Monopol, dipol och spegelkälla

Vågtalet anger hur många radianer fasen ändras per meter, formel (4-62):

$$k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi f}{c}$$

Det hänger ihop med våglängden genom $k = 2\pi/\lambda$. Produkten av vågtalet och en längd är dimensionslös och avgör vilken modell som gäller. En källa räknas som liten när $ka \ll 1$, där $a$ är källans karakteristiska storlek: radien hos en rund mynning eller halva sidlängden hos en kvadratisk. Lösningarna använder gränsen i texten under formel (8-5):

$$ka < 0{,}3$$

Villkoret prövas vid den högsta frekvensen av intresse, eftersom vågtalet växer med frekvensen. Är det uppfyllt där är det uppfyllt för alla lägre frekvenser.

I luft är $k = 1{,}83\ \mathrm{m^{-1}}$ vid 100 Hz. En mynning med radien 5 cm är alltså liten upp till ungefär 330 Hz.

En liten källa som omväxlande trycker ut och suger in medium har ett akustiskt volymflöde $Q$, i m³/s. Formen spelar ingen roll, bara nettoflödet. Källan strålar lika åt alla håll, som en monopol, och sänder i fritt fält ut ljudeffekten, formel (8-5):

$$\bar W = \frac{\rho_0 c}{4\pi}\,k^{2}\,\tilde Q^{2}$$

Volymflödets effektivvärde är mynningens area gånger hastighetens effektivvärde, formel (8-1): $\tilde Q = S\,\tilde u$. Det gäller både en mynning med pulserande luftflöde och en liten vibrerande yta, som en lucka som rör sig som en kolv.

Effekten växer med kvadraten på vågtalet, alltså med kvadraten på frekvensen. Samma volymflöde ger 6 dB högre ljudeffektnivå vid dubbla frekvensen, och låga frekvenser strålas därför ut ineffektivt. Effekten växer också med kvadraten på volymflödet: halverat flöde ger 6 dB lägre nivå.

Har flödet flera frekvenskomponenter räknas effekten för varje komponent för sig, med sitt vågtal och sitt effektivvärde, och effekterna adderas.

En liten källa utan nettovolymflöde, som en stel kropp som svänger fram och åter, trycker undan medium på ena sidan och suger in lika mycket på den andra. Den kan beskrivas som två monopoler i motfas på litet avstånd från varandra, en dipol. Bidragen släcker nästan ut varandra, och en dipol strålar mycket svagare än en monopol med samma volymflöde.

Samma sak händer när en monopol sitter nära en yta som släpper trycket, till exempel en källa i vatten nära vattenytan. Ytan kan ersättas med en spegelkälla i motfas på andra sidan, på avståndet $2h$ från den verkliga källan när den ligger på djupet $h$. När $kh \ll 1$ bildar de två en dipol, och hälften av dipolens effekt går ut i vattnet. Jämfört med samma källa på stort djup blir ljudeffektnivån lägre med, formel (8-28):

$$\Delta L_W = 10\log\frac{3}{2\,(kh)^{2}}$$

Ju närmare ytan, desto svagare strålar källan.

Mot en hård yta, som ett golv eller en vägg, är spegelkällan i fas. Då förstärker de varandra, och nära ytan sänder källan ut dubbla effekten jämfört med fritt fält.

En monopoluppgift löses i fyra steg, och alla fyra hör hemma i metodbeskrivningen.

Pröva först villkoret $ka < 0{,}3$ vid den högsta frekvensen, med ljudhastigheten för mediet vid aktuell temperatur.

Bestäm sedan volymflödets effektivvärde. Är hastigheten given som amplitud delas den med roten ur två. Är flödet en periodisk signal, som en triangelvåg, fås effektivvärdet för varje överton ur Fourierserien och Parsevals relation. Har källan två mynningar nära varandra, jämfört med våglängden, adderas deras volymflöden som komplexa tal innan effekten räknas.

Sätt in i monopolformeln, frekvens för frekvens, och summera effekterna.

Bilda till sist ljudeffektnivån. Söks ljudtrycksnivån på ett avstånd används fritt fält-sambandet, och står källan i ett rum används rumsformeln.

