Fiktiva krafter och relativt arbete

I ett fixt system gäller $m\mathbf a = \mathbf F$, där $\mathbf F$ är summan av de verkliga krafterna på partikeln. Ämnet Hastighet och acceleration i roterande system delar accelerationen i tre delar, $\mathbf a = \mathbf a_{\mathrm{sp}} + \mathbf a_{\mathrm{cor}} + \mathbf a_{\mathrm{rel}}$. Flyttas de två första till högerledet blir kraftekvationen i det rörliga systemet

$$m\mathbf a_{\mathrm{rel}} = \mathbf F + \mathbf F_{\mathrm{sp}} + \mathbf F_{\mathrm{cor}}$$

med systempunktskraften och corioliskraften

$$\mathbf F_{\mathrm{sp}} = -m\mathbf a_{\mathrm{sp}}$$

$$\mathbf F_{\mathrm{cor}} = -m\mathbf a_{\mathrm{cor}} = -2m\boldsymbol\omega\times\mathbf v_{\mathrm{rel}}$$

Minustecknen ligger i definitionerna, så de fiktiva krafterna adderas till de verkliga. Vänsterledet $m\mathbf a_{\mathrm{rel}}$ kallas också $\mathbf F_{\mathrm{rel}}$. Med de fiktiva krafterna på plats räknar observatören i det rörliga systemet som om systemet vore fixt.

Systempunktskraften har en del för varje del av systempunktsaccelerationen:

$$\mathbf F_{\mathrm{sp}} = -m\mathbf a_{O'} - m\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{\mathrm{rel}} - m\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{\mathrm{rel}})$$

Den sista delen är centrifugalkraften. Den är riktad vinkelrätt ut från rotationsaxeln genom $O'$ och har beloppet $m\omega^2\rho$, där $\rho$ är partikelns vinkelräta avstånd till axeln. Den del av $\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ som ligger längs axeln bidrar inte. En partikel på avståndet $r$ från $O'$, i en riktning som bildar vinkeln $\theta$ med axeln, har $\rho = r\sin\theta$.

I ett system som bara förflyttas med accelerationen $\mathbf a_{O'}$ återstår $\mathbf F_{\mathrm{sp}} = -m\mathbf a_{O'}$, den kraft som pressar en passagerare bakåt i en buss som ökar farten. Corioliskraften är vinkelrät mot både $\boldsymbol\omega$ och $\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ och finns bara när partikeln rör sig relativt systemet.

En verklig kraft kommer från en annan kropp och har en motkraft på den kroppen. De fiktiva krafterna kommer ur systemets egen rörelse. De saknar motkraft, och deras storlek beror på vilket system som valts.

Observatören i det fixa systemet frilägger partikeln med enbart verkliga krafter och skriver $m\mathbf a = \mathbf F$. Observatören i det rörliga systemet frilägger samma partikel med verkliga och fiktiva krafter och har $m\mathbf a_{\mathrm{rel}}$ i vänsterledet. Beskrivningarna ger samma rörelse. Välj en av dem och håll fast vid den genom hela lösningen.

En partikel i vila relativt det rörliga systemet har $\mathbf v_{\mathrm{rel}} = \mathbf 0$ och $\mathbf a_{\mathrm{rel}} = \mathbf 0$. Då är corioliskraften noll och kraftekvationen blir

$$\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm{sp}} = \mathbf 0$$

Roterar systemet med konstant vinkelhastighet kring en fix axel är systempunktskraften lika med centrifugalkraften. Frilägg partikeln med tyngdkraft, kontaktkrafter och centrifugalkraft och ställ upp jämvikt som i statiken. Projicera längs en riktning där den obekanta kontaktkraften saknar komponent, så ger en enda ekvation jämviktsläget.

Multiplicera kraftekvationen skalärt med den relativa förflyttningen $d\mathbf r_{\mathrm{rel}} = \mathbf v_{\mathrm{rel}}\,dt$. Vänsterledet blir ändringen av den relativa kinetiska energin $T_{\mathrm{rel}} = \tfrac12mv_{\mathrm{rel}}^2$. Corioliskraften är vinkelrät mot $\mathbf v_{\mathrm{rel}}$ och faller bort, så det relativa arbetet är

$$dU_{\mathrm{rel}} = (\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm{sp}})\cdot d\mathbf r_{\mathrm{rel}}$$

Lagen om kinetiska energin i det rörliga systemet lyder

$$U_{0-1,\mathrm{rel}} = T_{1,\mathrm{rel}} - T_{0,\mathrm{rel}}$$

Förflyttningen är den relativa, inte den absoluta. En normalkraft från en glatt skena som är fast i systemet är vinkelrät mot $d\mathbf r_{\mathrm{rel}}$ och uträttar inget relativt arbete, även om den uträttar arbete i det fixa systemet.

