Ljuddämpare i kanaler

En ljuddämpare i en kanal hindrar ljudet från en fläkt, pump eller motor från att nå mynningen. Dess verkan anges med två olika mått.

Insatsisoleringen jämför ljudet i samma punkt utan och med ljuddämpare, formel (10-2):

$$D_{IL} = 10\log\frac{\tilde p_{\text{utan}}^{2}}{\tilde p_{\text{med}}^{2}}$$

Den är det som märks i praktiken, men den beror på hela systemet: källan, kanalens längd och hur mynningen reflekterar.

Transmissionsisoleringen $D_{TL}$ jämför den ljudeffekt som faller in mot ljuddämparen med den som släpps igenom. Den är en egenskap hos ljuddämparen ensam och den som formlerna i bokens kapitel 10 ger.

Är kanalens ändar reflexfria är de två måtten lika, och lösningarna sätter då $D_{IL} \approx D_{TL}$ med hänvisning till avsnitt 10.1.1. Ljudeffektnivån efter ljuddämparen blir $L_{W,\text{med}} = L_{W,\text{utan}} - D_{TL}$, frekvens för frekvens.

En reaktiv ljuddämpare reflekterar ljudet tillbaka mot källan med hjälp av areaändringar eller resonatorer. En resistiv ljuddämpare omvandlar det till värme i en absorbent.

Formlerna för reaktiva ljuddämpare förutsätter att ljudet går som plana vågor längs kanalens axel. Det gäller så länge frekvensen ligger under den lägsta gränsfrekvensen för tvärgående moder, som bokens tabell 10-1 ger:

Gränsen för det rektangulära tvärsnittet är den frekvens där en halv våglängd ryms över den största sidan. Det största tvärsnittet i systemet är dimensionerande, alltså oftast expansionskammaren och inte kanalen.

Kontrollen görs mot den högsta frekvensen av intresse och hör till metodbeskrivningen. I en dimensioneringsuppgift sätter villkoret en övre gräns för hur stor kammaren får vara, och därmed för hur stor dämpning som går att få.

En expansionskammare är en bit kanal med större tvärsnitt. Med kanalens tvärsnittsarea $S_1$, kammarens $S_2$ och kammarens längd $L$ är transmissionsisoleringen, formel (10-43):

$$D_{TL} = 10\log\left(1 + \left(\frac{S_1}{2S_2} - \frac{S_2}{2S_1}\right)^{2}\sin^{2}(kL)\right)$$

Dämpningen varierar periodiskt med frekvensen. Den är störst när $\sin^{2}(kL) = 1$, det vill säga när kammaren är ett udda antal kvarts våglängder lång, formel (10-44):

$$L = \frac{n\,c}{4f}, \qquad n = 1, 3, 5, \dots$$

Den största dämpningen bestäms av areakvoten ensam. Med $m = S_2/S_1$ är $D_{TL,\text{max}} = 10\log\left(1 + \tfrac{1}{4}(m - 1/m)^{2}\right)$.

Dämpningen är noll när $\sin(kL) = 0$, alltså när kammaren är ett helt antal halva våglängder lång. En kammare som är avstämd för en ton är därför verkningslös vid tonens första överton, och ett spektrum med flera komponenter måste räknas frekvens för frekvens.

En sidogren på kanalen kan stämmas av mot en störande ton. Transmissionsisoleringen för en sidogren med mynningsarean $S_s$ och inimpedansen $Z_s$ på en kanal med arean $S$ är, formel (10-50):

$$D_{TL} = 20\log\left|1 + \frac{\rho_0 c\,S_s}{2\,S\,Z_s}\right|$$

Dämpningen är störst där inimpedansen är som minst.

En kvartsvågsresonator är ett slutet rör med längden $L$. Dess inimpedans är minst när $kL = n\pi/2$ med udda $n$, formel (10-56). Den lägsta avstämningen är alltså en kvarts våglängd, $L = c/(4f)$.

En Helmholtzresonator är en volym $V$ bakom en hals med längden $L_{\text{Hel}}$ och arean $S_s$. Inimpedansen är, formel (10-64):

$$Z_s = i\omega\rho_0 L_{\text{Hel}} + \frac{\rho_0 c^{2} S_s}{i\omega V}$$

Luften i halsen är en massa och luften i volymen en fjäder. De två termerna tar ut varandra vid resonansfrekvensen $f_0 = \frac{c}{2\pi}\sqrt{S_s/(V L_{\text{Hel}})}$. Resonatorer dämpar kraftigt men bara i ett smalt frekvensområde.

