Ljudstrålning från vibrerande ytor

En vägg, ett tak eller en maskinkåpa som vibrerar sätter luften intill i rörelse och sänder ut ljud. Ljudeffekten vid en frekvens eller i ett band är, formel (8-41):

$$\bar W = s\,\rho_0 c\,\langle\tilde v^{2}\rangle\,S$$

Här är $\langle\tilde v^{2}\rangle$ vibrationshastighetens effektivvärde i kvadrat, medelvärdesbildat över ytan, och $S$ den strålande arean. Hastigheten avser rörelsen vinkelrätt mot ytan.

Strålningsfaktorn $s$ anger hur effektivt ytan omsätter sin rörelse till ljud. Kursen skriver $s$ och säger strålningsfaktor; i annan litteratur heter samma storhet avstrålningsfaktor och skrivs ofta σ. En stor kolv som rör sig i takt över hela sin yta har strålningsfaktorn ett. En böjsvängande platta kan ha både mycket mindre och något mer, beroende på frekvensen.

Vibrationen anges ofta som en hastighetsnivå, formel (1-28), med referensvärdet $1{,}0\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m/s}$. Ur nivån fås $\langle\tilde v^{2}\rangle = v_{\text{ref}}^{2}\cdot 10^{L_v/10}$.

I en platta går böjvågorna långsamt vid låga frekvenser och fortare vid höga. Vid koincidensfrekvensen är böjvågens hastighet lika med ljudhastigheten i luften. För en platta med ytvikten $m'' = \rho h$ och böjstyvheten $D_p$ är den, formel (8-52):

$$f_c = \frac{c^{2}}{2\pi}\sqrt{\frac{m''}{D_p}}$$

Böjstyvheten är $D_p = Eh^{3}/(12(1-\nu^{2}))$, formel (6-58). Koincidensfrekvensen är omvänt proportionell mot tjockleken: dubbelt så tjock platta har halva koincidensfrekvensen.

Under koincidensfrekvensen är böjvågorna kortare än ljudvågorna i luften. Intilliggande delar av plattan rör sig i motfas och luften hinner flytta sig mellan dem, så utstrålningen blir svag. Över koincidensfrekvensen passar vågorna ihop och plattan strålar effektivt. För en mycket stor platta ger formel (8-55):

$$s = \mathrm{Re}\left(\frac{1}{\sqrt{1 - f_c/f}}\right)$$

Under koincidensfrekvensen är uttrycket under rottecknet negativt och realdelen noll. Strax över är strålningsfaktorn stor, och långt över går den mot ett. Verkliga, ändliga plattor strålar något även under koincidensfrekvensen, från kanter och infästningar.

Strålar ytan in i ett rum bestäms ljudtrycksnivån av den utsända effekten och rummets absorption. I efterklangsfältet gäller den statistiska rumsakustikens samband:

$$L_p = L_W + 10\log\frac{4}{A}$$

Kedjan från vibration till ljud blir då: hastighetsnivå eller avläst hastighet ger $\langle\tilde v^{2}\rangle$, strålningsfaktorn och arean ger ljudeffekten och ljudeffektnivån, och rumsformeln ger ljudtrycksnivån. Allt görs band för band, och därefter A-vägs och summeras banden om en A-vägd nivå efterfrågas.

Kedjan visar också var en åtgärd kan sättas in. Vibrationen kan minskas vid källan med vibrationsisolering. Ytan kan göras mindre eller styvas upp så att koincidensfrekvensen flyttas. Och rummet kan få mer absorption, vilket sänker efterklangsfältet.

Kedjan går att vända. Mäts ljudtrycksnivån i rummets efterklangsfält och ytans hastighetsnivå samtidigt, fås först den utsända ljudeffekten ur rumsformeln och sedan strålningsfaktorn ur formel (8-41):

$$s = \frac{\bar W}{\rho_0 c\,\langle\tilde v^{2}\rangle\,S}$$

Resultatet är ett tal per frekvensband. Ett värde nära ett betyder att bandet ligger över koincidensfrekvensen. Ett värde långt under ett betyder att plattan strålar dåligt i bandet, och då ger en given vibration lite ljud.

