Vibrationsisolering

En maskin som står direkt på sitt underlag för över vibrationskrafter till det. Underlaget strålar i sin tur ljud eller leder vibrationerna vidare, så kallat strukturburet ljud. En vibrationsisolator, ett elastiskt mellanlägg, minskar kraften.

Vinsten mäts med insatsisoleringen, formel (9-1b): skillnaden mellan kraftnivån mot underlaget utan och med isolator:

$$D_{IL} = L_{F,\text{utan}} - L_{F,\text{med}}$$

Kraftnivån bildas enligt formel (1-30). Ett positivt värde betyder att kraften minskar. Ett negativt värde betyder att isolatorn förstärker kraften.

Systemet är linjärt, så det ljudtryck underlagets vibrationer ger i ett rum är proportionellt mot kraften. Det strukturburna bidraget till ljudtrycksnivån sjunker därför lika många decibel som kraftnivån:

$$L_{p,\text{med}} = L_{p,\text{utan}} - D_{IL}$$

Det gäller bara det strukturburna bidraget. Luftburet ljud från maskinen och bakgrundsljud påverkas inte, och de läggs till med nivåsummering efteråt.

Det enklaste fallet är en stel maskin med massan $m$ på en masslös fjäder med styvheten $\kappa$, mot ett underlag som inte ger efter. Då gäller formel (9-2):

$$D_{IL} = 10\log\left|1 - \frac{\omega^{2}}{\kappa/m}\right|^{2}$$

Systemets egenfrekvens är $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\kappa/m}$, och uttrycket kan skrivas $D_{IL} = 20\log\left|1 - (f/f_0)^{2}\right|$. Allt beror på kvoten mellan störfrekvensen och egenfrekvensen:

Isolatorn hjälper först över $\sqrt{2}\,f_0$. Under den gränsen förstärks kraften, och vid resonans växer den utan gräns om dämpning saknas. En bra isolering kräver alltså en låg egenfrekvens, det vill säga en mjuk fjäder eller en tung maskin. Står maskinen på flera lika isolatorer är $\kappa$ deras sammanlagda styvhet.

Verkliga isolatorer har förluster. De beskrivs med en komplex styvhet, formel (3-39) i Kapitel 3:

$$\boldsymbol{\kappa} = \kappa\,(1 + i\eta)$$

Här är $\eta$ förlustfaktorn. Den komplexa styvheten sätts in i formel (9-2) i stället för den reella, och beloppet tas av hela uttrycket.

Vid resonans, där $\omega^{2}m = \kappa$, blir uttrycket ändligt:

$$D_{IL} = 10\log\frac{\eta^{2}}{1 + \eta^{2}}$$

Med förlustfaktorn 0,1 är förstärkningen 20 dB, och med 0,3 är den 10,8 dB. Mer dämpning ger alltså en lägre resonanstopp. Långt över resonansen påverkar dämpningen nästan ingenting.

Resonansen går inte att undvika helt. En maskin som varvas upp passerar egenfrekvensen på vägen till sitt driftvarvtal, och dämpningen avgör hur kraftiga vibrationerna blir under passagen.

Formel (9-2) förutsätter ett underlag som inte rör sig. En tunn plåt eller ett lätt bjälklag ger efter, och då behövs den allmänna formen, formel (9-4):

$$D_{IL} = 20\log\left|\frac{Y_M + Y_I + Y_U}{Y_M + Y_U}\right|$$

Mobiliteten $Y$ är kvoten mellan hastighet och kraft i en punkt, i m/(Ns), och är inversen av den mekaniska impedansen. De tre mobiliteterna gäller maskinen, isolatorn och underlaget. Lösningarna hämtar dem ur bokens tabell 6-9:

Plattans böjstyvhet är, formel (6-58), $D_p = Eh^{3}/(12(1-\nu^{2}))$, med tjockleken $h$ och Poissons tal $\nu$. Plattans mobilitet är reell och oberoende av frekvensen.

Mobiliteterna är komplexa och adderas som komplexa tal innan beloppet tas. Isoleringen blir bra när isolatorn är mycket rörligare än både maskinen och underlaget. Går underlagets mobilitet mot noll återfås formel (9-2). Ett mjukt underlag försämrar isoleringen, eftersom isolatorn då inte längre är det mjukaste ledet.

