Frekvenssvarsfunktioner och superposition

I ett linjärt system ger en excitation vid en viss frekvens ett svar vid samma frekvens. Kvoten mellan svarets och excitationens komplexa amplituder är frekvenssvarsfunktionen $H(f)$, formel (3-13) i Kapitel 3:

$$\hat p(f) = H_{pF}(f)\,\hat F(f)$$

Indexen säger vad som är svar och vad som är excitation. $H_{pF}$ ger ljudtryck per kraft, i Pa/N, $H_{pQ}$ ljudtryck per akustiskt volymflöde, i Pa/(m³/s), och $H_{vF}$ vibrationshastighet per kraft, i (m/s)/N.

Funktionen är uppmätt eller beräknad en gång och gäller sedan för varje excitation i samma punkt. Den läses av i ett diagram vid just de frekvenser excitationen innehåller, och bara där. Mellan resonanstopparna kan den ändras med en faktor tio på några hertz, så avläsningen görs vid rätt frekvens och med omsorg.

Både excitationen och frekvenssvarsfunktionen är komplexa tal. Diagrammen visar antingen belopp och fas eller realdel och imaginärdel. Multiplikationen görs enklast i polär form: ett tal $a + ib$ har beloppet $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ och en fasvinkel som bestäms av både $a$ och $b$, och produkten av två tal har produkten av beloppen och summan av fasvinklarna.

Söks bara svarets storlek från en enda källa räcker beloppen, formel (3-5):

$$|\hat p(f)| = |H_{pF}(f)|\cdot|\hat F(f)|$$

Amplituden görs sedan om till effektivvärde med $\tilde p = |\hat p|/\sqrt{2}$. Är excitationen redan given som effektivvärde blir också svaret ett effektivvärde, och då ska ingen rot ur två in.

Tidsderivator blir multiplikation med $i\omega$. En förskjutning görs om till hastighet genom att multiplicera med $i\omega$, och till acceleration genom att multiplicera med $-\omega^{2}$. Samma frekvenssvarsfunktion gäller därför mellan två förskjutningar som mellan motsvarande hastigheter eller accelerationer.

Verkar flera källor samtidigt gäller superpositionsprincipen, formel (3-14): det totala svaret är summan av de enskilda svaren. Hur summan bildas beror på frekvenserna.

Bidrag med samma frekvens har ett fast fasförhållande. De adderas som komplexa tal, med realdelar och imaginärdelar var för sig, och kan både förstärka och släcka ut varandra:

$$\hat p(f) = H_{1}(f)\,\hat Q_1(f) + H_{2}(f)\,\hat Q_2(f)$$

Först därefter tas beloppet och effektivvärdet.

Bidrag med olika frekvenser är okorrelerade. Där adderas effektivvärdenas kvadrater, $\tilde p_{\text{tot}}^{2} = \sum_n \tilde p^{2}(f_n)$, eller nivåerna logaritmiskt.

En uppgift med två källor och två frekvenser kräver alltså båda stegen: komplex summa över källorna vid varje frekvens, sedan kvadratisk summa över frekvenserna. Ska resultatet A-vägas görs det frekvens för frekvens, mellan de två stegen.

Kapitel 3 behandlar också enfrihetsgradssystemet, en massa $m$ på en fjäder med styvheten $\kappa$ och en dämpare $d_v$. Står systemet på ett underlag som rör sig med förskjutningen $z$ blir massans förskjutning, formel (3-20):

$$\hat x = H_{xz}\,\hat z = \frac{\kappa + i\omega d_v}{\kappa - \omega^{2} m + i\omega d_v}\,\hat z$$

Utan dämpning är $H_{xz} = \kappa/(\kappa - \omega^{2}m)$. Vid låga frekvenser är den ett: massan följer underlaget. Vid egenfrekvensen $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\kappa/m}$, formel (3-11), går nämnaren mot noll och svaret blir mycket stort. Långt över egenfrekvensen går beloppet mot noll: massan står nästan stilla medan underlaget rör sig. Det är samma mekanism som gör att en vibrationsisolering fungerar först över resonansen.

Två ventilationsutlopp ger ljud i en mätpunkt vid samma frekvens. De uppmätta frekvenssvarsfunktionerna är $H_1 = 80 + i\,60$ och $H_2 = -30 + i\,40$ Pa/(m³/s), och volymflödenas amplituder är $\hat Q_1 = 4{,}0\cdot 10^{-4}$ och $\hat Q_2 = 6{,}0\cdot 10^{-4}\,e^{i0{,}50}$ m³/s.