En resistiv ljuddämpare, en kanal klädd med absorbent, dämpar över ett brett område. För den använder lösningarna formel (10-93), $D_{TL} = 1{,}05\,(LP/S)\,\alpha^{1{,}4}$, med den klädda längden $L$, den klädda omkretsen $P$, den fria tvärsnittsarean $S$ och absorbentens absorptionsfaktor $\alpha$.

En fläkt ger en ton vid 90 Hz i en kanal med kvadratiskt tvärsnitt. Kammaren ska ge största möjliga dämpning och får ha sex gånger kanalens tvärsnittsarea. Den kortaste kammaren som ger maximum är en kvarts våglängd:

$$L = \frac{c}{4f} = \frac{343}{4\cdot 90} = 0{,}95\ \mathrm{m}$$

Med areakvoten sex är $\tfrac{1}{4}(6 - 1/6)^{2} = 8{,}5$, och den största dämpningen blir:

$$D_{TL,\text{max}} = 10\log(1 + 8{,}5) = 9{,}8\ \mathrm{dB}$$

Har kammaren sidan 0,30 m går plana vågor upp till $343/(2\cdot 0{,}30) = 572\ \mathrm{Hz}$, långt över 90 Hz, så modellen gäller.

Fläkten har också en komponent vid 120 Hz. Där är $kL = 2\pi\cdot 120\cdot 0{,}95/343 = 2{,}09$, $\sin^{2}(kL) = 0{,}75$ och $D_{TL} = 10\log(1 + 8{,}5\cdot 0{,}75) = 8{,}7\ \mathrm{dB}$. Vid 180 Hz, där kammaren är en halv våglängd, är dämpningen noll.

Före kammaren är ljudeffektnivån 88 dB vid 90 Hz och 84 dB vid 120 Hz, och kanalens ändar är reflexfria. Efter kammaren är nivåerna:

$$L_{W}(90) = 88 - 9{,}8 = 78{,}2\ \mathrm{dB} \qquad L_{W}(120) = 84 - 8{,}7 = 75{,}3\ \mathrm{dB}$$

Totalnivån är $10\log\left(10^{7{,}82} + 10^{7{,}53}\right) = 80{,}0\ \mathrm{dB}$. Före kammaren var totalnivån 89,5 dB, så insatsisoleringen för hela spektrumet är 9,5 dB.

Dämpningen dras ifrån per frekvens, och först därefter summeras nivåerna. Att dra en enda dämpning från totalnivån fungerar bara om alla komponenter dämpas lika.

En ton vid 60 Hz ska dämpas med en Helmholtzresonator. Halsen är 50 mm lång och har arean $1{,}0\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^{2}}$. Resonansvillkoret löst för volymen ger:

$$V = \frac{S_s\,c^{2}}{L_{\text{Hel}}\,(2\pi f_0)^{2}} = \frac{1{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 343^{2}}{0{,}050\cdot(2\pi\cdot 60)^{2}} = 0{,}0166\ \mathrm{m^{3}}$$

Det är knappt 17 liter. En kvartsvågsresonator för samma ton hade behövt vara $343/(4\cdot 60) = 1{,}43\ \mathrm{m}$ lång.

Strax bredvid resonansen är dämpningen fortfarande stor. Vid 58 Hz är inimpedansen $Z_s = -i\,1{,}55\ \mathrm{kg/(m^{2}s)}$, och sitter resonatorn på en kanal med arean 0,010 m² ger formel (10-50) $D_{TL} = 20\log\left|1 + 415\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}/(2\cdot 0{,}010\cdot Z_s)\right| = 22{,}6\ \mathrm{dB}$.

Planvågsvillkoret gäller det största tvärsnittet, alltså kammaren. Den som prövar kanalens mått kan godkänna en modell som inte gäller. För ett cirkulärt tvärsnitt är det diametern som står i formeln, och konstanten är 1,841.

Kammaren ska vara en kvarts våglängd, inte en halv. Halvvågslängden är just den längd där dämpningen är noll.

Uttrycket för expansionskammaren är symmetriskt i de två areorna, så det går inte att se på svaret om kvoten vänts. Kontrollera att kammarens area är den större.

Argumentet $kL$ är i radianer, och det är sinus i kvadrat som står i formeln.

Insatsisolering och transmissionsisolering är olika saker. De får likställas när kanalens ändar är reflexfria, och det ska motiveras i lösningen.

En reaktiv ljuddämpare som dämpar en ton kan släppa igenom nästa helt. Räkna varje frekvenskomponent för sig och summera efteråt.