Nuvärdemetoden och känslighetsanalys

Att en betalning i dag är mer värd än samma betalning i framtiden kallas tidspreferens. Pengar som finns i dag kan placeras eller användas i verksamheten och ge avkastning, och framtida betalningar är dessutom osäkrare. En investering bedöms därför genom att alla betalningar räknas om till samma tidpunkt, investeringens början. Omräkningen kallas diskontering och görs med kalkylräntan $r$, företagets avkastningskrav på investeringen, skriven som decimaltal per år.

Ett belopp som placeras i dag växer på $n$ år till beloppet gånger slutvärdefaktorn $\text{SLV}(r, n) = (1 + r)^n$, som står i räntetabellens tabell A. Diskonteringen går åt andra hållet. Ett belopp som kommer om $n$ år är i dag värt beloppet gånger nuvärdefaktorn

$$\text{NUV}(r, n) = \dfrac{1}{(1 + r)^n} = (1 + r)^{-n}$$

som står i tabell B. När samma belopp kommer i slutet av varje år i $n$ år kan nuvärdefaktorerna summeras till nusummefaktorn i tabell C:

$$\text{NUS}(r, n) = \sum_{t=1}^{n} (1 + r)^{-t} = \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$$

Kursens formelblad har formlerna och räntetabellerna med fyra decimaler, och lösningarna räknar med tabellvärdena. Tabell A–C står sist på den här sidan och tabell D med annuitetsmetoden. Kalkylen antar att grundinvesteringen betalas vid start och att årets övriga betalningar sker i slutet av året.

En investeringskalkyl bygger på fem grunddata. Grundinvesteringen $G$ är allt som betalas när investeringen görs: maskinen, men också frakt, installation och utbildning av personalen. Det årliga inbetalningsöverskottet $a_t$ är de inbetalningar minus de utbetalningar som investeringen ger år $t$. Den ekonomiska livslängden $n$ är den tid det är ekonomiskt motiverat att använda investeringen, ofta kortare än den tekniska. Restvärdet $R$ är vad investeringen kan säljas för när livslängden är slut, och det kommer in år $n$. Kalkylräntan $r$ är avkastningskravet.

Avskrivningar dras inte av från inbetalningsöverskotten. De fördelar grundinvesteringens utgift som kostnad över åren, men den utgiften finns redan med som en betalning vid start. Att dra av dem vore att räkna samma pengar två gånger.

Nettonuvärdet är summan av alla betalningars nuvärden, där grundinvesteringen räknas negativt:

$$\text{NNV} = -G + \sum_{t=1}^{n} a_t \cdot \text{NUV}(r, t) + R \cdot \text{NUV}(r, n)$$

När överskotten är lika stora, $a$ varje år, kan summan ersättas med $\text{NNV} = -G + a \cdot \text{NUS}(r, n) + R \cdot \text{NUV}(r, n)$. Nusummefaktorn får bara användas för lika stora belopp. Restvärdet är en enda betalning år $n$ och räknas alltid med nuvärdefaktorn.

Är $\text{NNV} > 0$ ger investeringen den avkastning kalkylräntan kräver och dessutom ett överskott lika med nettonuvärdet, räknat i dagens kronor. Investeringen är lönsam och bör genomföras. Är $\text{NNV} = 0$ ger den exakt kalkylräntan, och är $\text{NNV} < 0$ når den inte avkastningskravet. Ett positivt nettonuvärde betyder alltså mer än att kalkylräntan nås.

Grunddata är uppskattningar, och en känslighetsanalys visar hur mycket de kan ändras innan investeringen slutar vara lönsam. Man väljer en variabel, låter allt annat vara oförändrat och löser ut det värde som ger $\text{NNV} = 0$. För ett lika stort årligt inbetalningsöverskott blir det

$$a_{\text{krit}} = \dfrac{G - R \cdot \text{NUV}(r, n)}{\text{NUS}(r, n)}$$

Ett högre överskott än så gör investeringen lönsam. På samma sätt ger $G_{\text{max}} = a \cdot \text{NUS}(r, n) + R \cdot \text{NUV}(r, n)$ den högsta grundinvestering som kalkylen bär, och restvärdet kan lösas ut på motsvarande sätt. För livslängden prövar man olika värden på $n$ i tabellerna. Löser man i stället ut kalkylräntan får man internräntan, som behandlas tillsammans med annuitetsmetoden och payback.

Ju närmare det kritiska värdet ligger det uppskattade, desto känsligare är beslutet för en felbedömning av just den variabeln.