Vid konstant vinkelhastighet kring en fix axel har centrifugalkraften potentialen $-\tfrac12m\omega^2\rho^2$. Dess relativa arbete från avståndet $\rho_0$ till $\rho_1$ är då $\tfrac12m\omega^2(\rho_1^2 - \rho_0^2)$, positivt när partikeln rör sig utåt.

En liten kula glider friktionsfritt på en cirkelformad ring med radien $R = 0{,}25\ \mathrm{m}$. Ringen roterar kring sin vertikala diameter med konstant $\omega = 8{,}0\ \mathrm{rad/s}$. Kulans läge anges med vinkeln $\theta$ mellan radien till kulan och lodlinjen nedåt från ringens centrum. Sökt är den vinkel där kulan är i vila relativt ringen.

I det medroterande systemet verkar tyngdkraften $mg$ nedåt, normalkraften $N$ in mot ringens centrum och centrifugalkraften $m\omega^2R\sin\theta$ horisontellt ut från axeln, eftersom avståndet till axeln är $R\sin\theta$. Jämvikt längs ringens tangent, där normalkraften saknar komponent, ger

$$mg\sin\theta = m\omega^2R\sin\theta\cos\theta$$

Antingen är $\sin\theta = 0$, kulan ligger i ringens lägsta punkt, eller

$$\cos\theta = \frac{g}{\omega^2R} = \frac{9{,}82}{8{,}0^2\cdot 0{,}25} = 0{,}614$$

vilket ger $\theta = 52^\circ$. Horisontell jämvikt ger $N = m\omega^2R$. För en kula på $0{,}050\ \mathrm{kg}$ är det $0{,}80\ \mathrm{N}$, mot tyngden $0{,}49\ \mathrm{N}$. Lösningen kräver $\omega^2R > g$, här $\omega > 6{,}3\ \mathrm{rad/s}$. Vid långsammare rotation finns bara jämvikten i lägsta punkten, och vid mycket snabb rotation närmar sig vinkeln $90^\circ$.

En glatt rak stång roterar i horisontalplanet kring en vertikal axel genom $O$ med konstant $\omega = 4{,}0\ \mathrm{rad/s}$. En hylsa med massan $0{,}20\ \mathrm{kg}$ släpps i vila relativt stången $0{,}30\ \mathrm{m}$ från $O$. Sökt är hylsans relativa fart och kraften från stången när hylsan är $0{,}50\ \mathrm{m}$ från $O$.

I stångens system är tyngdkraften och normalkraften vinkelräta mot stången, så bara centrifugalkraften uträttar relativt arbete:

$$\tfrac12mv_{\mathrm{rel}}^2 = \tfrac12m\omega^2(\rho_1^2 - \rho_0^2)$$

$$v_{\mathrm{rel}} = 4{,}0\sqrt{0{,}50^2 - 0{,}30^2} = 1{,}6\ \mathrm{m/s}$$

Med $\mathbf e_{x'}$ utåt längs stången och $\mathbf e_{z'}$ uppåt är corioliskraften

$$\mathbf F_{\mathrm{cor}} = -2\cdot 0{,}20\cdot 4{,}0\,\mathbf e_{z'}\times 1{,}6\,\mathbf e_{x'} = -2{,}6\,\mathbf e_{y'}\ \mathrm{N}$$

Hylsan har ingen relativ acceleration tvärs stången, så stången trycker på hylsan med $2{,}6\ \mathrm{N}$ i rotationsriktningen. Den vertikala normalkraften bär tyngden $2{,}0\ \mathrm{N}$.

I det fixa systemet finns inga fiktiva krafter. Där ökar hylsans kinetiska energi från $0{,}14\ \mathrm{J}$ till $0{,}66\ \mathrm{J}$, och hela ökningen på $0{,}51\ \mathrm{J}$ är arbete av stångens tvärkraft. Samma kraft uträttar inget relativt arbete.

Minustecknen ligger i definitionerna av systempunktskraften och corioliskraften. De fiktiva krafterna ska därför adderas till $\mathbf F$. Skrivs $\mathbf F - \mathbf F_{\mathrm{sp}}$ räknas minustecknet två gånger. Även centrifugalkraften har minustecken framför den dubbla kryssprodukten, och i beloppet ingår avståndet till rotationsaxeln, inte avståndet till origo.

Vänsterledet i det rörliga systemet är $m\mathbf a_{\mathrm{rel}}$. En ekvation med den absoluta accelerationen till vänster och fiktiva krafter till höger blandar två beskrivningar.

I det relativa arbetet ingår de verkliga krafterna och systempunktskraften, multiplicerade med $d\mathbf r_{\mathrm{rel}}$. Fel blir det när corioliskraften tas med, när de verkliga krafterna eller systempunktskraften glöms och när den absoluta förflyttningen $d\mathbf r$ används.

Vid relativ jämvikt på en roterande båge avgör geometrin om svaret innehåller sinus, cosinus eller tangens. Ställ upp jämvikten i stället för att känna igen ett uttryck, och stryk inte en gemensam faktor utan att notera den lösning den ger.