6. Numerisk derivering och integration

Numerisk derivering och integration

Approximera derivator med differenskvoter och integraler med trapetsregeln, och förbättra resultatet med Richardsonextrapolation.

Översikt

Kärnan i numerisk derivering

En derivata approximeras med en differenskvot. Den centrala kvoten är noggrannare än den framåttagna eftersom förstaordningstermerna tar ut varandra.

$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^{2})$

Exempel

Metod och kontroll

Är noggrannhetsordningen känd går två approximationer med olika steglängd att väga samman till en noggrannare, utan att funktionen behöver beräknas i fler punkter än de redan använda.

$\widehat{F}=\frac{2^{p}F(h/2)-F(h)}{2^{p}-1},\qquad \widehat{T}=\frac{4T(h/2)-T(h)}{3}$

Fördjupning

Vanliga fallgropar

Ett kortare steg minskar diskretiseringsfelet men förstorar avrundningsfelet, så det finns en steglängd under vilken resultatet blir sämre igen. Richardsonextrapolation kräver dessutom att den antagna ordningen stämmer; används fel ordning blir det extrapolerade värdet sämre än de värden det byggdes av.

Formler i området

Framåt- och bakåtdifferens

\begin{aligned} \frac{u_{i+1}-u_i}{h} &= u'(x_i) + O(h) \\ \frac{u_i-u_{i-1}}{h} &= u'(x_i) + O(h) \end{aligned}

Vad gör formeln?: Ensidiga första ordningens approximationer, särskilt användbara vid randen.
När får den användas?: u är minst två gånger kontinuerligt deriverbar lokalt.

Centrala differenskvoten

f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^{2})

Vad gör formeln?: Skattar derivatan med en symmetrisk differens och har noggrannhetsordning två.
När får den användas?: Kräver funktionsvärden symmetriskt på båda sidor om punkten och att f är tillräckligt många gånger deriverbar.

Central differens för andra derivatan

\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^{2}} = u''(x_i) + O(h^{2})

Vad gör formeln?: Ger den tridiagonala kärnan i många diskretiserade randvärdesproblem.
När får den användas?: u har minst fyra kontinuerliga derivator lokalt och nätet är likformigt.

Trapetsregeln

T(h)=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)\right)

Vad gör formeln?: Approximerar integralen med trapetser under den styckvis linjära interpolanten.
När får den användas?: Intervallet delas i n lika stora delintervall med steglängden h mellan punkterna.

Trapetsregelns felterm

I-T(h)=-\frac{(b-a)h^{2}}{12}f''(\xi)=O(h^{2})

Vad gör formeln?: Visar att trapetsregelns fel är av andra ordningen och beror på funktionens krökning.
När får den användas?: f är två gånger kontinuerligt deriverbar på intervallet; ξ är en okänd punkt i intervallet.

Richardsonextrapolation

\widehat{F}=\frac{2^{p}F(h/2)-F(h)}{2^{p}-1},\qquad \widehat{T}=\frac{4T(h/2)-T(h)}{3}

Vad gör formeln?: Kombinerar två skattningar med olika steglängd så att den ledande feltermen tar ut sig.
När får den användas?: Metoden har känd noggrannhetsordning p och steglängden halveras mellan de två skattningarna.

Kan du använda numerisk derivering och integration?

Lös en riktig tentauppgift från SF1547 med ledtrådar och lösningsförslag. Inget konto behövs.

Prova en uppgift