Böjvågor och balkars egenfrekvenser

En slank balk som böjs för med sig tvärgående vågor, böjvågor. Lösningarna beskriver dem med Bernoulli–Eulers balkmodell, som gäller när balken är lång jämfört med sitt tvärsnitt. Böjvågtalet är, formel (6-61b):

$$k_B = \sqrt{\omega}\,\sqrt[4]{\frac{\rho S}{EI}}$$

Här är $E$ materialets elasticitetsmodul, $I$ tvärsnittets yttröghetsmoment, $\rho$ densiteten och $S$ tvärsnittsarean. Produkten $EI$ är balkens böjstyvhet och $\rho S$ dess massa per längd.

Till skillnad från ljud i luft är böjvågor dispersiva: utbredningshastigheten beror på frekvensen, formel (6-65):

$$c_B = \sqrt{\omega}\,\sqrt[4]{\frac{EI}{\rho S}}$$

Fyrdubblad frekvens ger dubbla hastigheten. Böjvågtalet växer därför med roten ur frekvensen, inte med frekvensen som i luft, och det är skälet till att balkens egenfrekvenser inte ligger på jämna avstånd.

En balk med ändlig längd $L$ har resonanser när böjvågorna passar mellan ändarna. Villkoret ger ett egenvärde $(k_B L)_n$ för varje mod, och egenfrekvensen fås ur formel (6-61b) löst för frekvensen:

$$f_n = \frac{(k_B L)_n^{2}}{2\pi L^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}$$

Egenvärdena beror bara på hur ändarna är infästa och står i bokens tabell 6-7. De vanliga fallen är

En balk som är fri i båda ändar har samma egenvärden som en som är fast inspänd i båda. Den fritt upplagda balken har egenvärdena $n\pi$.

Egenvärdet står i kvadrat. Samma balk har därför mer än dubbelt så hög lägsta egenfrekvens fast inspänd som fritt upplagd, och bara en sjättedel som konsol jämfört med fast inspänd. Är infästningen okänd ger de två ytterfallen ett intervall som egenfrekvensen ligger inom.

Yttröghetsmomentet beskriver hur tvärsnittets yta är fördelad kring den axel balken böjs kring. Uttrycken står i bokens tabell 6-5:

För rektangeln är $H$ måttet i böjningens riktning. Samma balk är mycket styvare på högkant än på lågkant, eftersom höjden står i kubik.

Materialdata hämtar lösningarna ur bokens tabell 6-4:

Kvoten $E/\rho$ är nästan densamma för stål och aluminium. Ett byte av material flyttar därför knappt egenfrekvenserna, medan en ändring av längden eller tvärsnittets höjd gör det.

Uppgifterna frågar om en balk riskerar att hamna i resonans, eller hur den ska dimensioneras för att undvika det. Gången är densamma.

Välj infästningsfall efter lydelsen och hämta egenvärdena. Bestäm area och yttröghetsmoment för tvärsnittet, i meter. Hämta materialdata. Räkna ut de lägsta egenfrekvenserna och jämför dem med störfrekvenserna enligt det kriterium uppgiften ger, till exempel att ingen egenfrekvens får ligga inom 5 Hz från en störfrekvens.

Störfrekvensen kommer ofta från ett varvtal: $N$ varv per minut ger frekvensen $N/60$ Hz. Ett kritiskt varvtal är det där störfrekvensen sammanfaller med en egenfrekvens.

Egenfrekvensen är omvänt proportionell mot längden i kvadrat. Dubbel längd ger en fjärdedels frekvens. För ett rektangulärt tvärsnitt är den proportionell mot höjden och oberoende av bredden, eftersom både böjstyvhet och massa växer lika med bredden. Söks en längd eller en höjd löses formeln för den storheten.

