{\mathrm{rel}} = 0{,}60\,\mathbf e_{x'}$. Hastigheten blir

$$\mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} + \mathbf v_{\mathrm{rel}} = (0{,}50\,\mathbf e_{x'} + 0{,}80\,\mathbf e_{y'})\ \mathrm{m/s}$$

Transversalaccelerationen, centripetalaccelerationen och coriolisaccelerationen är

$$\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} = 3{,}0\cdot 0{,}40\,\mathbf e_{y'} = 1{,}2\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{m/s^2}$$

$$\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}}) = -2{,}0^2\cdot 0{,}40\,\mathbf e_{x'} = -1{,}6\,\mathbf e_{x'}\ \mathrm{m/s^2}$$

$$\mathbf a_{\mathrm{cor}} = 2\cdot 2{,}0\cdot 0{,}50\,\mathbf e_{y'} = 2{,}0\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{m/s^2}$$

Med den relativa accelerationen blir summan

$$\mathbf a = (-1{,}0\,\mathbf e_{x'} + 3{,}2\,\mathbf e_{y'})\ \mathrm{m/s^2}$$

med beloppet $3{,}4\ \mathrm{m/s^2}$. Polära koordinater ger samma komponenter, $\ddot\rho - \rho\omega^2$ radiellt och $\rho\alpha + 2\dot\rho\omega$ transversellt. Coriolisaccelerationen är den största delen, trots att hylsan glider långsamt.

En arm $OA$ med längden $0{,}60\ \mathrm{m}$ roterar i ett horisontalplan kring $O$ med konstant vinkelhastighet $3{,}0\ \mathrm{rad/s}$. I $A$ sitter en skiva med radien $0{,}20\ \mathrm{m}$ som roterar relativt armen med konstant vinkelhastighet $5{,}0\ \mathrm{rad/s}$. Båda rotationerna är moturs sett uppifrån. Punkten $P$ på skivans rand ligger just nu så att $AP$ är vinkelrät mot armen.

Lägg systemet fast i armen med origo i $O$, $\mathbf e_{x'}$ längs $OA$, $\mathbf e_{y'}$ längs $AP$ och $\mathbf e_{z'}$ uppåt. Då är $\mathbf r_{\mathrm{rel}} = 0{,}60\,\mathbf e_{x'} + 0{,}20\,\mathbf e_{y'}$. Relativt armen går $P$ i en cirkel kring $A$:

$$\mathbf v_{\mathrm{rel}} = 5{,}0\,\mathbf e_{z'}\times 0{,}20\,\mathbf e_{y'} = -1{,}0\,\mathbf e_{x'}\ \mathrm{m/s}$$

$$\mathbf a_{\mathrm{rel}} = -5{,}0^2\cdot 0{,}20\,\mathbf e_{y'} = -5{,}0\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{m/s^2}$$

Systempunkten går i en cirkel kring $O$ med radien $OP$, och i coriolisaccelerationen ingår armens vinkelhastighet:

$$\mathbf v_{\mathrm{sp}} = 3{,}0\,\mathbf e_{z'}\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} = (-0{,}60\,\mathbf e_{x'} + 1{,}8\,\mathbf e_{y'})\ \mathrm{m/s}$$

$$\mathbf a_{\mathrm{sp}} = -3{,}0^2\,\mathbf r_{\mathrm{rel}} = (-5{,}4\,\mathbf e_{x'} - 1{,}8\,\mathbf e_{y'})\ \mathrm{m/s^2}$$

$$\mathbf a_{\mathrm{cor}} = 2\cdot 3{,}0\,\mathbf e_{z'}\times(-1{,}0\,\mathbf e_{x'}) = -6{,}0\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{m/s^2}$$

Hastigheten är summan $(-1{,}6\,\mathbf e_{x'} + 1{,}8\,\mathbf e_{y'})\ \mathrm{m/s}$, och accelerationens tre delar ger

$$\mathbf a = (-5{,}4\,\mathbf e_{x'} - 12{,}8\,\mathbf e_{y'})\ \mathrm{m/s^2}$$

Resultatet kan kontrolleras utan rörligt system. Skivans absoluta vinkelhastighet är $8{,}0\ \mathrm{rad/s}$, så $P$ har accelerationen $8{,}0^2\cdot 0{,}20 = 12{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ in mot $A$ relativt $A$, och $A$ har $5{,}4\ \mathrm{m/s^2}$ in mot $O$. Coriolisaccelerationen svarar mot dubbla produkten när summan av vinkelhastigheterna kvadreras.

I coriolisaccelerationen ingår det rörliga systemets vinkelhastighet och partikelns relativa hastighet. Den absoluta hastigheten, en skivas vinkelhastighet relativt systemet eller armens längd hör inte hemma där. Ordningen är $\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}$; omkastad ordning byter tecken. I transportteoremet står plus framför $\boldsymbol\omega\times\mathbf A$.

Coriolisaccelerationen är noll när den relativa hastigheten är parallell med vinkelhastigheten, inte när de är vinkelräta, och den försvinner inte för att vinkelhastigheten är konstant. Centripetalaccelerationen beror på läget och inte på den relativa hastigheten. Konstant relativ fart längs en rak stång tar bort den relativa accelerationen men lämnar coriolisaccelerationen kvar.

Den relativa hastigheten är ringderivatan av $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$, inte punktderivatan, och komponenterna ska höra till den rörliga basen. Systempunktshastigheten räknas med hela $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ från $O'$, medan den relativa hastigheten bara innehåller det som ändras relativt systemet. En acceleration skriven som $\mathbf a_{\mathrm{sp}} + \mathbf a_{\mathrm{rel}}$ saknar coriolisaccelerationen.