Ett bageri vill köpa en ny ugn för 420 000 kr. Installationen kostar 35 000 kr och utbildningen av bagarna 15 000 kr, så $G = 420\,000 + 35\,000 + 15\,000 = 470\,000\ \text{kr}$. Ugnen ger inbetalningsöverskotten 160 000, 150 000, 140 000 och 120 000 kr under fyra år och kan sedan säljas för 40 000 kr. Kalkylräntan är 10 procent. Överskotten är olika stora, så varje år diskonteras med sin egen nuvärdefaktor ur tabell B:

$$\begin{array}{l r r r}\text{År} & \text{Belopp (kr)} & \text{NUV}(10\,\%,\ t) & \text{Nuvärde (kr)} \\ \hline 1 & 160\,000 & 0{,}9091 & 145\,456 \\ 2 & 150\,000 & 0{,}8264 & 123\,960 \\ 3 & 140\,000 & 0{,}7513 & 105\,182 \\ 4 & 120\,000 & 0{,}6830 & 81\,960 \\ 4\ (\text{restvärde}) & 40\,000 & 0{,}6830 & 27\,320 \\ \hline \text{Nuvärdesumma} & & & 483\,878 \\ \text{Grundinvestering} & & & -470\,000 \\ \hline \text{NNV} & & & 13\,878\end{array}$$

Ugnen ger alltså tio procents avkastning och dessutom ett överskott på 13 878 kr i dagens pengar. Utan restvärdet hade nettonuvärdet blivit $13\,878 - 27\,320 = -13\,442\ \text{kr}$, och slutsatsen hade blivit den motsatta.

Ett tryckeri överväger en skärmaskin för 600 000 kr som beräknas ge ett inbetalningsöverskott på 120 000 kr per år i sex år och sedan kunna säljas för 40 000 kr. Kalkylräntan är 8 procent. Överskotten är lika stora, så tabell C ger $\text{NUS}(8\,\%,\ 6\ \text{år}) = 4{,}6229$ och tabell B $\text{NUV}(8\,\%,\ 6\ \text{år}) = 0{,}6302$:

$$\text{NNV} = -600\,000 + 120\,000 \cdot 4{,}6229 + 40\,000 \cdot 0{,}6302 = -600\,000 + 554\,748 + 25\,208 = -20\,044\ \text{kr}$$

Investeringen når inte avkastningskravet. I känslighetsanalysen sätts nettonuvärdet till noll och överskottet löses ut:

$$a_{\text{krit}} = \dfrac{600\,000 - 40\,000 \cdot 0{,}6302}{4{,}6229} = \dfrac{574\,792}{4{,}6229} \approx 124\,336\ \text{kr/år}$$

Ett överskott som är drygt 4 300 kr högre per år än uppskattat hade gjort investeringen lönsam. Med de uppskattade överskotten får maskinen kosta högst $554\,748 + 25\,208 = 579\,956\ \text{kr}$. Båda gränserna ligger nära de uppskattade värdena, så beslutet är känsligt för små fel i kalkylen.

Grundinvesteringen ska innehålla allt som betalas vid start. Utbildning, installation och frakt glöms lätt, och då blir nettonuvärdet för högt. Varje överskott ska diskonteras. Att jämföra summan av de odiskonterade överskotten med grundinvesteringen bortser från tidspreferensen och får nästan varje investering att se lönsam ut.

Nusummefaktorn gäller bara lika stora belopp. Är överskotten olika ska varje år diskonteras för sig; medelvärdet gånger nusummefaktorn ger fel svar, eftersom tidiga belopp är värda mer än sena. Lika stora överskott ska å andra sidan räknas med nusummefaktorn och inte med nuvärdefaktorn för sista året, som bara diskonterar ett enda belopp. Restvärdet får inte glömmas, och det räknas med $\text{NUV}(r, n)$, aldrig med nusummefaktorn.

På formelbladet saknas minustecknet i nusummefaktorns exponent, så formeln står där som $(1 - (1 + r)^{n})/r$. Rätt är $(1 - (1 + r)^{-n})/r$, som i rubriken till tabell C. Med plus i exponenten blir täljaren negativ och faktorn mindre än noll, och det avslöjar felet om formeln används i stället för tabellen.

Grundinvesteringen dras från nuvärdesumman, inte tvärtom, så en lönsam investering har positivt nettonuvärde. Nettonuvärdet jämförs med noll, inte med grundinvesteringen. Ett positivt nettonuvärde betyder att investeringen ger mer än kalkylräntan, inte att den bara når den.

Tabellen ger $\text{SLV}(r, n) = (1 + r)^n$ med fyra decimaler, med räntan $r$ i kolumnerna och antalet år $n$ i raderna. Den visar vad en krona som placeras i dag har vuxit till, till exempel $\text{SLV}(8\,\%,\ 6\ \text{år}) = 1{,}5869$ kronor efter sex år med 8 procents ränta. Tabellerna på den här sidan är uträknade av Enoda med samma räntor, år och decimaler som formelbladets.

Tabellen ger $\text{NUV}(r, n) = (1 + r)^{-n}$, nuvärdet av en krona som kommer om $n$ år. Varje värde är det inverterade värdet på samma plats i tabell A, till exempel $\text{NUV}(8\,\%,\ 6\ \text{år}) = 1/1{,}5869 \approx 0{,}6302$.

Tabellen ger $\text{NUS}(r, n) = \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$, nuvärdet av en krona i slutet av varje år i $n$ år. Värdet är summan av tabell B:s kolumn från år 1 till år $n$, och vid 0 procent är det lika med antalet år. Räntor över 20 procent finns i den utökade tabell C, som står med internräntan på sidan om annuitet, internränta och payback.