Annuitet, internränta och payback

Annuitetsmetoden ställer samma fråga som nuvärdemetoden men svarar i kronor per år. Annuitetsfaktorn i räntetabellens tabell D räknar om ett nuvärde till lika stora årliga belopp under $n$ år:

$$\text{ANN}(r, n) = \dfrac{r}{1 - (1 + r)^{-n}} = \dfrac{1}{\text{NUS}(r, n)}$$

Grundinvesteringen, minskad med restvärdets nuvärde, ger den årliga kapitalkostnaden

$$\text{Kapitalkostnad per år} = \bigl(G - R \cdot \text{NUV}(r, n)\bigr) \cdot \text{ANN}(r, n)$$

Det är vad investeringen måste ge varje år för att betala tillbaka grundinvesteringen med kalkylräntan. Kapitalkostnaden jämförs med det årliga inbetalningsöverskottet $a$. Är överskottet större är investeringen lönsam, och skillnaden är ett årligt överskott utöver kalkylräntan.

Annuitets- och nuvärdemetoden är i princip två varianter av samma metod: annuitetsöverskottet är nettonuvärdet gånger annuitetsfaktorn, så de ger samma beslut. Annuitetsmetoden är praktisk när alternativen har olika livslängd, eftersom årliga belopp kan jämföras direkt medan nettonuvärdet gynnar det alternativ som ger överskott i fler år. Jämförelsen förutsätter att den kortlivade investeringen kan upprepas på samma villkor.

Internräntan $r_i$ är den kalkylränta som gör nettonuvärdet lika med noll. Den är investeringens egen avkastning, medan kalkylräntan är företagets krav, och de två är inte samma sak. En investering är lönsam om internräntan är högre än kalkylräntan, och av två alternativ har det med högre internränta den högre avkastningen.

Med lika stora överskott och utan restvärde blir villkoret $\text{NUS}(r_i, n) = G/a$, och kvoten slås upp i tabell C på raden för livslängden. Tabell C går till 20 procent. Är kvoten mindre än $\text{NUS}(20\,\%, n)$ ligger internräntan högre och slås upp i den utökade tabell C, som går till 75 procent. En maskin för 450 000 kr som ger 100 000 kr om året i sex år har $\text{NUS}(r_i,\ 6\ \text{år}) = 450\,000/100\,000 = 4{,}5$, som ligger mellan $\text{NUS}(8\,\%,\ 6\ \text{år}) = 4{,}6229$ och $\text{NUS}(9\,\%,\ 6\ \text{år}) = 4{,}4859$. I andra fall prövar man två räntor $r_1$ och $r_2$ som ger nettonuvärden med olika tecken och interpolerar linjärt mellan dem:

$$r_i \approx r_1 + \dfrac{\text{NNV}_1}{\text{NNV}_1 - \text{NNV}_2} \cdot (r_2 - r_1)$$

För maskinen kan interpolationen göras direkt på nusummefaktorerna: $r_i \approx 8 + \dfrac{4{,}6229 - 4{,}5}{4{,}6229 - 4{,}4859} \approx 8{,}9\,\%$. Svaret ska vara det interpolerade värdet, inte bara intervallet.

Paybacktiden är den tid det tar innan inbetalningsöverskotten har betalat tillbaka grundinvesteringen. Med lika stora överskott är den $\text{Paybacktid} = G/a$; annars summeras överskotten år för år tills summan når grundinvesteringen. Investeringen godtas om paybacktiden är kortare än en gräns som företaget har satt. Metoden är en enkel riskindikator, eftersom pengar som kommer tillbaka snabbt är mindre utsatta för osäkerhet. Men den bortser från pengars tidsvärde och från alla överskott efter återbetalningstiden, och säger därför inget om lönsamheten.

Nuvärdekvoten $\text{NNV}/G$ visar hur stort nettonuvärde varje satsad krona ger, alltså hur väl alternativen utnyttjar det satsade kapitalet. När kapitalet inte räcker till alla lönsamma investeringar rangordnas de efter nuvärdekvoten.

Ersättningsinvesteringar byter ut utrustning som är utsliten. Rationaliseringsinvesteringar sänker kostnaderna för det företaget redan gör, till exempel genom automatisering, och där består inbetalningsöverskottet $a$ främst av sparade utbetalningar. Expansionsinvesteringar ökar kapaciteten eller tar företaget in på nya marknader. Anpassningsinvesteringar räknas i kursen som taktiska investeringar som görs för att företaget ska kunna driva verksamheten vidare på relativt lång sikt, till exempel när nya krav från myndigheter måste mötas. Strategiska investeringar, som produktutveckling och kompetens, ger sällan överskott som går att räkna fram i förväg och är därför svårast att bedöma med kalkyler.

En verkstad ska välja mellan två svetsutrustningar. Den enklare kostar 240 000 kr, håller i fyra år, ger 85 000 kr per år i inbetalningsöverskott och kan sedan säljas för 20 000 kr. Den robustare kostar 390 000 kr, håller i åtta år, ger 82 000 kr per år och har restvärdet 30 000 kr. Kalkylräntan är 10 procent. Med $\text{ANN}(10\,\%,\ 4\ \text{år}) = 0{,}3155$ och $\text{ANN}(10\,\%,\ 8\ \text{år}) = 0{,}1874$ ur tabell D blir de årliga kapitalkostnaderna

$$\begin{aligned}\text{Enklare: }& (240\,000 - 20\,000 \cdot 0{,}6830) \cdot 0{,}3155 = 226\,340 \cdot 0{,}3155 \approx 71\,410\ \text{kr/år} \\ \text{Robustare: }& (390\,000 - 30\,000 \cdot 0{,}4665) \cdot 0{,}1874 = 376\,005 \cdot 0{,}1874 \approx 70\,463\ \text{kr/år}\end{aligned}$$

Den enklare svetsen ger ett annuitetsöverskott på $85\,000 - 71\,410 = 13\,590\ \text{kr}$ per år och den robustare $82\,000 - 70\,463 = 11\,537\ \text{kr}$, så den enklare är bättre. Den robustare har visserligen högre nettonuvärde, 61 457 kr mot 43 102 kr, men bara för att den ger överskott i dubbelt så många år.