I polär form är $H_1 = 100\,e^{i0{,}644}$ och $H_2 = 50\,e^{i2{,}214}$. Bidragen blir:

$$\hat p_1 = 0{,}040\,e^{i0{,}644} = 0{,}0320 + i\,0{,}0240 \qquad \hat p_2 = 0{,}030\,e^{i2{,}714} = -0{,}0273 + i\,0{,}0124\ \mathrm{Pa}$$

Summan är $\hat p = 0{,}0047 + i\,0{,}0364\ \mathrm{Pa}$ med beloppet 0,0367 Pa. Effektivvärdet är $0{,}0367/\sqrt{2} = 0{,}0260\ \mathrm{Pa}$ och nivån $L_p = 62{,}3\ \mathrm{dB}$.

Hade beloppen adderats utan hänsyn till fas hade summan blivit 0,070 Pa och nivån 67,9 dB. Realdelarna tar nästan ut varandra, och det syns bara i den komplexa räkningen.

En maskinfot ger en kraft med effektivvärdet 3,0 N vid 50 Hz och 1,5 N vid 100 Hz. Frekvenssvarsfunktionen mellan kraften och ljudtrycket i ett rum har beloppet 0,020 Pa/N vid 50 Hz och 0,045 Pa/N vid 100 Hz.

Det finns bara en källa, så faserna behövs inte. Krafterna är effektivvärden, och svaren blir det också:

$$\tilde p(50) = 0{,}020\cdot 3{,}0 = 0{,}060\ \mathrm{Pa} \qquad \tilde p(100) = 0{,}045\cdot 1{,}5 = 0{,}068\ \mathrm{Pa}$$

Frekvenserna är olika, så kvadraterna adderas: $\tilde p_{\text{tot}}^{2} = 0{,}060^{2} + 0{,}0675^{2} = 8{,}16\cdot 10^{-3}\ \mathrm{Pa^{2}}$, och $L_p = 10\log\frac{8{,}16\cdot 10^{-3}}{(2{,}0\cdot 10^{-5})^{2}} = 73{,}1\ \mathrm{dB}$. Den svagare kraften ger det större bidraget, eftersom systemet svarar starkare vid 100 Hz.

Ett instrument på 2,0 kg står på fjädrar med den sammanlagda styvheten $8{,}0\cdot 10^{4}\ \mathrm{N/m}$, och dämpningen försummas. Egenfrekvensen är:

$$f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{8{,}0\cdot 10^{4}}{2{,}0}} = 31{,}8\ \mathrm{Hz}$$

Golvet vibrerar vid 60 Hz. Där är $\omega^{2}m = (2\pi\cdot 60)^{2}\cdot 2{,}0 = 2{,}84\cdot 10^{5}\ \mathrm{N/m}$, och frekvenssvarsfunktionen blir:

$$H_{xz} = \frac{8{,}0\cdot 10^{4}}{8{,}0\cdot 10^{4} - 2{,}84\cdot 10^{5}} = -0{,}39$$

Instrumentet rör sig med 39 procent av golvets amplitud, i motfas. Vid 20 Hz, under egenfrekvensen, är $H_{xz} = 1{,}65$: där förstärker upphängningen golvets rörelse.

Fasvinkeln för $a + ib$ är inte alltid $\arctan(b/a)$. Räknarens arctan ger en vinkel mellan −90 och 90 grader, och när realdelen är negativ ska ett halvt varv, $\pi$ radianer, läggas till. Talet $-0{,}12 + i\,0{,}15$ har fasvinkeln 2,25 rad, inte −0,89. Kontrollera genom att gå tillbaka till rektangulär form.

Blanda inte grader och radianer. Tabeller och diagram i uppgifterna anger oftast fas i radianer, och räknaren måste stå i samma läge.

Räkna inte ut en nivå per källa och summera nivåerna när källorna har samma frekvens. Det ger fel både när bidragen förstärker varandra och när de släcker ut varandra.

Håll reda på om excitationen är en amplitud eller ett effektivvärde. Roten ur två ska in exakt en gång på vägen från amplitud till nivå.

Läs av rätt kurva. Diagram med flera frekvenssvarsfunktioner skiljer dem med linjetyp, och en förväxling ger ett svar som ser rimligt ut.