Rummets akustiska moder

Mellan två hårda, parallella väggar reflekteras ljudet fram och tillbaka. Vid de frekvenser där ett helt antal halva våglängder ryms mellan väggarna samverkar reflexerna och bygger upp en stående våg, en akustisk mod. Ett lådformat rum med måtten $L_x$, $L_y$ och $L_z$ och akustiskt hårda ytor har egenfrekvenserna, formel (5-83):

$$f = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^{2} + \left(\frac{n_y}{L_y}\right)^{2} + \left(\frac{n_z}{L_z}\right)^{2}}$$

Modordningstalen $n_x$, $n_y$ och $n_z$ är 0, 1, 2 och så vidare, dock inte alla noll samtidigt.

Är två av talen noll svänger luften bara i en riktning, en axialmod, med frekvensen $n\,c/(2L)$. Den lägsta egenfrekvensen hör till rummets längsta mått. Moder med två eller tre ordningstal skilda från noll ligger högre.

Vid låga frekvenser ligger moderna glest, och en enda mod kan bestämma ljudtrycket helt. Högre upp ligger de så tätt att de inte går att skilja åt, och då tar den statistiska rumsakustiken över.

I en mod varierar ljudtryckets amplitud med läget enligt formel (5-84). För en enda mod är:

$$\hat p(x, y, z) = \hat p_n\cos(k_x x)\cos(k_y y)\cos(k_z z)$$

Vågtalen är $k_x = n_x\pi/L_x$, $k_y = n_y\pi/L_y$ och $k_z = n_z\pi/L_z$, formel (5-81), och koordinaterna räknas från ett hörn. Faktorn $\hat p_n$ är modens amplitud, det största tryck den når.

Vid en hård vägg är cosinusfaktorn ett eller minus ett. Där har trycket alltid en buk, och i rummets hörn har alla moder sitt största tryck. Mellan väggarna finns nodplan där cosinusfaktorn är noll. Den lägsta axialmoden har ett nodplan mitt i rummet, och nästa har två, vid en fjärdedel och tre fjärdedelar av måttet.

En riktning med ordningstalet noll har faktorn ett överallt. Läget längs den riktningen spelar då ingen roll.

En mod svarar starkt bara nära sin egenfrekvens. Uppgifterna anger en gräns, till exempel att en mod exciteras om egenfrekvensen ligger inom 3 eller 5 Hz från störfrekvensen. Arbetsgången är att räkna egenfrekvenserna systematiskt, från låga ordningstal och uppåt, tills de passerat störfrekvensen med marginal, och jämföra var och en med gränsen.

Källans läge spelar också roll. En källa i ett nodplan kan inte driva moden, och en källa vid en tryckbuk driver den som bäst. På samma sätt hör en lyssnare ingenting av moden i ett nodplan och mest vid en vägg.

Det ger tre sätt att bli av med en störande mod: flytta störfrekvensen eller egenfrekvensen så att de inte sammanfaller, flytta källan till ett nodplan, eller flytta lyssnaren dit. Egenfrekvensen flyttas genom att ändra rummets mått. Den följer också ljudhastigheten och därmed temperaturen.

Domineras ljudet av en enda mod räcker en mätning. Modens amplitud fås ur det uppmätta trycket och cosinusfaktorn i mätpunkten, och trycket i en annan punkt fås genom att sätta in den punktens koordinater. Amplituden faller bort i kvoten:

$$\frac{\tilde p_2}{\tilde p_1} = \frac{\left|\cos(k_x x_2)\cos(k_y y_2)\cos(k_z z_2)\right|}{\left|\cos(k_x x_1)\cos(k_y y_1)\cos(k_z z_1)\right|}$$

Kvoten gäller lika för amplituder och effektivvärden. Beloppstecknen behövs eftersom cosinusfaktorn byter tecken på andra sidan ett nodplan, där trycket svänger i motfas.

Vågtalet i modformen bestäms av rummets mått och ordningstalen, inte av ljudhastigheten. Formen är alltså densamma en kall dag som en varm, även om egenfrekvensen flyttar sig.

En hisskorg är 1,4 m bred, 1,1 m djup och 2,2 m hög, med hårda ytor. En fläkt ger en ton vid 120 Hz, och en mod anses exciteras om egenfrekvensen ligger inom 5 Hz. Med $c = 343\ \mathrm{m/s}$ blir de lägsta egenfrekvenserna

Axialmoden över bredden, $f = 343/(2\cdot 1{,}4) = 122{,}5\ \mathrm{Hz}$, ligger 2,5 Hz från störfrekvensen och exciteras. Ingen annan mod ligger inom 5 Hz. Moden har tryckbukar vid de två sidoväggarna och ett nodplan mitt i korgen, 0,70 m från vardera väggen.

I hisskorgen mäts ljudtryckets effektivvärde 0,80 Pa vid 122,5 Hz med mikrofonen 0,20 m från ena sidoväggen. En passagerares huvud är 0,55 m från samma vägg. Moden (1, 0, 0) har $k_x = \pi/1{,}4$, och trycket vid huvudet blir:

$$\tilde p_{\text{huvud}} = 0{,}80\cdot\frac{\left|\cos(\pi\cdot 0{,}55/1{,}4)\right|}{\left|\cos(\pi\cdot 0{,}20/1{,}4)\right|} = 0{,}80\cdot\frac{0{,}330}{0{,}901} = 0{,}29\ \mathrm{Pa}$$

Ljudtrycksnivån är 92,0 dB vid mikrofonen och 83,3 dB vid huvudet. Ställer sig passageraren mitt i korgen, i nodplanet, försvinner modens bidrag nästan helt. Vid väggen, där cosinusfaktorn är ett, är trycket $0{,}80/0{,}901 = 0{,}89\ \mathrm{Pa}$.

Fläktens ton vid 120 Hz går inte att flytta. Om hisskorgen i stället görs bredare sjunker egenfrekvensen för moden (1, 0, 0). För att den ska hamna minst 5 Hz under störfrekvensen krävs:

$$L_x > \frac{c}{2\cdot 115} = \frac{343}{230} = 1{,}49\ \mathrm{m}$$

Nio centimeter extra bredd räcker alltså. Kontrollera sedan de andra moderna med det nya måttet: (1, 0, 1) flyttar till 139,0 Hz och ligger fortfarande långt från 120 Hz.

En kall dag ändras bilden utan ombyggnad. Vid −5 °C är ljudhastigheten 328 m/s och egenfrekvensen med originalbredden $328/2{,}8 = 117{,}1\ \mathrm{Hz}$, fortfarande inom 5 Hz från störningen.

Räkna inte bara axialmoderna. Moder med två ordningstal skilda från noll kan ligga närmare störfrekvensen än nästa axialmod, och en systematisk tabell fångar dem.

Avstånden i modformen räknas från en vägg, längs den riktning moden svänger i. Ett avstånd från rummets mitt ger sinus i stället för cosinus och fel svar.

Argumentet i cosinus är i radianer. Räknaren måste stå i radianläge, annars blir faktorn nästan ett oavsett läge.

Modens amplitud är trycket vid väggen, inte det uppmätta trycket. Mäts trycket en bit ut i rummet måste det delas med cosinusfaktorn i mätpunkten först.

Använd rätt ljudhastighet. Egenfrekvensen är proportionell mot den, och vid avvikande temperatur räknas den om med formel (4-51). Gränsen för excitation är ofta bara några hertz.