Periodiska signaler, frekvensband och nivåsummering

En signal som upprepar sig med perioden $T$ innehåller enligt formlerna (1-2) och (1-3) bara frekvenserna:

$$f_n = \frac{n}{T}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

Grundtonen har frekvensen $f_1 = 1/T$ och övertonerna är heltalsmultiplar av den. Perioden läses av i tidsdiagrammet, helst över flera perioder.

Vilka övertoner som bär energi beror på signalens form, och den avgörs med Fourierserien. Lösningarna hämtar koefficienterna ur bokens appendix D. En triangelvåg (fall 11) har bara udda övertoner, och de avtar snabbt, som $1/n^{2}$ i amplitud. En sågtandvåg (fall 12) har alla övertoner, och de avtar långsammare, som $1/n$.

Medelvärdet av en signal ger ingen ljudalstring. Ett konstant luftflöde eller en konstant kraft dras bort innan spektrumet bestäms, och det är bara variationen kring medelvärdet som räknas.

Fourierserien ger komplexa koefficienter $X_n$. Effektivvärdets kvadrat för komponenten vid $f_n$ fås med Parsevals relation, formel (3-51) i Kapitel 3:

$$\tilde x^{2}(f_n) = 2\,|X_n|^{2}$$

Tabellernas vågformer varierar mellan −1 och 1. En verklig signal som varierar mellan $x_{\text{min}}$ och $x_{\text{max}}$ skalas därför med en skalfaktor som är halva variationsbredden, $x_{\text{skal}} = (x_{\text{max}} - x_{\text{min}})/2$. Eftersom Fourierserien är linjär skalas alla koefficienter med samma faktor. För de två vanliga vågformerna blir resultatet

Här är $x$ den storhet som pulserar: ett akustiskt volymflöde $Q$ eller en kraft $F$. Effektivvärdena sätts sedan in i den modell som gäller, till exempel monopolformeln eller en frekvenssvarsfunktion, en frekvens i taget.

Buller redovisas i frekvensband. Ett oktavband har en övre gräns som är dubbelt så hög som den undre, och varje oktavband består av tre tersband. Banden kallas efter sin mittfrekvens. Gränserna står i bokens tabell 1-2, och de är standardiserade:

Oktavbandets gränser är det lägsta tersbandets undre och det högsta tersbandets övre gräns. Oktavbandet 125 Hz går alltså från 89,1 till 178 Hz. En ton hör till det band vars gränser omsluter dess frekvens, inte till det band vars mittfrekvens ligger närmast i vardaglig mening.

Bidrag vid olika frekvenser, eller från oberoende källor, är okorrelerade. Då adderas effektivvärdenas kvadrater, formel (1-41):

$$\tilde p_{\text{tot}}^{2} = \sum_n \tilde p^{2}(f_n)$$

Samma räkning uttryckt i nivåer är nivåsummeringen, formel (1-42):

$$L_{\text{tot}} = 10\log\sum_n 10^{L_n/10}$$

Två lika starka bidrag ger 3 dB mer än ett. Skiljer de sig åt lägger det svagare till mindre:

Ett känt bidrag kan dras ifrån på samma sätt. Mäts totalnivån med en maskin i gång och bakgrundsnivån med maskinen avstängd är maskinens eget bidrag, formel (1-38):

$$L_{\text{maskin}} = 10\log\left(10^{L_{\text{tot}}/10} - 10^{L_{\text{bak}}/10}\right)$$

Avdraget är pålitligt när totalnivån ligger minst några decibel över bakgrunden. Är skillnaden liten blir resultatet mycket känsligt för mätfel.

Ett utlopp har ett volymflöde som varierar triangelformat mellan 0,010 och 0,030 m³/s med perioden 25 ms. Grundfrekvensen är $f_1 = 1/0{,}025 = 40\ \mathrm{Hz}$, och triangelvågen har bara udda övertoner: 40, 120, 200 Hz och så vidare.

Medelflödet 0,020 m³/s dras bort. Skalfaktorn är halva variationsbredden, $Q_{\text{skal}} = (0{,}030 - 0{,}010)/2 = 0{,}010\ \mathrm{m^{3}/s}$, och Parsevals relation ger:

$$\tilde Q^{2}(f_n) = \frac{32\,Q_{\text{skal}}^{2}}{(n\pi)^{4}}$$

Det ger $3{,}3\cdot 10^{-5}\ \mathrm{(m^{3}/s)^{2}}$ vid 40 Hz och $4{,}1\cdot 10^{-7}\ \mathrm{(m^{3}/s)^{2}}$ vid 120 Hz. Grundtonen bär 81 gånger mer än den första övertonen.

Frågar uppgiften efter 125 Hz-oktavbandet, 89,1 till 178 Hz, är det bara komponenten vid 120 Hz som ingår. Grundtonen ligger i 31,5 Hz-bandet och 200 Hz i 250 Hz-bandet.

Tre oktavband har ljudtrycksnivåerna 71, 68 och 65 dB. Totalnivån är:

$$L_{\text{tot}} = 10\log\left(10^{7{,}1} + 10^{6{,}8} + 10^{6{,}5}\right) = 73{,}4\ \mathrm{dB}$$

Det starkaste bandet dominerar, men de två andra lägger till 2,4 dB.

I en lokal mäts 68 dB med en pump i gång och 62 dB med pumpen avstängd. Pumpens eget bidrag är:

$$L_{\text{pump}} = 10\log\left(10^{6{,}8} - 10^{6{,}2}\right) = 66{,}7\ \mathrm{dB}$$

Bakgrunden stod alltså för 1,3 dB av den uppmätta nivån. Hade bakgrunden varit 67 dB hade avdraget gett 61,1 dB, och ett mätfel på en halv decibel hade flyttat svaret flera decibel.

En maskin ger toner vid 75 Hz och 225 Hz. För tonen vid 75 Hz gäller $70{,}8 < 75 < 89{,}1$, så den hör till tersbandet 80 Hz, inte till 63 Hz-bandet, trots att 75 ligger närmare 63 än 100 i vardaglig mening. I oktavband hör den till 63 Hz-bandet, 44,7 till 89,1 Hz.

Tonen vid 225 Hz ligger precis över gränsen 224 Hz och hör till tersbandet 250 Hz, och i oktavband till 250 Hz-bandet, 178 till 355 Hz.

Bandtillhörigheten avgör vilket vägningstal tonen får vid A-vägning, så steget kan inte hoppas över. En ton vid 89 Hz och en vid 90 Hz ligger i olika tersband och olika oktavband.

Dra bort signalens medelvärde innan Fourierserien används, och ta halva variationsbredden som skalfaktor, inte hela. Hela variationsbredden ger fyra gånger för stor effektivvärdeskvadrat, alltså 6 dB för mycket.

Håll isär koefficienten $X_n$ och effektivvärdet. Parsevals relation har faktorn två framför beloppskvadraten, och den glöms lätt.

Kontrollera bandgränserna i tabellen i stället för att gissa. Och ta med alla komponenter som ligger i det efterfrågade bandet, men bara dem.

Decibel adderas aldrig direkt. 70 dB plus 70 dB är 73 dB. Undantaget är nivåskillnader och tillägg som hör till samma bidrag: en dämpning på 10 dB dras från nivån, och ett vägningstal läggs till.

Nivåsummeringen gäller okorrelerade bidrag. Två källor som ger samma ton i samma punkt har ett fast fasförhållande, och då måste de komplexa trycken adderas först.