Plana vågor, intensitet och fritt fält

I en plan våg, som breder ut sig åt ett håll utan att spridas, är ljudtrycket proportionellt mot partikelhastigheten $u$, formel (1-13):

$$p = \rho_0 c\,u$$

Produkten av mediets densitet och ljudhastighet, $\rho_0 c$, kallas mediets karakteristiska impedans. Sambandet gäller också lokalt i en sfärisk våg, om man är tillräckligt långt från källan.

Lösningarna antar luft vid normalt tryck och normal temperatur om inget annat sägs, och hämtar värdena ur bokens tabell 4-1:

Vid en annan temperatur räknas ljudhastigheten om med den absoluta temperaturen, formel (4-51): $c(T) = c_0\sqrt{T/T_0}$ med $T_0 = 273\ \mathrm{K}$.

Intensiteten i en plan våg är tidsmedelvärdet av tryck gånger partikelhastighet. Med impedanssambandet försvinner hastigheten:

$$\bar I = \frac{\tilde p^{2}}{\rho_0 c}$$

Ljudeffekten genom en yta $S$ som vågen passerar vinkelrätt och jämnt fördelad är intensiteten gånger ytan, formel (1-17):

$$\bar W = S\,\bar I = \frac{S\,\tilde p^{2}}{\rho_0 c}$$

Formen används när ljudet går i en kanal eller lämnar en mynning: mäts ljudtrycket i ett kanaltvärsnitt där vågen är plan ger sambandet effekten som passerar. Det används också baklänges, när intensiteten vid en mynning är uppmätt och effekten söks.

Fritt fält betyder att inga reflexer når mätpunkten. En liten källa sänder då ut en sfärisk våg, och effekten fördelas över klotytan $4\pi r^{2}$ på avståndet $r$. Tillräckligt långt bort är vågfronten lokalt plan, och intensitetssambandet ger formel (1-20):

$$\tilde p^{2} = \frac{\rho_0 c\,\bar W}{4\pi r^{2}}$$

Villkoret för lokalt plana vågor är att avståndet överstiger en tredjedels våglängd, $r > \lambda/3$, och det prövas vid den lägsta frekvensen av intresse, där våglängden är störst.

Uttryckt i nivåer blir sambandet, för luft vid normala förhållanden:

$$L_p \approx L_W - 10\log(4\pi r^{2}) = L_W - 20\log r - 11\ \mathrm{dB}$$

Här är $r$ avståndet i meter. Det som försummas är $10\log(\rho_0 c\,W_{\text{ref}}/p_{\text{ref}}^{2}) = 0{,}16\ \mathrm{dB}$. Dubblat avstånd fyrdubblar ytan och sänker ljudtrycksnivån 6 dB.

Står källan på en hård yta, som mark eller golv, sprids effekten bara över en halvsfär. Ytan blir $2\pi r^{2}$ och nivån 3 dB högre på samma avstånd. Flera lösningar räknar så när källan står på marken.

Våglängden är sträckan ljudet hinner under en period, formel (1-11):

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

I luft är den 3,4 m vid 100 Hz, 34 cm vid 1 kHz och 3,4 cm vid 10 kHz. Nästan varje modell i kursen har ett villkor som jämför en längd med våglängden. Fritt fält-sambandet kräver att avståndet är större än en tredjedels våglängd. Monopolmodellen kräver att källan är liten jämfört med våglängden. Ljuddämparnas modeller kräver att kanalens tvärmått är mindre än en halv våglängd. Den statistiska rumsakustiken kräver tvärtom att rummet är stort jämfört med våglängden.

Arbetsgången är därför densamma i de flesta uppgifter: bestäm frekvenserna, räkna ut våglängden eller vågtalet, pröva modellens villkor och skriv ut att det är uppfyllt. Villkorskontrollen ingår i metodbeskrivningen och ger poäng.

En maskin står utomhus långt från reflekterande ytor. På 5,0 m avstånd mäts ljudtrycksnivån 75 dB, och ljudet domineras av frekvenser över 100 Hz. Vid 100 Hz är en tredjedels våglängd $343/(3\cdot 100) = 1{,}1\ \mathrm{m}$, så villkoret är uppfyllt på 5,0 m.

Effektivvärdets kvadrat är $\tilde p^{2} = (2{,}0\cdot 10^{-5})^{2}\cdot 10^{75/10} = 1{,}26\cdot 10^{-2}\ \mathrm{Pa^{2}}$. Fritt fält-sambandet löst för effekten ger:

$$\bar W = \frac{4\pi r^{2}\,\tilde p^{2}}{\rho_0 c} = \frac{4\pi\cdot 5{,}0^{2}\cdot 1{,}26\cdot 10^{-2}}{415} = 9{,}6\cdot 10^{-3}\ \mathrm{W}$$

Det ger $L_W = 10\log\frac{9{,}6\cdot 10^{-3}}{1{,}0\cdot 10^{-12}} = 99{,}8\ \mathrm{dB}$. Nivåformen ger samma sak direkt: $75 + 20\log 5{,}0 + 11 = 100\ \mathrm{dB}$.

I en ventilationskanal med tvärsnittet 0,20 m gånger 0,30 m mäts ljudtryckets effektivvärde till 2,0 Pa vid en frekvens där vågen är plan. Tvärsnittsarean är 0,060 m², och effekten som passerar är:

$$\bar W = \frac{S\,\tilde p^{2}}{\rho_0 c} = \frac{0{,}060\cdot 2{,}0^{2}}{415} = 5{,}8\cdot 10^{-4}\ \mathrm{W}$$

Det motsvarar $L_W = 87{,}6\ \mathrm{dB}$. Ljudtrycksnivån i kanalen är 100 dB, alltså 12 dB högre än ljudeffektnivån. De två talen kan inte jämföras utan ytan.

En förarhytt håller −5 °C, alltså 268 K. Ljudhastigheten är:

$$c = 331\sqrt{\frac{268}{273}} = 328\ \mathrm{m/s}$$

Vid rumstemperatur är den 343 m/s. Vid 273 Hz blir våglängden $328/273 = 1{,}20\ \mathrm{m}$. Skillnaden på fyra procent flyttar varje egenfrekvens i hytten lika mycket, vilket räcker för att avgöra om en mod ligger inom några hertz från en störfrekvens.

Avståndet står i kvadrat. Den som sätter in $4\pi r$ i stället för $4\pi r^{2}$ får ett fel som växer med avståndet och inte syns förrän svaret jämförs med rimliga värden.

Avgör om källan strålar i en hel sfär eller en halv. En källa nära marken, ett golv eller en vägg strålar i en halvsfär, och uppgiften säger det oftast i en bisats.

Fritt fält-sambandet gäller inte hur nära som helst. Närmare än en tredjedels våglängd är vågen inte lokalt plan, och trycket följer inte intensiteten på det enkla sättet. Kontrollen görs vid den lägsta frekvensen.

Blanda inte ihop ljudhastigheten med partikelhastigheten. Luftens partiklar rör sig med millimeter per sekund kring sina vilolägen, medan vågen går med 343 m/s. Och räkna om ljudhastigheten när temperaturen är given: lösningarna gör det.