En strålningsfaktor något över ett är fullt möjlig strax över koincidensfrekvensen. Ett värde på tio eller mer är däremot ett tecken på räknefel, oftast ett förväxlat referensvärde eller en hastighet som inte kvadrerats.

En aluminiumplåt är 6,0 mm tjock. Med materialdata ur tabell 6-4 är böjstyvheten:

$$D_p = \frac{7{,}3\cdot 10^{10}\cdot 0{,}0060^{3}}{12\,(1 - 0{,}3^{2})} = 1{,}44\cdot 10^{3}\ \mathrm{Nm}$$

Ytvikten är $m'' = 2800\cdot 0{,}0060 = 16{,}8\ \mathrm{kg/m^{2}}$. Koincidensfrekvensen blir:

$$f_c = \frac{343^{2}}{2\pi}\sqrt{\frac{16{,}8}{1{,}44\cdot 10^{3}}} = 2{,}0\ \mathrm{kHz}$$

Strålningsfaktorn enligt formel (8-55) är noll under 2,0 kHz, 2,28 vid 2,5 kHz, 1,42 vid 4 kHz och 1,16 vid 8 kHz. En 20 mm tjock plåt av samma material har koincidensfrekvensen 0,61 kHz.

Plåten i förra exemplet har arean 2,0 m² och hastighetsnivån 105 dB i oktavbandet 4 kHz, som ytmedelvärde. Hastighetens effektivvärde i kvadrat är:

$$\langle\tilde v^{2}\rangle = (1{,}0\cdot 10^{-9})^{2}\cdot 10^{105/10} = 3{,}16\cdot 10^{-8}\ \mathrm{(m/s)^{2}}$$

Med strålningsfaktorn 1,42 ger formel (8-41):

$$\bar W = 1{,}42\cdot 415\cdot 3{,}16\cdot 10^{-8}\cdot 2{,}0 = 3{,}7\cdot 10^{-5}\ \mathrm{W}$$

Det motsvarar $L_W = 75{,}7\ \mathrm{dB}$. I ett rum med absorptionsarean 20 m²S blir ljudtrycksnivån i efterklangsfältet $75{,}7 + 10\log(4/20) = 68{,}7\ \mathrm{dB}$.

En vibrerande panel med arean 3,0 m² ger ljudtrycksnivån 62 dB i efterklangsfältet i ett rum med absorptionsarean 20 m²S, i ett visst oktavband. Panelens hastighetsnivå i samma band är 98 dB.

Rumsformeln baklänges ger ljudeffektnivån $L_W = 62 - 10\log(4/20) = 69{,}0\ \mathrm{dB}$. Noggrannare, med $\tilde p^{2} = \rho_0 c\,\bar W\cdot 4/A$, blir effekten $7{,}6\cdot 10^{-6}\ \mathrm{W}$. Hastigheten är $\langle\tilde v^{2}\rangle = 10^{-18}\cdot 10^{9{,}8} = 6{,}3\cdot 10^{-9}\ \mathrm{(m/s)^{2}}$, och strålningsfaktorn blir:

$$s = \frac{7{,}6\cdot 10^{-6}}{415\cdot 6{,}3\cdot 10^{-9}\cdot 3{,}0} = 0{,}97$$

Panelen strålar alltså nästan som en kolv i det här bandet, vilket tyder på att bandet ligger över koincidensfrekvensen.

Hastighetsnivån har referensvärdet $1{,}0\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m/s}$, inte ljudtryckets eller kraftens. Ett förväxlat referensvärde ger fel på många tiopotenser.

Formel (8-41) ska ha hastighetens effektivvärde i kvadrat. Den som sätter in effektivvärdet okvadrerat får en ljudeffekt som är tusentals gånger för stor för de små hastigheter det handlar om.

Böjstyvheten har tjockleken i kubik och ytvikten har den i första potens. Räkna i meter.

Strålningsfaktorn i formel (8-55) gäller över koincidensfrekvensen. Under den ger uttrycket ett imaginärt tal, och realdelen är noll. Sätt inte in beloppet.

Använd bandets mittfrekvens när strålningsfaktorn räknas per band, och räkna ut den för varje band för sig.

Ytmedelvärdet $\langle\tilde v^{2}\rangle$ är ett medelvärde av kvadrater. Medelvärdet av flera mätpunkters hastighetsnivåer i decibel är inte samma sak.