Ett tvätteri köper en industritvättmaskin för 440 000 kr. Den ger 100 000 kr per år i sex år och har restvärdet 20 000 kr. Med kalkylräntan 8 procent är $\text{NNV} = -440\,000 + 100\,000 \cdot 4{,}6229 + 20\,000 \cdot 0{,}6302 = 34\,894\ \text{kr}$, så investeringen är lönsam. För att se hur stor avkastningen är prövas två räntor, eftersom restvärdet gör att genvägen med tabell C inte fungerar:

$$\begin{aligned}r = 10\,\%:\ \ \text{NNV} &= -440\,000 + 100\,000 \cdot 4{,}3553 + 20\,000 \cdot 0{,}5645 = 6\,820\ \text{kr} \\ r = 11\,\%:\ \ \text{NNV} &= -440\,000 + 100\,000 \cdot 4{,}2305 + 20\,000 \cdot 0{,}5346 = -6\,258\ \text{kr}\end{aligned}$$

Nettonuvärdet byter tecken mellan 10 och 11 procent, och interpolationen ger

$$r_i \approx 10 + \dfrac{6\,820}{6\,820 + 6\,258} \cdot (11 - 10) \approx 10{,}5\,\%$$

Internräntan är högre än kalkylräntan, vilket stämmer med det positiva nettonuvärdet vid 8 procent.

Ett mejeri har 560 000 kr att investera och tre lönsamma förslag. Kalkylräntan är 8 procent, och nettonuvärdena räknas med nusummefaktorn för respektive livslängd:

$$\begin{array}{l r r r r r r} & G\ (\text{kr}) & a\ (\text{kr/år}) & n\ (\text{år}) & \text{Payback} & \text{NNV (kr)} & \text{NNV}/G \\ \hline \text{Förpackningsmaskin} & 200\,000 & 50\,000 & 8 & 4{,}0\ \text{år} & 87\,330 & 0{,}44 \\ \text{Etikettskrivare} & 120\,000 & 40\,000 & 4 & 3{,}0\ \text{år} & 12\,484 & 0{,}10 \\ \text{Värmeåtervinning} & 360\,000 & 80\,000 & 7 & 4{,}5\ \text{år} & 56\,512 & 0{,}16\end{array}$$

Paybackmetoden sätter etikettskrivaren först, fast den har lägst nettonuvärde och lägst nuvärdekvot. Den betalar tillbaka sig snabbt men ger överskott i bara ett år efter det. Efter nuvärdekvoten väljer mejeriet förpackningsmaskinen och värmeåtervinningen, som tillsammans kostar 560 000 kr och ger $87\,330 + 56\,512 = 143\,842\ \text{kr}$. Väljs etikettskrivaren först ryms bara förpackningsmaskinen bredvid, och nettonuvärdet blir $12\,484 + 87\,330 = 99\,814\ \text{kr}$.

Internräntan är investeringens avkastning och kalkylräntan företagets krav. En investering är lönsam när internräntan är högre än kalkylräntan, och det är alternativet med högst internränta, inte lägst, som ger den högsta avkastningen. Kontrollera att de två prövade räntorna ger nettonuvärden med olika tecken, och svara med den interpolerade räntan, inte bara med att den ligger mellan två tabellräntor.

I annuitetsmetoden dras restvärdets nuvärde från grundinvesteringen innan annuitetsfaktorn används. Att glömma restvärdet eller dra av det odiskonterat ger fel kapitalkostnad. Annuitetsfaktorn multipliceras med ett nuvärde, $\text{årligt belopp} = \text{nuvärde} \cdot \text{ANN}(r, n)$, medan nusummefaktorn multipliceras med ett årligt belopp. Det är annuitets- och nuvärdemetoden som är varianter av samma metod, inte annuitets- och internräntemetoden.

En kort paybacktid betyder inte att investeringen är lönsam. Metoden räknar varken med kalkylräntan eller med överskotten efter återbetalningen och kan därför föredra ett kortlivat alternativ som ger mindre totalt.

Tabellen ger $\text{ANN}(r, n) = \dfrac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}$ med fyra decimaler, med räntan $r$ i kolumnerna och antalet år $n$ i raderna. Varje värde är det inverterade värdet på samma plats i tabell C, till exempel $\text{ANN}(10\,\%,\ 4\ \text{år}) = 1/3{,}1699 \approx 0{,}3155$, och vid 0 procent är faktorn ett delat med antalet år. Tabellerna på den här sidan är uträknade av Enoda med samma räntor, år och decimaler som formelbladets.

Den utökade tabellen ger $\text{NUS}(r, n) = \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$ för räntor från 21 till 75 procent. Den behövs när en investering har hög internränta, så att kvoten $G/a$ blir mindre än tabell C:s värde för 20 procent. En investering på 300 000 kr som ger 120 000 kr per år i fem år har $\text{NUS}(r_i,\ 5\ \text{år}) = 300\,000/120\,000 = 2{,}5$, som ligger mellan $\text{NUS}(28\,\%,\ 5\ \text{år}) = 2{,}5320$ och $\text{NUS}(29\,\%,\ 5\ \text{år}) = 2{,}4830$. Interpolationen ger $r_i \approx 28 + \dfrac{2{,}5320 - 2{,}5}{2{,}5320 - 2{,}4830} \approx 28{,}7\,\%$.