En pump på 40 kg står på ett styvt betonggolv och ger en störkraft vid 25 Hz. Kravet är 20 dB insatsisolering. Över resonansen är uttrycket inom beloppet negativt, så $(f/f_0)^{2} - 1 = 10^{20/20} = 10$. Egenfrekvensen ska alltså vara:

$$f_0 = \frac{f}{\sqrt{11}} = \frac{25}{\sqrt{11}} = 7{,}5\ \mathrm{Hz}$$

Styvheten följer ur egenfrekvensen: $\kappa = m\,(2\pi f_0)^{2} = 40\cdot(2\pi\cdot 7{,}5)^{2} = 9{,}0\cdot 10^{4}\ \mathrm{N/m}$. Står pumpen på fyra isolatorer får var och en ha en fjärdedel av det.

För att isolatorn över huvud taget ska hjälpa måste egenfrekvensen ligga under $25/\sqrt{2} = 17{,}7\ \mathrm{Hz}$, alltså $\kappa < 4{,}9\cdot 10^{5}\ \mathrm{N/m}$. En isolator som är styvare än så förstärker kraften vid 25 Hz.

Isolatorn i förra exemplet har förlustfaktorn 0,10. När pumpen startar passerar varvtalet egenfrekvensen 7,5 Hz, och där är:

$$D_{IL} = 10\log\frac{0{,}10^{2}}{1 + 0{,}10^{2}} = -20{,}0\ \mathrm{dB}$$

Kraften mot golvet blir alltså tio gånger större än utan isolator medan pumpen passerar resonansen. Utan dämpning hade den vuxit obegränsat.

Vid tre gånger egenfrekvensen ger dämpningen nästan ingen skillnad. Med komplex styvhet blir $\left|1 - 9/(1 + i\,0{,}10)\right| = 7{,}96$ och insatsisoleringen 18,0 dB, mot 18,1 dB utan dämpning.

En maskin på 120 kg står på en isolator med styvheten $5{,}0\cdot 10^{5}\ \mathrm{N/m}$ och har en störfrekvens vid 50 Hz. Mot ett styvt golv hade insatsisoleringen blivit $20\log\left|1 - (2\pi\cdot 50)^{2}\cdot 120/(5{,}0\cdot 10^{5})\right| = 27{,}1\ \mathrm{dB}$.

Nu står maskinen mitt på en stor aluminiumplåt som är 10 mm tjock. Böjstyvheten är $D_p = 7{,}3\cdot 10^{10}\cdot 0{,}010^{3}/(12\cdot(1 - 0{,}3^{2})) = 6{,}68\cdot 10^{3}\ \mathrm{Nm}$, och mobiliteterna vid 50 Hz är:

$$Y_M = -i\,2{,}65\cdot 10^{-5} \qquad Y_I = i\,6{,}28\cdot 10^{-4} \qquad Y_U = 2{,}89\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m/(Ns)}$$

Täljaren har beloppet $\left|2{,}89 + i\,6{,}02\right|\cdot 10^{-4} = 6{,}68\cdot 10^{-4}$ och nämnaren $\left|2{,}89 - i\,0{,}27\right|\cdot 10^{-4} = 2{,}90\cdot 10^{-4}$. Insatsisoleringen blir:

$$D_{IL} = 20\log\frac{6{,}68}{2{,}90} = 7{,}2\ \mathrm{dB}$$

Plåten ger efter så mycket att tjugo decibel av isoleringen går förlorade. Modellen med styvt underlag hade gett ett alldeles för optimistiskt svar.

Formlerna har vinkelfrekvensen $\omega = 2\pi f$. Den som sätter in frekvensen i hertz får ett fel på en faktor 39 i kvoten och ett svar som ser rimligt ut.

Insatsisoleringen är inte noll vid resonans. Där är förstärkningen som störst, och noll decibel inträffar först vid roten ur två gånger egenfrekvensen.

Ta beloppet före logaritmen. Över resonansen är uttrycket $1 - (f/f_0)^{2}$ negativt, och utan beloppstecken går logaritmen inte att bilda. När styvheten ska lösas ut ur ett krav måste rätt tecken väljas, och den lösning som ligger över resonansen är den som ger isolering.

Mobiliteterna får inte adderas som reella tal. Maskinens och isolatorns mobiliteter är imaginära med motsatta tecken, och plattans är reell.

Insatsisoleringen gäller en frekvens i taget. Har störkraften flera komponenter räknas den för var och en, och kraftnivåerna efter isolering summeras.

Dra bara av insatsisoleringen från det strukturburna bidraget. Totalnivån i rummet innehåller också luftburet ljud och bakgrund.