Stämmer inte villkoret duger inte modellen, och det ska sägas i lösningen i stället för att räkna vidare.

Ett runt utlopp med radien 4,0 cm har en luftpulsation med hastighetsamplituden 0,60 m/s vid 90 Hz. Vågtalet är $k = 2\pi\cdot 90/343 = 1{,}65\ \mathrm{m^{-1}}$ och $ka = 1{,}65\cdot 0{,}040 = 0{,}066$, så monopolmodellen gäller.

Mynningens area är $S = \pi\cdot 0{,}040^{2} = 5{,}03\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^{2}}$, och volymflödets effektivvärde:

$$\tilde Q = S\,\frac{\hat u}{\sqrt{2}} = 5{,}03\cdot 10^{-3}\cdot\frac{0{,}60}{\sqrt{2}} = 2{,}13\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^{3}/s}$$

Monopolformeln ger:

$$\bar W = \frac{415}{4\pi}\cdot 1{,}65^{2}\cdot (2{,}13\cdot 10^{-3})^{2} = 4{,}1\cdot 10^{-4}\ \mathrm{W}$$

Det motsvarar $L_W = 86{,}1\ \mathrm{dB}$.

Samma utlopp har också en komponent vid 180 Hz med hastighetsamplituden 0,25 m/s. Där är $k = 3{,}30\ \mathrm{m^{-1}}$ och $ka = 0{,}13$, fortfarande under 0,3. Volymflödet är $\tilde Q = 8{,}9\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}/s}$ och effekten:

$$\bar W(180) = \frac{415}{4\pi}\cdot 3{,}30^{2}\cdot (8{,}9\cdot 10^{-4})^{2} = 2{,}8\cdot 10^{-4}\ \mathrm{W}$$

Komponenten vid 180 Hz har mindre än halva hastigheten men ger ändå två tredjedelar av effekten vid 90 Hz, eftersom vågtalet är dubbelt så stort. Sammanlagt sänder utloppet ut $6{,}9\cdot 10^{-4}\ \mathrm{W}$, alltså $L_W = 88{,}4\ \mathrm{dB}$.

På 10 m avstånd i fritt fält blir $\tilde p^{2} = 415\cdot 6{,}9\cdot 10^{-4}/(4\pi\cdot 10^{2}) = 2{,}3\cdot 10^{-4}\ \mathrm{Pa^{2}}$ och ljudtrycksnivån 57,6 dB.

Ett pumpinlopp i havet ger ett pulserande flöde vid 80 Hz. Inloppet ligger 0,40 m under ytan, och ljudhastigheten i vattnet är ungefär 1500 m/s. Vågtalet är $k = 2\pi\cdot 80/1500 = 0{,}335\ \mathrm{m^{-1}}$ och $kh = 0{,}335\cdot 0{,}40 = 0{,}134$, mycket mindre än ett. Spegelkällan i motfas ger då:

$$\Delta L_W = 10\log\frac{3}{2\cdot 0{,}134^{2}} = 19{,}2\ \mathrm{dB}$$

Inloppet sänder alltså ut 19 dB lägre ljudeffektnivå än om det hade legat på stort djup. Halveras djupet sjunker nivån 6 dB till, eftersom $kh$ står i kvadrat.

I villkoret $ka < 0{,}3$ är $a$ radien eller halva sidlängden, inte diametern. Med diametern blir villkoret dubbelt så strängt som lösningarna räknar med, och med fel frekvens kan en modell som inte gäller se godkänd ut. Pröva vid den högsta frekvensen.

Monopolformeln ska ha effektivvärdet av volymflödet. En hastighetsamplitud delas med roten ur två, men ett flöde som redan är givet som effektivvärde ska inte delas en gång till.

Arean är $\pi a^{2}$ med radien, eller $\pi d^{2}/4$ med diametern. En förväxling ger fyra gånger för stort volymflöde och 12 dB för hög nivå.

Vågtalet står i kvadrat, och det innehåller $2\pi$. Den som sätter in $f/c$ i stället för $2\pi f/c$ hamnar 16 dB för lågt.

En liten källa är inte alltid en monopol. Saknas nettovolymflöde, eller sitter källan nära en yta som släpper trycket, är den en dipol och strålar mycket svagare.