En stålbalk är 1,5 m lång med rektangulärt tvärsnitt, 40 mm brett och 20 mm högt, och böjs i höjdled. Arean är $S = 0{,}040\cdot 0{,}020 = 8{,}0\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$ och yttröghetsmomentet:

$$I = \frac{0{,}040\cdot 0{,}020^{3}}{12} = 2{,}67\cdot 10^{-8}\ \mathrm{m^{4}}$$

Rotuttrycket blir $\sqrt{EI/(\rho S)} = \sqrt{2{,}0\cdot 10^{11}\cdot 2{,}67\cdot 10^{-8}/(7800\cdot 8{,}0\cdot 10^{-4})} = 29{,}2\ \mathrm{m^{2}/s}$. Fritt upplagd i båda ändar har balken:

$$f_1 = \frac{3{,}142^{2}}{2\pi\cdot 1{,}5^{2}}\cdot 29{,}2 = 20{,}4\ \mathrm{Hz}$$

Fast inspänd i båda ändar har den $f_1 = 46{,}3\ \mathrm{Hz}$. Är infästningen okänd men lika i båda ändar ligger den lägsta egenfrekvensen alltså mellan 20 och 46 Hz. De följande egenfrekvenserna för den fritt upplagda balken är 81,6 och 183,7 Hz, fyra och nio gånger den lägsta.

Ett aluminiumrör med ytterdiametern 30 mm och innerdiametern 26 mm är fast inspänt i ena änden och fritt i den andra, och 1,0 m långt.

$$I = \frac{\pi\,(0{,}030^{4} - 0{,}026^{4})}{64} = 1{,}73\cdot 10^{-8}\ \mathrm{m^{4}} \qquad S = \frac{\pi\,(0{,}030^{2} - 0{,}026^{2})}{4} = 1{,}76\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$$

Rotuttrycket är $\sqrt{7{,}3\cdot 10^{10}\cdot 1{,}73\cdot 10^{-8}/(2800\cdot 1{,}76\cdot 10^{-4})} = 50{,}7\ \mathrm{m^{2}/s}$, och med konsolens lägsta egenvärde 1,875 blir:

$$f_1 = \frac{1{,}875^{2}}{2\pi\cdot 1{,}0^{2}}\cdot 50{,}7 = 28{,}4\ \mathrm{Hz}$$

Nästa egenfrekvens, med egenvärdet 4,694, är 177,7 Hz. En motor som går med 1700 varv per minut ger störfrekvensen 28,3 Hz och träffar den lägsta egenfrekvensen nästan exakt.

Röret ska kortas så att den lägsta egenfrekvensen hamnar över 50 Hz. Formeln löst för längden ger:

$$L = \sqrt{\frac{(k_B L)_1^{2}}{2\pi f}\sqrt{\frac{EI}{\rho S}}} = \sqrt{\frac{1{,}875^{2}}{2\pi\cdot 50}\cdot 50{,}7} = 0{,}75\ \mathrm{m}$$

Röret får alltså vara högst 0,75 m. Med tre fjärdedelar av längden blir egenfrekvensen 1,78 gånger högre, eftersom längden står i kvadrat. Hade röret i stället kunnat spännas in i båda ändar med full längd hade egenfrekvensen blivit $28{,}4\cdot(4{,}730/1{,}875)^{2} = 181\ \mathrm{Hz}$.

Fel infästningsfall ger fel svar utan att enheterna avslöjar det. Läs lydelsen noga: fritt upplagd, fast inspänd och fri är tre olika saker, och fallnumren i tabellen är lätta att förväxla. Skriv ut i metodbeskrivningen vilket fall som valts och varför.

Egenvärdet $(k_B L)_n$ ska kvadreras, och det är hela produkten som står i tabellen, inte vågtalet.

Räkna tvärsnittet i meter. Yttröghetsmomentet har enheten m⁴, så ett mått i millimeter ger ett fel på en faktor $10^{12}$.

Välj rätt axel. För en rektangel är det måttet i böjningens riktning som står i kubik. För ett rör dras hålets yttröghetsmoment ifrån, inte hålets diameter.

Formeln ger frekvensen i hertz. Löser man i stället ut vinkelfrekvensen ur böjvågtalet måste den delas med $2\pi$. Och en balk som är fri i båda ändar har stelkroppsrörelser med egenvärdet noll, som inte räknas: den lägsta egenfrekvensen hör till det lägsta egenvärdet skilt från noll.